Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

. . , 20;m(τ, pι) := 100 · τ · pι , ι = 01, . . . , 15,а на каждом симплексе из комплекса k отображение m есть аффинное продолжение с вершин его.°Запишем формулу объема v при этой деформации: p√√ p√2017τ2 + 25− 53 τ+v(τ) =5−25+25−5−333q√√√√+ 5242 (2τ + 5 − 1) (4τ − 1 − 5)2 + (1 + 5)2 .°Легко видеть, что первая производная этого объема в точке τ = 0 нулевая, а вторая:√ q√√√525 − 5(17 5 − 5) − (17 + 5) < 0.66Тем самым объем уменьшается в некоторой окрестности точки τ = 0. Что противоречит локальнойминимальности.Т ИП VII−°Приведем пример деформации, уменьшающей объем.

Для того определим вершины дополнительно кописанным в Разделе 2.2.2:Тип VII− :p1p2p3p4p5p6p7p8p91:= 100· hρ, 0, 0i,1:= 100 · h−ρ, 0, 0i,:= h0, 0, 0i,1:= 100· h1, 1, 0i,1:= 100· h−1, 1, 0i,1:= 100 · h−1, −1, 0i,1:= 100· h1, −1, 0i,1:= 100· h0, ρ, 0i,1:= 100 · h0, −ρ, 0i,V21V22V23V24V25V26V27V28V29:= {p1 },:= {p2 },:= {p3 },:= {p4 },:= {p5 },:= {p6 },:= {p7 },:= {p8 },:= {p9 }.где числа√881ν1 := 2 97 cos 31 arccos − 97;3/2ν2 := 17 − ν1 ; qи число ρ = 1 − ν32 .°Определим также комплекс k для деформации как множество всех симплексов, подчиненных хотя быодному из двумерных симплексов симплициального комплексаq ∪ z ∪ w ∪ w 0,где/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.3 Деформации83q := e ∪ e 0 ∪ e 00 ∪ e 000 , z := {T ∪ T 0 ∪ T 00 ∪ T 000 },e 000 := vrt90◦ ◦ ◦ (e 00 ), e 00 := vrt90◦ ◦ ◦ (e 0 ), e 0 := vrt90◦ ◦ ◦ (e), e := {S1 , S, S 0},w 0 := vrt90◦ ◦ ◦ (ivr3 ◦ ◦ (w)), w := r ∪ t, r := {S2 , U, U 0 }, t := y ∪ y 0 , y 0 := ivr2 ◦ ◦ (y)), y := u ∪ u 0 ∪ i,u 0 := ivr1 ◦ ◦ (u), u := {S3 , S4 }, i := {S5 , S6},S 0 := ivr2 ◦ (S), S := V23 ∗ V21 ∗ V24 ,T 000 := vrt90◦ ◦ (T 00 ), T 00 := vrt90◦ ◦ (T 0 ), T 0 := vrt90◦ ◦ (T ), T := V03 ∗ V07 ∗ V24 ,U 0 := ivr1 ◦ (U)), U := V01 ∗ V21 ∗ V23 ,S1 := V27 ∗ V24 ∗ V21 , S2 := V01 ∗ V02 ∗ V23 , S3 := V01 ∗ V03 ∗ V24 ,S4 := V01 ∗ V24 ∗ V21 , S5 := V03 ∗ V24 ∗ V25 , S6 := V03 ∗ V04 ∗ V25 .°Зададим деформацию m на множестве [0, 1] × ∪ k:(m(τ, ·))◦ (Vι ) := Vι , ι = 01, .

. . , 12;m(τ, pι) := 100 · τ · pι , ι = 1, . . . , 9,а на каждом симплексе из комплекса k отображение m есть аффинное продолжение с вершин его.°Определим следующие числа:ν3 := ν1 − 8;ν4 := ν1 − 5;ν5 := ν2 · ν3 ;ν6 := νν52 ;4√ν7 := √23 ν6 ;ν8 := ν2 − 12ν6 .°Запишем формулу объема v при этой деформации:p√√√ν2 − 3)τ + 92 ν5 + 34 τ ν8 + 9(τ − ν7 )2 + 4τ2 +v(τ) = 32 ( q√√ √√√√√ν+ 43 (τ( ν8 − ν2 ) + ν7 ν2 )2 + 2( 3 3 − τ)2 ν2 ( ν2 − ν8 )+q√√+ 23 2ν8 (2 ∗ τ − ν3 /3 − ν7 )2 + ( ν33 − 3ν27 + 2τ(3ν7 − ν3 ))2 +q√√√√ν4√ 6+ 3 ν2 τ 32 (( ν2 − 3)τ − 3 5 )2 − ν65 + 2ν2 +q2√7)8+ 4(τ−ν.+2 ν3 4ν819°Легко видеть, что первая производная этого объема в точке τ = 0 нулевая, а вторая:≈ −0.7855744657... < 0.Тем самым объем уменьшается в некоторой окрестности точки τ = 0.

Что противоречит локальнойминимальности.Р ЕЗУЛЬТАТ°Th·Пусть ha, Mi — локально–минимальная пара из F такая, что отображение a локально инъективнона (dom a) \ M; еще выберем комплекс a, точку x и сферу S как в описании Соответствия, и построенуказанный там же комплекс ka,x,a,S на сфере. Тогда из рассмотренных типов I− –VII− следует, чтотело этой сети ka,x,a,S не гомеоморфно телу сетей типов I− , II− , III− , IV− , V− , VI− , VII− из ОписанийТипа I− –Типа VII− .При этом также найдется локальный конус hC, xi такой, что C — замкнутая окрестность точки x вdom a, отображение a инъективно на C, и a–образ K множества int(dom a)\M C имеет один из следующих трех видов:тип I+ : множество K лежит в некоторой плоскости;/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 384тип II+ : найдется симплициальный комплекс k такой, что тело комплекса k есть K, в k всего три двумерных симплекса, всего один одномерный симплекс, нет нульмерных симплексов, причем двумерные симплексы инцидентны одномерному, двугранный угол между каждыми двумя двумерными симплексами составляет 120◦ , и точка a(x) лежит в одномерном симплексе;тип III+ : найдется симплициальный комплекс k такой, что тело комплекса k есть K, в k всего шестьдвумерных симплексов, четыре одномерных и один нульмерный, причем каждый двумерный симплекс инцидентен двум и только двум одномерным, каждый одномерный симплекс инцидентентрем и только трем двумерным, нульмерный же симплекс инцидентен всем четырем одномернымсимплексам, двугранный угол между каждыми двумя двумерными симплексами, инцидентныминекоторому одномерному симплексу, составляет 120◦ , и нульмерный симплекс есть {a(x)}.Глава 3Многоугольники–следы и их границыПредисловиеПри изучении сетей–следов на плоскости с ними связывают некоторые объекты, которые в некоторомсмысле обобщают многоугольники так, что возможны самоналожения.

Подобные объекты изучалисьранее (см. [17]), однако не в кусочно–аффинной категории и не в виде “следов” как классов отображений. Потому предлагается развить понятие многоугольника–следа в рамках многогранников–следов.Изучается связь многоугольника–следа и его границы.3∼ВведениеЭ ЛЕМЕНТЫ°Все построения проведем в некоторой двумерной плоскости Y с некоторым евклидовым скалярнымпроизведением и ориентациею на ней.°Df·Одномерные основные отображения• Назовем PA–контракцию a окружностною, если dom a и im a гомеоморфны окружности и лежат в плоскости Y.• Назовем PA–смятие a окружностным, если dom a гомеоморфно окружности, а dom a и im aлежат в плоскости Y.• Назовем PA–отображение a окружностным, если найдутся окружностное смятие b и окружностная контракция c такие, что a = b ◦ c.°Df·Двумерные основные отображения• Назовем PA–контракцию a круговою, если– dom a и im a гомеоморфны двумерному замкнутому диску и лежат в плоскости Y;– в каждой точке из rint dom a, в которой отображение a локально инъективно, отображениеa сохраняет ориентацию плоскости Y;– a◦ (rmrg dom a) ⊂ rmrg im a.• Назовем PA–смятие a круговым, если8586/Полно/3 Многоугольники–следы– dom a гомеоморфно двумерному замкнутому диску;– dom a, im a лежат в плоскости Y;– отображение a регулярно;– отображение a сохраняет ориентацию плоскости Y в каждой точке множества rint dom a.• Назовем PA–отображение a круговым, если найдутся круговое смятие b и круговая контракцияc такие, что a = b ◦ c.°Df·Назовем классом отмеченных окружностных отображений множество всех пар вида ha, ∅i,где a — окружностное отображение.Заметим, что ∅ — аффиктура в окружностном отображении.

Еще заметим, что этот класс по определению своему редуктивно содержателен.°Df·Назовем классом отмеченных круговых отображений множество всех пар вида ha, rmrg dom ai,где a — круговое отображение.Заметим, что rmrg dom a — аффиктура в круговом отображении a.°Еще заметим, что этот класс редуктивно содержателен.

Действительно, возьмем разложение a = b ◦c в композицию круговой контракции c и кругового смятия b, и некоторый полный симплициальныйкомплекс k, относительно которого отображение c симплициально.°Тогда из определения круговой контракции следует c◦ (rmrg dom c) ⊂ rmrg im c = rmrg dom b.°Чтобы показать обратное включение, возьмем точку x из rmrg dom b. Тогда есть двумерный симплексK в комплексе c◦ ◦ (k), у которого одно ребро E лежит на rmrg dom b, причем x ∈ E.°Рассмотрим некоторый симплекс K̃ из комплекса k такой, что c◦ (K̃) = K. У него есть ребро Ẽ, переходящее в E. Возможны два варианта: или ребро Ẽ лежит на rmrg dom c или нет.°Если лежит, то у точки x есть на rmrg dom c прообразная точка x̃.°Если же нет, то ребру Ẽ инцидентен двумерный симплекс K 0 , не равный симплексу K̃.

Тогда по Утверждению 26 c◦ (K 0 )∩c◦ (K̃) = ∅, из чего следует, что c◦ (K 0 ) = E. И таким же образом перебрав некотороеконечное число двумерных симплексов, дойдем до такого, что у него есть ребро в rmrg dom c.°И у точки x есть на rmrg dom c прообразная точка x̃. И c◦ (rmrg dom c) = rmrg dom b.°Df·Для кругового отображения a определим F–границу mrg a его по формулеmrg a := armrg dom a .Для отмеченного кругового отображения ha, rmrg dom ai определим F–границу mrg(ha, rmrg dom ai)его по формулеmrg(ha, rmrg dom ai) := h armrg dom a , ∅i.°Ясно, что для всякого отмеченного кругового отображения ha, rmrg dom ai его F–граница mrg(ha, rmrg dom aесть отмеченное окружностное отображение.С ЛЕДЫ°Df·Определим ломаные–следы как классы эквивалентных пар из класса отмеченных окружностныхотображений и определим многоугольники–следы как классы эквивалентных пар из класса отмеченных круговых отображений.Канонический представитель ломаной– или многоугольника–следа — пара из него такая, что отображение в ней — смятие.°Df·Для многоугольника–следа A определим его границу Mrg(A) как класс отмеченных окружностных отображений эквивалентных отмеченному окружностному отображению mrg(ha, rmrg dom ai), длянекоторого представителя ha, rmrg dom ai многоугольника–следа A.87/Полно/3 Многоугольники–следы/3.1 Простые необходимые условия3.1Простые необходимые условияВ НЕШНОСТЬ°Df·Если a — некоторое PA–отображение из Y в Y, то обозначим через C∞ (a) единственную неограниченную связную компоненту множества Y \ im a.60°Th·Если A — многоугольник–след, ha, rmrg dom ai — некоторый канонический представитель его,точка x лежит на границе множества dom a, точка же a(x) лежит на границе множества C∞ (a), тонайдется окрестность U точки x во множестве dom a такая, что a|U — инъективна.xa(x)abbdom(a)C∞ (a)Диаг.

1. образ к локальной инъективностиДоказательство°Рассмотрим комплекс a, относительно которого отображение a симплициально.°Если точка x не принадлежит множеству vert◦ a, то найдется двумерный симплекс D в a такой, чтоточка x лежит на границе множества D и множество {x} не есть вершина в D. Множество intdom a Dобразует окрестность точки x в dom a и при этом a|D — инъективна.°Если же x ∈ vert◦ a, то обозначим через D1 , . . .

Характеристики

Список файлов диссертации