Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Заметим, что отображение a 0 — редукт отображения m(1, ·). См. рис. 3.8 .96/Полно/3 Многоугольники–следы/3.3 Ветвления3 45 6bb2b8 910 11127bbbbb72 68 12bbbbbb15bbbâb̂b113bbba3 11bbbbb913b410c3 45 6b2bbbbbbbb18 910 11127bbba0bbbâb̂13Диаг. 8. слияние: 4°Образуем множество n всех симплексов K комплекса k 0 таких, что a 0 ◦ (K) ∩ (a, b) 6= ∅.
Скажем, чтодва симплекса из n смежны, если их замыкания пересекаются. Натянем на это отношение смежности отношение эквивалентности ∼. Обозначим через n 0 множество всех симплексов из n таких, что укаждого из них найдется ∼–эквивалентный симплекс N из n такой, что N B {â}, a 0 ◦ (N) ∩ (a, b) 6= ∅,N 6B {b̂}.°Деформируем аналогично пт.
67 и перейдем к новому каноническому представителю как в пт. 68. См.рис. 3.9 .bb15ψbζbηbδbαbbbbβb123bbγ4bβ11bbηbb913ψbbζ 10γbb3a5 6bbbbbbδ8 127α2 647b8 910 1112bbbbbbbâb̂b13a0Диаг. 9. слияние: 5°Аналогично пт. 67 деформационно сместим точку a в точку b и перейдем к новому каноническомупредставителю как в пт. 68. При этом степень новообразованной точки есть сумма степеней исходных двух, так как обходящие (подлинкованные) ребра из комплекса k не изменны. См. рис.
3.10 . В97/Полно/3 Многоугольники–следыэтом Описании видно, что все деформации можно проводить в произвольно малой окрестности образаучастка дуги между двух соседних ветвлений.bb15δ8 127α2 6bb11bbγ45 6bb7bbbbη, β, 3, ab913ψbbζ 108 9bbζbηbγbbbψ10a04bb11bbβbδ αbbb21b12b3bbâb̂b13Диаг. 10. слияние: 63.4Петельные ломаные–следыП ЕТЛЯ69°Df·Пусть a — окружностное отображение. Тогда отображение b, включенное в a, назовем параметрическою петлею в a, если или b = a, при условии, что a инъективно; или, если a не инъективно, тоdom b гомеоморфно невырожденному отрезку в R, отображение b инъективно на множестве reg dom bи склеивает концы множества dom b, а также im a∩intY (Y\C∞ (b)) = ∅.
При этом множество Y\C∞ (b)назовем областью, ограниченною параметрическою петлею b. Точку же b(x), где x — одна издвух нерегулярных точек множества dom b, назовем основанием параметрической петли b.°Df·Скажем, что множество L — петля в ломаной–следе A, если найдется канонический представитель ha, ∅i ломаной–следа A и параметрическая петля b в нем, для которых im b = L. При этомназовем отображение b параметризациею петли L. Основание же параметрической петли b назовемоснованием петли L.°Df·Если для A выполнены условия 65, то для параметрической петли b в некотором каноническомпредставителе ha, ∅i ломаной–следа A и для петли L в ломаной–следе A, где im b = L, определим знакlsigna0 b параметрической петли b по следующей формуле (взяв ориентацию на dom b от ориентацииположительного обхода dom a):−1, если параметризация b (см. Определение 69) обходит область, ею ограниченную,против часовой стрелки (в положительном направлении);lsigna0 b :=+1, если параметризация b обходит область, ею ограниченную,по часовой стрелке (в отрицательном направлении);98/Полно/3 Многоугольники–следы/3.4 Петельные ломаные–следыи определим знак lsignA L петли L в ломаной–следе A как lsignA L := lsigna0 b.П ЕТЕЛЬНЫЕСЛЕДЫ°Df·Для двух ломаных–следов A и B в общем положении, с выполненными условиями 65 и петли L в Aскажем, чтоA происходит из B порождением петли L и запишем A = B ⊕ L,илиB происходит из A вырождением петли L и запишем B = A L,если найдутся такие канонический представитель ha, ∅i ломаной–следа A, канонический представитель hb, ∅i ломаной–следа B, параметрическая петля c в A и кусочно аффинное отображение d, измножества dom a \ reg dom c на dom b, инъективное на dom a \ dom c, что b ◦ d = a|dom a\reg dom c .°Df·Скажем, что ломаная–след A простая, если у нее есть инъективный канонический представитель,сохраняющий положительный обход области им ограниченной.Скажем, что ломаная–след A в общем положении с выполненными условиями 65 петельная, если найдется набор m0 , .
. . , mν ломаных–следов в общем положении с условиями 65 и набор петель l1 , . . . , lν в соответственно m1 , . . . , mν такие, что mν = A, m0 — простая ломаная–след, mι =mι−1 ⊕ lι , при ι = 1, . . . , ν.°Df·Скажем, что многоугольник–след петельный, если его граница петельная.П ОСТРОЕНИЕ°Возьмем некоторую петельную ломаную–след A. Рассмотрим некоторую последовательность также петельных ломаных–следов m0 , .
. . , mν, и последовательность петель l1 , . . . , lν с основаниямиb1 , . . . , bν в них так, что mι = mι−1 ⊕ lι , для ι = 1, . . . , ν.°Построим последовательность ломаных–следов c0 , . . . , cµ = A. Положим c0 := m0 , и если построена cι , то определим cι+1 как ломаную–след cι с порожденными всеми петлями из набора l1 , . . . , lν,основания которых лежат на объединении всех дуг графа Gr(cι ).°Определим для каждого ι = 0, . . . , µ множество Arcι как совокупность всех одноэлементных множеств {A}, где A — дуга графа Gr(cι ).°Определим последовательно деревья:• d0 := Arc0 , содержит единственный элемент;• если дерево dι построено, то определим дерево dι+1 по формулеdι+1 := dι t (Arcι+1 \ Arcι )tt{{A, B} : {A} ∈ Arcι+1 \ Arcι , {B} ∈ Arcι+1 , (B ⊂ A илидуга петли с основанием на A)}Определим Arb(A) :=Sdι .ι:ι∈N°Произведем раскраску вершин графа Arb(A):FastA (k) := min{ι : k — вершина в dι }; −1, если k = {L}, L — дуга петли знака −1;0,если k = {L}, L — дуга не петли;LaqsA (k) :=+1, если k = {L}, L — дуга петли знака +1;99/Полно/3 Многоугольники–следы/3.4 Петельные ломаные–следы{M}, если M — дуга (M 6= S) или лежащаяили имеющая свой корень на S, на которойона непосредственно последует дугеSecuA (k) :=L, где k = {L};∅,еслиk = {L}, и дуге L на S нет последующей,где S — дуга, на которой лежит или имеет свой корень дуга L.См.
пример рисс. 3.11 , 3.12 , 3.13 .Диаг. 11. удаление петель1− .401− .401−−.60−1 .51 .1− .50−1− .3−1− .201− .1− .101− .1− .2−1− .1− .301− .1− .4+Диаг. 12. наращение петель1− .5−1− .601− .1−1− .3−1− .201−100/Полно/3 Многоугольники–следы1−h0, −1, ∅i1− .60h1, 0, ∅i1− .1− .50h2, 0, ∅i1− .5−h1, −1, {1− .60 }i1− .1− .4+h2, +1, {1− .1− .50 }i1− .40h1, 0, {1− .5− }i1− .1− .30h2, 0, {1− .1− .4+ }i1− .3−h1, −1, {1− .40 }i1− .1− .2−h2, −1, {1− .1− .30 }i1− .20h1, 0, {1− .3− }i1− .1− .10h2, 0, {1− .1− .2− }i1− .1−h1, −1, {1− .20 }iДиаг. 13. дерево построения°Рассмотрим две петельные ломаные-следы L 0 и L 00 такие, что• если в них выродить все петли максимального в соответственно каждой из них уровня (то естьFastL 0 (l) = max im FastL 0 и также для L 00 ), то от обеих ломаных–следов образуется одна и та желоманая–след L;• у этих двух ломаных–следов L 0 и L 00 раскрашенные деревья построения изомофны некоторымизоморфизмом, неподвижным на их общем поддереве построения ломаной–следа L.Тогда те две ломаные–следы различаются только в конкретном расположении сопоставленных другдругу дуг максимального уровня, с одинаковыми знаками и последовательным расположением.
Таким˜ L 0 и h◦ непообразом ясно, что найдется инъективное круговое отображение h такое, что dom h ⊃ im˜ L 0 ) = im˜ L 00 .движно на дугах ломаной–следа L и h◦ (im3.5Весовые функцииП ОСТРОЕНИЕИ ПРОСТОТА°Df·Рассмотрим ломаную–след A.
Тогда функцию a, действующую на множестве Arc(A) всех дуг графа Gr(A) и принимающую произвольные целочисленные значения, назовем весовою.°Df·Рассмотрим две ломаные–следы A и B, где A происходит из B порождением петли L знака σ ∈{−1, +1} с основанием x на дуге A графа Gr(B), причем101/Полно/3 Многоугольники–следы/3.5 Весовые функцииесли B проста, то дуга A подразделена точкою x на одну дугу A 0 в графе Gr(A),если же B не проста, то дуга A подразделена точкою x на две дуги A 0 и A 00 в графе Gr(A).Рассмотрим еще весовые функции a на A и b на B. Тогда скажем, что эти весовые функции согласованы, если в случае простоты ломаной–следа Bb(A) = a(A 0 ) + (a(L) + σ);или в случае непростоты ломаной–следа Ba(K),если K — дуга в Gr(A) и в Gr(B);b(K) =a(A 0 ) + (a(L) + σ) + a(A 00 ), если K = A.70°Df·Рассмотрим петельную ломаную–след A и некоторую весовую функцию a на ней.
Тогда скажем,что эта весовая функция a простая, если найдется последовательность b0 , . . . bν ломаных–следов ивесовых функций c0 , . . . , cν на тех ломаных–следах со свойствами1. bν = A;2. b0 — простая;3. bκ происходит из bκ−1 порождением петли, κ = 1, . .
. , ν;4. cκ и cκ−1 согласованы, κ = 1, . . . , ν;5. c0 ≡ 0;6. cν = a;7. cκ (A) > 0 при A ∈ dom cκ и κ = 0, . . . , ν;8. cκ (A) > 0, если A — петля знака −1 в bκ при κ = 1, . . . , ν.Н ЕЗАВИСИМОСТЬ°Th·Пусть A — петельная ломаная–след и B — петельная ломаная–след, происходящая из ломаной–следа A порождением петли L знака σ ∈ {−1, +1}.
Тогда если b — простая весовая функция на B и a— согласованная с весовою функциею b, то a проста.Доказательство°Возьмем существующую по Определению 70 последовательность порождения петельlllν21. . . 7−→hcν , dνi,hc1 , d1i 7−→hc0 , d0i 7−→где c0 — простая ломаная–след, d0 ≡ 0 — весовая функция на c0 , верно, что cν = B и dν = b,еще ломаная–след cι происходит из ломаной–следа cι−1 порождением петли lι, причем dι — весоваяфункция на cι согласованная с весовою функциею dι−1 на cι−1 при ι = 1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
