Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Далее будем считать, что все многогранники связны.°Inf·Простая ломаная есть многогранник, гомеоморфный отрезку [0, 1].°Inf·Аффинное подпространство L пространства Uni зовется опорною к некоторому выпуклому полиэдру B плоскостью, если она пересекает замыкание полиэдра B и для всяких двух разных точек p и qиз B если (p, q) ∩ L 6= ∅, то [p, q] ⊂ L. Грань выпуклого полиэдра A есть всякий выпуклый полиэдрB, у которого найдется некоторая опорная к многограннику A плоскость C такая, что A ∩ C = B (обозначим через A C B отношение “A является гранью в B”). Также говорится, что выпуклый полиэдр Aинцидентен выпуклому полиэдру B, если или A — грань у B или наоборот B — грань у A.°Inf·Вершина есть всякий нульмерный выпуклый полиэдр.

Вершина выпуклого полиэдра есть вершина, являющаяся его гранью, а точка x — вершинная точка выпуклого полиэдра, если множество{x} — вершина его. Совокупность всех вершинных точек выпуклого полиэдра P обозначим через vert P.Ребро есть одномерный выпуклый полиэдр.°Inf·Симплекс есть выпуклый полиэдр с аффинно независимым множеством всех вершинных точекего.°Inf·Для двух симплексов A и B, объединение вершинных множеств которых аффинно независимо,определяется их произведение A ∗ B, также симплекс, по формулеA ∗ B = B ∗ A := rint conv(vert A ∪ vert B),где conv обозначает выпуклую оболочку.°Inf·Напомним, что два выпуклых полиэдра согласованы, если пересечение их замыканий или пустоили является замыканием некоторой грани в каждом из них. Выпуклополиэдральный комплекс a7есть конечное множество попарно согласованных выпуклых полиэдров.

Выпуклополиэдральный комплекс a полон, если его тело ∪ a (то есть объединение всех его элементов) компактно, что эквивалентно принадлежности комплексу всякой грани всякого элемента комплекса.°Inf·Выпуклополиэдральный комплекс симплициален, если каждый элемент его — симплекс.°Df·Отображение a из некоторого компактного полиэдра — подмножества пространства Uni — в тоже пространство назовем аффинным относительно набора a выпуклых полиэдров, если оно непрерывно, ∪ a = dom a и отображение a аффинно на каждом полиэдре из набора a.°Df·Отображение a из некоторого подмножества пространства Uni в это же пространство назовем кусочно-аффинным (сокращенно будем писать “PA–отображение”), если оно аффинно относительнонекоторого набора выпуклых полиэдров.°В книге [1] предложен иной подход к кусочной аффинности, однако на компактных полиэдрах класскусочно–аффинных отображений тот же, что здесь.°Df·Если a — некоторое PA–отображение, то• скажем, что a — смятие, если для всякого ребра A такого, что A ⊂ dom a, верно, что множествоa◦ (A) не одноточечно;• в противном предыдущему случае скажем, что отображение — консумпция;◦• скажем, что a — контракция, если для всякой точки x из im a верно, что множество (a−1 ) ({x})связно.К Главе ПервойВступление°Df·Скажем, что тройка hk, f, li двух полных симплициальных комплексов k и l и отображения f, заданного на ∪ k, симплициальна, если отображение f аффинно относительно комплекса k, и для каждого симплекса K ∈ k его образ f◦ (K) ∈ l.Скажем, что отображение a симплициально относительно полного симплициального комплекса k,если найдется полный симплициальный комплекс l такой, что тройка hk, a, li симплициальна.Разложение кусочно–аффинного отображения°Теорема·Для всякого кусочно аффинного отображения f найдется PA–контракция h и PA–смятие g,в композиции дающие f, то есть f = g ◦ h.Определение многогранника–следа°Df·Если a — PA–отображение, то его редуктом назовем всякое PA–смятие b такое, что найдетсяPA–контракция c, в композиции с b дающая отображение a (то есть a = b ◦ c).°Df·Скажем, что два PA–отображения a 0 и a 00 редуктивно–эквивалентны, если у них есть общийредукт.

То есть найдутся PA–смятие b, PA–контракции c 0 и c 00 такие, что a 0 = b ◦ c 0 и a 00 = b ◦ c 00 .°Th·Отношение редуктивной эквивалентности рефлексивно, симметрично, транзитивно.°Df·Произвольное множество PA–отображений назовем редуктивно содержательным, если у всякого элемента того множества есть редукт в том множестве.Обозначать будем кратко: rd-ct-множество.°Df·Если A — некоторое rd-ct-множество, то классы редуктивно-эквивалентных элементов того множества назовем A–многогранниками–следами.°Заметим, что всякий элемент всякого A–многогранника–следа обладает редуктом из того же многогранника–следа, а всякие два элемента его обладают общим редуктом из него же.8°Df·Для некоторого PA–отображения a скажем, что некоторый замкнутый многогранник P — аффиктура к отображению a, если P ⊂ dom a.°Df·Если a — PA–отображение и P — некоторая аффиктура к отображению a, то af-редуктом парыha, Pi назовем всякую пару hb, Qi такую, что b — PA–смятие, Q — аффиктура к отображению b, инайдется PA–контракция c такая, что a = b ◦ c и c◦ (P) = Q.°Df·Скажем, что две пары ha 0 , P 0 i и ha 00 , P 00 i, где a 0 и a 00 — PA–отображения, P 0 — аффиктура к a 0 ,P 00 — аффиктура к a 00 , af-редуктивно–эквивалентны, если у них есть общий af-редукт.°Th·Отношение af-редуктивной–эквивалентности рефлексивно, симметрично, транзитивно.°Df·Произвольное множество пар PA–отображений и аффиктур к ним назовем af-редуктивно содержательным, если у всякого элемента того множества есть af-редукт в том множестве.Обозначать будем кратко: af-rd-ct-множество.°Df·Если a — некоторое af-rd-ct-множество, то классы af-редуктивно–эквивалентных элементов того множества назовем a–af-многогранниками–следами.Деформации многогранников–следов°Df·Возьмем некоторые разные числа α и β из R и некоторый полный симплициальный комплекс a инекоторое rd-ct-множество W.

Тогда непрерывное отображение a из [α, β] × ∪ a в Uni —• элементарная деформация относительно четверки hα, β, a, Wi, если– при каждом τ из [α, β] отображение a(τ, ·) симплициально относительно комплекса a и принадлежит классу W;– при всяких числах σ и τ из (α, β] и всяких точках v и w из ∪(vert◦ (a)) верно, что еслиa(σ, v) = a(σ, w), то a(τ, v) = a(τ, w).• аналитическая элементарная деформация относительно четверки hα, β, a, Wi, если оно элементарная деформация относительно той же четверки hα, β, a, Wi такая, что при каждой точке vиз ∪(vert◦ (a)) отображение a(·, v) аналитично (то есть локально представимо степенным рядом сцентром) в α и однажды непрерывно–дифференцируемо на [α, β].°Df·Возьмем некоторые разные числа α и β из R и некоторый полный симплициальный комплекс a инекоторый замкнутый полиэдр P, являющийся объединением симплексов из a, и некоторое af-rd-ctмножество W. Тогда непрерывное отображение a из [α, β] × ∪ a в Uni —• элементарная деформация относительно пятерки hα, β, a, P, Wi, если– при каждой точке x из P отображение a(·, x) постоянно на [α, β];– при каждом τ из [α, β] отображение a(τ, ·) симплициально относительно комплекса a и параha(τ, ·), Pi принадлежит классу W;– при всяких числах σ и τ из (α, β] и всяких точках v и w из ∪(vert◦ (a)) верно, что еслиa(σ, v) = a(σ, w), то a(τ, v) = a(τ, w).• аналитическая элементарная деформация относительно пятерки hα, β, a, P, Wi, если оноэлементарная деформация относительно той же пятерки hα, β, a, P, Wi такая, что при каждойточке v из ∪(vert◦ (a)) отображение a(·, v) аналитично в α и однажды непрерывно–дифференцируемо на [α, β].°Df·Возьмем некоторые разные числа α и β из R и некоторый полный симплициальный комплекс aи некоторый замкнутый полиэдр P, являющийся объединением симплексов из a, и некоторое af-rdct-множество W.

Тогда непрерывное отображение a из [α, β] × ∪ a в Uni — близкосвязанная элементарная деформация относительно пятерки hα, β, a, P, Wi, если оно так сказать “посимплексноэлементарная деформация”, формально же, если9• при каждой точке x из P отображение a(·, x) постоянно на [α, β];• при каждом τ из [α, β] пара ha(τ, ·), Pi принадлежит классу W и при каждом симплексе A из aотображение a(τ, ·)|A симплициально относительно комплекса cla {A};• при всяких числах σ и τ из (α, β] и при каждом симплексе A из a и всяких точках v и w из vert Aверно, что если a(σ, v) = a(σ, w), то a(τ, v) = a(τ, w).°Df·Возьмем некоторые разные числа α и β из R и некоторое [af-]rd-ct-множество W.

Тогда отображение b из [α, β] в совокупность W–многогранников–следов — [[близкосвязанная]] элементарная W–деформация относительно пары hα, βi, если найдется полный симплициальный комплекс a[и некоторый замкнутый полиэдр P, являющийся объединением симплексов из a] и непрерывное отображение a из [α, β]× ∪a в Uni такие, что отображение a — [[близкосвязанная]] элементарная деформация относительно четверки hα, β, a, Wi [пятерки hα, β, a, P, Wi] и при каждом τ из [α, β] отображениеa(τ, ·) принадлежит множеству b(τ).°Df·Возьмем некоторые числа α и β из R, причем α < β, и некоторое [af-]rd-ct-множество W. Тогдаотображение a из [α, β] в совокупность W–многогранников–следов — [[близкосвязанная]] W–деформация на отрезке [α, β], если найдется набор чисел α = τ0 < . . .

< τν = β таких, что прикаждом ι = 1, . . . , ν отображение a[τ ,τι ] — [[близкосвязанная]] элементарная W–деформация отι−1носительно пары hτι−1 , τι i или пары hτι , τι−1 i.Объем многогранника–следа°Выберемконечномерное аффинное подпространство Y, в нем некоторое скалярное произ некотороеведение ·, · и порожденный им объем mesι (размерностей ι = 0 . . . dim Y).°Df·Для всяких кусочно аффинного отображения f с образом в выбранном пространстве Y, и полного симплициального комплекса k, относительно которого отображение f симплициально, определимобъем volk000 f по формулеXvolk000 f :=mesν f◦ (K),K:K∈kгде ν = max dim K.K:K∈k°Th·Если f — некоторое PA–отображение с образом в Y, то число volk000 g не зависит от выбора отображения g и комплекса k из всех таких, что g — симплициальный относительно полного симплициального комплекса k редукт с образом в Y отображения f.°Df·Для произвольного кусочно–аффинного отображения f, образ которого лежит в выбранном пространстве Y, определим его объем vol f как число volk000 g при некотором симплициальном относительнонекоторого полного симплициального комплекса k редукте g с образом в Y отображения f.°Df·Для произвольного [af-]rd-ct-множества A определим для всякого A–многогранника–следа A его˜ A как образ некоторого представителя его (im˜ A := im f, где f ∈ A[ или hf, Pi ∈ A]), и если im˜ Aобраз imлежит в выбранном пространстве Y, то его объем Vol A по формуле Vol A := vol f, где f [или hf, Pi] —некоторый представитель из A.°При этом от представителя это число не зависит.Объем многогранников–следов при деформации°Df·Определим множество T — совокупность всех PA–отображений с образом в Y.Скажем, что [аналитическая] элементарная деформация a относительно некоторой четверки hα, β, a, Tiпроста, если dim im a(τ, ·) не зависит от τ из [α, β].

Характеристики

Список файлов диссертации