Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Тогда для A выполнены условия 65 в том и толькотом случае, в котором fdGr(A) — связен и все ребра графа duGr(A) инцидентные бесконечной вершинеориентированы одновременно или к ней или от нее.Доказательство°Одинаковая ориентированность соответствует Утверждению 61. Связность же соответствует Утверждению 64.Q.E.D.3.3ВетвленияС ТЕПЕНЬ66ТОЧКИ У ОТОБРАЖЕНИЯ°Df·Рассмотрим некоторое круговое смятие a, точку x из rmrg dom a, и некоторый полный симплициальный комплекс k, относительно которого симплициально отображение a, и у которого точка x —вершинная (такой всегда найдется по Замечанию 4 и Утверждению 15). Рассмотрим все вершинныеточки w комплекса k такие, что ребро (x, w) (у него вершинные точки суть x и w) — элемент комплекса k, и пронумеруем v0 , . .
. , vν все те точки так, чтобы ] a(x)a(vι−1 ), a(x)a(vι ) > 0 при всехι = 1, . . . , ν.0Тогда определим число degk,a(x) по формуле P](a(x)a(vι−1 ), a(x)a(vι )) 0.degk,a(x) := ι=1,...,ν2π°Th·Пусть a — круговое смятие в общем положении; x — точка из rmrg dom a; k 0 и k 00 — симплициальные комплексы, относительно которых отображение a симплициально, а точка x — вершиннаякаждому из них.Тогда degk0 0 ,a (x) = degk0 00 ,a (x).Доказательство°Достаточно рассмотреть случай k 00 ≪ k 0 , как видно из Замечания 4.°В таком случае рассмотрим последовательности v00 , .
. . , vµ0 и v000 , . . . , vν00 вершинных точек из Определения 66 относительно комплексов k 0 и k 00 соответственно.°Заметим, что при каждом ι = 1, . . . , µ верно следующее равенство:0](a(x)a(vι−1), a(x)a(vι0 )) =X00](a(x)a(vα−1), a(x)a(vα00 )).=0000 }∗{x}⊂{v 00α:{vα−1}∗{vαι−1 }∗{vι }∗{x}Из этого следует заявленное равенство.Q.E.D.°Df·Определим для кругового смятия a в общем положении и точки x на множестве rmrg dom a сте0пень dega x точки x относительно отображения a как число degk,a(x) для некоторого комплексаk, относительно которого симплициально отображение a и которому точка x — вершинная.С ТЕПЕНЬТОЧКИ У МНОГОУГОЛЬНИКА – СЛЕДА92/Полно/3 Многоугольники–следы/3.3 Ветвления°Th·Рассмотрим круговое смятие a и круговое инъективное отображение b такое, что dom a = im b.Также возьмем некоторую точку x на множестве rmrg dom b.
Тогда dega◦b x = dega b(x).Доказательство°Возьмем некоторый полный симплициальный комплекс k такой, что {x} ∈ k и отображение b симплициально относительно комплекса k, а отображение a симплициально относительно комплекса b◦ ◦ (k).°Тогда проведем нумерацию соответствующих вершинных в комплексе k точек v0 , . . . , vν как в Определении 66.°Рассмотрим сумму для deg 0 : P]((a ◦ b)(x)(a ◦ b)(vι−1 ), (a ◦ b)(x)(a ◦ b)(vι )) ι=1,...,ν0=degk,a◦b(x) = 2π P](a(b(x))a(b(vι−1 )), a(b(x))a(b(vι))) ι=1,...,ν==2π(так как отображение b инъективно)= degb0 ◦ ◦ (k),a (b(x)).Q.E.D.°Df·Рассмотрим многоугольник–след A в общем положении и точку x, лежащую на теле графа Gr(A),но не в вершине его.
Тогда степенью degA x точки x относительно многоугольника–следа A назовемчисло dega y, где ha, rmrg dom ai — некоторый канонический представитель многоугольника–следа Aи точка y — единственный a–прообраз точки x на множестве rmrg dom a.°Df·Рассмотрим многоугольник–след A в общем положении и точку x, лежащую на теле графа Gr(A),но не в вершине его. Тогда назовем точку x точкою степени degA x относительно многоугольника–следа A, а если degA x > 0, то назовем ее точкою ветвления относительно многоугольника–следа A.РАСЩЕПЛЕНИЕ ВЕТВЛЕНИЯ°Возьмем некоторый полный симплициальный комплекс a и некоторое круговое смятие a в общемположении, симплициальное относительно комплекса a.
Рассмотрим некоторую точку x такую, чтоdega x =: ν > 1. Возьмем некоторое целое число β такое, что 0 < β < ν.°Заметим, что {x} — непременно вершина в комплексе a.°Рассмотрим семейство всех подразделений b комплекса a таких, что• b — симплициальный комплекс;• для всякого симплекса A комплекса a, инцидентного вершине {x}, и всякого симплекса B комплекса b, включенного в симплекс A, верно, что симплекс B инцидентен вершине {x}.°Ясно, что среди таких подразделений найдется такое особое подразделение b комплекса a, что еслив этом комплексе b рассмотреть все его симплексы B, инцидентные вершине {x} и не совпадающие снею, и так пронумеровать v0 , . .
. , vµ все вершинные точки этих симплексов, не совпадающие с точкоюx, чтобы ориентированный угол ](xvι−1 , xvι ) > 0, то найдется κ ∈ N+ такое, что P](a(x)a(vι−1 ), a(x)a(vι) ι=1,...,κ;β=2πP](a(x)a(vι−1 ), a(x)a(vι) ι=κ+1,...,µ.ν−β=2πСм. рис. 3.3 .93/Полно/3 Многоугольники–следы/3.3 Ветвленияvκav0bbbba(v0 )bxa(vκ )bvµbba(x)a(vµ )Диаг. 3. к расщеплению°Построим симплициальный комплекс k.
Для этого обозначим c := b \ Stb {x} — также полный симплициальный комплекс. Затем возьмем две разные точки x 0 , x 00 , достаточно близкие к точке x, такие,что отрезок [x 0 , x 00 ] не параллелен ребру (x, vκ ), и множествоd := {{x 0 }, {x 00 }} ∪ {{vι } : ι = 0, . . . , µ}∪∪{{x 0 } ∗ {x 00 }} ∪ {{vι−1 } ∗ {vι } : ι = 1, . . . , µ}∪∪{{x 0 } ∗ {vι } : ι = 0, .
. . , κ} ∪ {{x 00 } ∗ {vι } : ι = κ, . . . , µ}∪∪{{x 0 } ∗ {x 00 } ∗ {vκ }}∪∪{{x 0 } ∗ {vι−1 } ∗ {vι } : ι = 1, . . . , κ}∪∪{{x 00 } ∗ {vι−1 } ∗ {vι } : ι = κ + 1, . . . , µ}(см. рис. 3.4 ) было бы полным симплициальным комплексом и в пересечении с комплексом c даваломножество {{vι } : ι = 0, . . . , µ} ∪ {{vι−1 } ∗ {vι } : ι = 1, . .
. , µ}. Далее определим k := c ∪ d, определим также отображение w 0 на множестве ∪ c как w 0 := id(∪ c) , еще определим отображение w 00 намножестве ∪ vert◦ (d) по формуле:vι , если q = vι ;00w (q) =x, если q ∈ {x 0 , x 00 },определим отображение w 000 как посимплексно аффинное продолжение отображения w 00 на комплексе d, и определим отображение w := w 0 ∪ w 000 . Ясно (см. Утверждение 31), что построенное отображение w — контракция.v0bx0x 00bbvµbbvκДиаг.
4. к расщеплению°Построим деформацию m. Возьмем некоторую точку y на ребре (x, v0 ) так, чтобы a(y) была на расстоянии меньше от точки a(x). Определим отображение m 0 на множестве [0, 1] × ∪ c какm 0 (τ, s) := s, при τ ∈ [0, 1] и s ∈ ∪ c.Определим отображение m 000 на множестве [0, 1] × ∪ vert◦ (d) какесли s = vι ; a(vι ),000a(x),если s = x 00 ;m (τ, s) :=(1 − τ)a(x) + τa(y), если s = x 0 ,94/Полно/3 Многоугольники–следы/3.3 Ветвленияи при каждом τ ∈ [0, 1] посимплексно аффинно на комплексе d продолжим его до отображения m 00 .Отображение m определим как m := m 0 ∪ m 00 .°Заметим, что• m(τ, ·) симплициально посимплексно относительно комплекса k;• m(0, ·) = a ◦ w, для PA–контракции w, причем отображение w симплициально относительнокомплекса k и отображение a симплициально относительно комплекса c◦ ◦ (k);• g := Gr(mrg(m(τ, ·))) не зависит от τ ∈ [0, 1];• для всякого τ ∈ (0, 1] отображение m(τ, ·) есть круговое смятие;• m(·, y) — постоянно при всяком y из ∪ k вне ∪ Stk {{x 0 }, {x 00 }};• m(τ, ·) обладает двумя и только двумя ветвлениями x 0 и x 00 , m(τ, ·)–образы которых лежат натой же дуге графа Gr(a), являются на ней соседними и в пределе при τ & 0 стремятся к точкеa(x), причем степени их суть β и ν − β;• dist(m(0, ·), m(τ, ·)) < при всяком τ ∈ [0, 1].°Итак, вышеописанная конструкция определяет произвольно малое деформационное преобразование:замену при сохранении граничного графа одного ветвления на два других (с заданным распределениемих степеней β и ν − β) на той же дуге граничного графа с сохранением суммарной степени их.
Назовемтакое преобразование расщеплением.С ЛИЯНИЕВЕТВЛЕНИЙ°Рассмотрим некоторый многоугольник–след A в общем положении, и некоторую дугу A графа Gr(Mrg A),а также некоторые две точки a и b на дуге A положительной степени и такие, что на дуге A нет точекположительной степени между точек a и b.°При этом будем считать, что вся дуга A есть интервал прямой (если это не так, то можно отобразитьнекоторым инъективным круговым PA–отображением многоугольник–след A так, чтобы у отображенного многоугольника–следа соответствующая дуге A дуга была интервалом прямой).°Далее опишем близкосвязанную деформацию, “сливающую два ветвления в одно”. Построения проведем с представителями многогранников–следов.°Возьмем некоторый канонический представитель ha, rmrg dom ai многоугольника–следа A такой, чтоA =: (mrg a)◦ (Â) (множество Â однозначно определяется) и Â — интервал прямой.
При этом существуют однозначно определенные точки â и b̂ такие, что â ∈ Â, b̂ ∈ Â, a(â) = a, a(b̂) = b. См. рис.3.5 .3 45 6b2b1bbbb7b8 910 1112bbba72 68 12bbbbbbbâb̂b1315bbba3 11bb4Диаг. 5. слияние: 1°Еще возьмем некоторый полный симплициальный комплекс k такой, что• отображение a симплициально относительно комплекса k;bbbb1091395/Полно/3 Многоугольники–следы/3.3 Ветвления• всякий двумерный симплекс вида {p} ∗ {q} ∗ {r} из k таков, что если p ∈ (â, b̂) и(p, q) ∩ (â, b̂) = ∅ = (p, r) ∩ (â, b̂),то точки p и b̂ лежат по одну сторону от прямой через точки q и r;• и столь мелкий, что точки a(p) и a(b̂) = b лежат по одну сторону относительно прямой черезточки a(q) и a(r).См. рис. 3.6 .3 4 5 6qb2br7bbbb8 910 1112babr̃72 6 q̃bbb8 12bbbbb115bbbpâ13b̂bbbbabbp̃3 11bb913b104Диаг.
6. слияние: 267°Произведем близкосвязанную деформацию m относительно [0, 1] и комплекса k такую, что m(0, ·) =a, и m(·, v) постоянна при всякой вершинной точке v комплекса k, не лежащей на (â, b̂), и m(τ, v) =(1 − τ) · a(v) + τ · a(b̂) = (1 − τ) · a(v) + τ · b при всякой вершинной точке v комплекса k, лежащей на(â, b̂).
См. рис. 3.7 .3 45 6b2b1bb7bbb8 910 1112bbba72 6bb8 12bbbbbâb̂b1315bbba3 11bb4bbb913b10Диаг. 7. слияние: 368°Аналогично перейдем к новому каноническому представителю, то есть образуем новый комплексk 0 := (k \ {K : K ∈ k, K ∩ (â, b̂) 6= ∅})∪∪{(â, b̂)} ∪ {(c, b̂) : ∃d(d ∈ (â, b̂), (c, d) ∈ k)}∪∪{{c} ∗ {c} ∗ {b̂} : ∃e(e ∈ (â, b̂), {c} ∗ {c} ∗ {e} ∈ k, c 6= d)}и новое отображение a 0 такое, что m(1, ·) = a 0 ◦ c, где c — посимплексно–аффинное продолжениеотображения, действующего на множестве всех вершинных точек комплекса k по формулеv, если v ∈/ (â, b̂)v 7−→b̂, если v ∈ (â, b̂),и a 0 — посимплексно–аффинное продолжение отображения, действующего на множестве всех вершинных точек комплекса k 0 по формуле v 7−→ a(v).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
