Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

. , ν, также выполненысвойства (7) и (8) Определения 70.°Заметим, что петля L совпадает с одною и только одною петлею из l1 , . . . , lν, обозначим номер петлиэтой через µ. То есть на µ-том шаге происходит порождение петли L:Lhcµ−1 , dµ−1 i 7−→ hcµ , dµi.Петля L имеет корень x.102/Полно/3 Многоугольники–следы/3.5 Весовые функцииЕще заметим, что петля L является петлею в ломаной–следе cι при ι = µ, . . . , ν.°Определим новую последовательность ломаных–следов и весовых функций на них.cι0 := cι ,ι = 0, . . . , µ − 1;cι0 := ломаная–след, происходящая из ι = µ, .

. . , ν.ломаной–следа cι вырождениемпетли L,°Весовую функцию dι0 определим по следующим двум формулам:dι0 := dι ,ι = 0, . . . , µ − 1;dι0 := весовая функция, согла- ι = µ, . . . , ν.сованная с весовою функциею dι°Итак, мы обрели новую последовательность построения:lµ+1lµ−1llν100hcν , dνi,, dµ−1i = hcµ0 , dµ0 i 7−→ . . .

7−→hc00 , d00 i 7−→. . . 7−→ hcµ−1°Установим, как могут соотноситься дуги в старых и новых петельных ломаных из двух последователь0есть дуга A, на которойностей. Рассмотрим переход (ι − 1) 7−→ ι, где ι > µ. В ломаной–следе cι−1лежит корень y петли lι , еще есть дуга B, на которой лежит корень x петли L. Возможны три случая:I.

несовпадение дуг A 6= B;II. совпадение дуг A = B, причем точка x предшествует на дуге C := A = B точке y;III. совпадение дуг A = B, причем точка y предшествует на дуге C точке x.°Далее, в ломаной–следе cι−1 в случае I всё независимо, следовательно, все свойства сохранятся. Рассмотрим далее только случай II (в случае же III всё аналогично), здесь в ломаной–следе cι−1 дуге Cсоответствуют последовательные дуги C 0 , L, C̃ 000, где дуги C 0 и C̃ 000 образованы подразделением дуги Cточкою x. Еще в ломаной–следе cι0 дуге C соответствуют последовательные дуги C̃ 0 , lι, C 000 , где дуги C̃ 0и C 000 образованы подразделением дуги C точкою y.

Наконец, в ломаной–следе cι дуге C соответствуют последовательные дуги C 0 , L, C 00 , lι, C 000 , где дуга C 00 высечена из дуги C точками x и y. То есть дугеC̃ 0 соответствуют последовательные дуги C 0 , L, C 00, где дуги C 0 и C 00 образованы подразделением дугиC̃ 0 точкою x, и дуге C̃ 000 соответствуют последовательные дуги C 00 , lι, C 000 , где дуги C 00 и C 000 образованыподразделением дуги C̃ 000 точкою y.0°Установим согласованность весовых функций dι−1и dι0 . Заметим, что0dι−1(C) = dι−1 (C 0 ) + (dι−1 (L) + σ) + dι−1 (C̃ 000 ).Еще заметим, чтоdι0 (C̃ 0 ) = dι (C 0 ) + (dι(L) + σ) + dι (C 00 ),dι0 (C 000 ) = dι (C 000 ),dι0 (lι ) = dι (lι ).°Следовательно, обозначив через τ знак петли lι ,0dι−1(C) = dι−1 (C 0 ) + (dι−1 (L) + σ) + dι−1 (C̃ 000 ) =000000= dι (C ) + (dι (L) + σ) + dι (C ) + (dι (lι) + τ) + dι (C ) ==dι (C ) + (dι (L) + σ) + dι (C ) +(dι (lι) + τ) + dι (C 000 ) =000103/Полно/3 Многоугольники–следы= dι0 (C̃ 0 ) + (dι (lι ) + τ) + dι (C 000 ) == dι0 (C̃ 0 ) + (dι0 (lι) + τ) + dι0 (C 000 ).°Заметим, что неотрицательность следует из того, что в сумме dι0 (C̃ 0 ) = dι (C 0 ) + (dι (L) + σ) + dι (C 00 )все три слагаемые неотрицательны по свойствам старой последовательности весовых функций.°Рассмотрим в новой последовательности петлю lι знака υ = −1.

Тогда петля эта построена и в старойпоследовательности, следовательно, на ней старая весовая функция положительна, новая же весоваяфункция совпадает со старою на каждой петле (из построения).Q.E.D.РАСПРОСТРАНЕНИЕВЕСА И УСТАНОВЛЕНИЕ ПРОСТОТЫ ЛОМАНОЙ – СЛЕДА°Рассмотрим петельную ломаную–след A и ее размеченное древо построения hArb(A), FastA , LaqsA , SecuA i.Еще рассмотрим некоторую весовую функцию p на этой ломаной–следе.

Определим ν := max im FastA .°Определим раскраску t листов дерева Arb(A) по соответствиюt({V}) := p(V),V — дуга в графе Gr(A).°Распространим эту раскраску на все вершины дерева Arb(A). Определим tν0 := t. Далее индукциею поι = ν, . . . , 1 на каждой вершине v из dom t ∪ {v : Fast(v) > ι − 1} определим 00tι (v), если v ∈ dom tι ; P 0tι0 (v 0 ) + LaqsA (v 0 ) , если FastA (v) = ι − 1tι−1(v) :=00 v :v ∈yиv∈/ dom t,где множество y := {v 0 : Fast(v 0 ) = ι, v ∪ v 0 ∈ Arb(A)}.°Определим последовательность построения:lll12νc0 7−→c1 7−→. . .

7−→cν ,где c0 — простая ломаная–след, cν = A, еще ломаная–след cι происходит из ломаной–следа cι−1порождением петли lι , причем FastA ({lι−1 }) 6 FastA ({lι }) при ι = 1, . . . , ν.°Заметим, что размеченные древа построения hArb(cκ ), Fastcκ , Laqscκ , Secucκ i обладают следующимисвойствами:Arb(cκ−1 ) ⊂ Arb(cκ ) ⊂ Arb(A), κ = 1, . .

. , ν;Fastcκ =FastA ,gκLaqscκ =LaqsA ,gκSecucκ =SecuA ,gκгде gκ — множество всех вершин древа Arb(cκ ), κ = 0, . . . , ν.°Заметим, что если на ломаных–следах cι обратною индукциею по ι = ν, . . . , 0 определить весовыефункции dι по правилу попарной согласованности весовых функций dι и dι−1 при ι = ν, . . . , 1, тоt00 ({V}) = dι (V) при всякой дуге V графа Gr(cι ), где ι = ν, .

. . , 0.°В этом построении очевидно, что весовая функция p проста, если и только если соответствующая ейраскраска t00 обладает свойствами• t00 (r) = 0, где r — корень древа построения;• min{t00 (v), t00 (v) + LaqsA (v)} > 0, на всякой некорневой вершине v древа построения.104/Полно/3 Многоугольники–следы/3.6 Стяжение и натяжение петель3.6Стяжение и натяжение петель3.6.1 Ветвление отрицательной петлиП ОСОБИЕ71К ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ПЕТЛЕ°Th·Для всякого полного симплициального комплекса a и всякого ребра A из того комплекса верно,что если тело S комплекса a гомеоморфно замкнутому двумерному диску и лежит в двумерной плоскости, ребро A лежит на относительной границе множества S, всякая вершинная точка комплекса aлежит на относительной границе множества S, то найдется двумерный симплекс B из комплекса a инайдутся два ребра из этого симплекса, не равные ребру A и лежащие на относительной границе множества S.Доказательство°Рассмотрим некоторый полный симплициальный комплекс a и некоторое его ребро A такие, что телоS комплекса a гомеоморфно замкнутому двумерному диску, ребро A лежит на относительной границемножества S, всякая вершинная точка комплекса a лежит на относительной границе множества S.°Если в комплексе a всего один двумерный симплекс, то он и два его ребра, не равные ребру A, сутьискомые.°Возьмем некоторое натуральное число ν такое, что ν > 1, и допустим, что для всякого полного симплициального комплекса ã, в котором не более чем ν двумерных симплексов, и всякого ребра à изтого комплекса верно, что если тело S̃ комплекса ã гомеоморфно замкнутому двумерному диску, реброà лежит на относительной границе множества S̃, всякая вершинная точка комплекса ã лежит на относительной границе множества S̃, то найдется двумерный симплекс B̃ из комплекса ã и найдутся дваребра из этого симплекса, не равные ребру à и лежащие на относительной границе множества S̃.°Если в рассматриваемом комплексе a есть (ν + 1) двумерный симплекс, то выберем одно из двухнеравных ребру A ребер того комплекса, лежащих на относительной границе множества S и имеющихтолько одну общую вершину с ребром A, и ребро это назовем C.

Еще назовем D единственное неравное ребрам A и C ребро комплекса a, лежащее на относительной границе множества S и имеющеетолько одну общую вершину с ребром C.°Заметим, что в комплексе a или найдется или не найдется двумерный симплекс, инцидентный ребрамC и D. Если найдется, то всё доказано. Далее предполагается, что не найдется. В этом случае существует ребро A 0 из комплекса a, инцидентное общей вершине ребер C и D и лежащее в rint S.°Заметим, что множество (rint S) \ A 0 состоит из двух связных компонент, каждая их которых гомеоморфна пространству R2 .°Обозначим Z ту из этих двух компонент, замыкание которой не содержит ребра A. Образуем новыйкомплексa 0 := {P : ∃Q(Q ∈ a, Q ⊂ Z, P C Q)}.°Еще заметим, что в комплексе a 0 не более чем ν двумерных симплексов, и каждая вершинная точкаэтого комплекса лежит на rmrg S.

Таким образом, каждая вершинная точка комплекса a 0 лежит наотносительной границе его тела. По индуктивному предположению, найдется двумерный симплекс Bкомплекса a 0 и два ребра этого симплекса, не равные ребру A 0 и лежащие на относительной границетела комплекса a 0 . Итак, B ∈ a и те два его ребра лежат по построению на относительной границетела комплекса a.Q.E.D.72°Th·Пусть a — полный симплициальный комплекс такой, что ∪ a гомеоморфно двумерному диску илежит в плоскости Y, в множестве rint(∪ a) есть некоторая вершинная точка комплекса a, в комплексеa нет двумерного симплекса, у которого есть вершинная точка в rint(∪ a) и есть его ребро, включенноев rmrg(∪ a); а также A — некоторое ребро комплекса a, лежащее на rmrg(∪ a).Тогда найдутся три разные вершинные точки q1 , q2 , q3 комплекса a такие, что{q1 } ∗ {q2 } ∗ {q3 } ∈ a,(q1 , q2 ), (q2 , q3 ) ⊂ rmrg(∪ a),/Полно/3 Многоугольники–следы/3.6 Стяжение и натяжение петель/3.6.1 Ветвление отрицательной петли105и ребра (q1 , q2 ), (q2 , q3 ) не равны ребру A.Доказательство°Обозначим z(a) := card{Q : Q ∈ a, dim Q = 2}.°В начале заметим, что указанное в условии сочетание возможно только при z(a) > 6.

Характеристики

Список файлов диссертации