Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Тогда найдетсяинъективное аффинное отображение i из Y в Y такое, что i сохраняет углы и осуществляет гомеоморфизм тела сети нашей на тело сети того типа (в частности, i–образная сеть лежит на сфере радиуса1).°Обозначим• B — замкнутый шар, относительною границею которого является сфера S,◦−1• h := sta {{x}}, H := ∪ h, Q := ( a|H )(B),• каждому симплексу A из h сопоставим множество eA := {E : {x} C E, E ⊂ A ∩ Q, (vert E) ∩ A =∅}, w := {{x}} ∪ {W : ∃A(W — максимальный по включению симплекс из eA )},• C := ∪ w, N := fn(C, x).°С помощью отображения i образуем следующие вещи:• f := id(i◦a)◦ (C) ,• P := (i ◦ a)◦ (N),• z := (i ◦ a)(x).При этом из минимальности исходной конической тройки h a|C , N, xi следует (так как сохраняютсяуглы) минимальность соответствующей типовой (с совпадающим множеством всех вершинных точеки с совпадающим отношением парности на них) конической тройки hf, P, zi.°Итак, далее рассмотрим каждый из типов I− , II− , III− , IV− , V− , VI− , VII− и построим каждому изних деформацию, уменьшающую объем, чем будет достигнуто противоречие условию локальной минимальности пары ha, Mi.Т ИП I−°Приведем пример деформации, уменьшающей объем.

Для того определим вершины дополнительно кописанным в Разделе 2.2.2:Тип I− :p1 :=p2 :=p3 :=110011001100· h1, 0, √0i,V7 := {p1 },31· h− 2 , 2√, 0i,V8 := {p2 },13· h− 2 , − 2 , 0i, V9 := {p3 }.°Определим также комплекс k для деформации как множество всех симплексов, подчиненных хотя быодному из двумерных симплексов симплициального комплекса{S4 } ∪ q ∪ q 0 ∪ q 00 ,гдеq 00 := vrt120◦ ◦ ◦ (q 0 ), q 0 := vrt120◦ ◦ ◦ (q), q := {S3 } ∪ w ∪ w 0 ,w 0 := ivr3 ◦ ◦ (w), w := {S1 , S2},S1 := V1 ∗ V7 ∗ V8 , S2 := V1 ∗ V2 ∗ V8 , S3 := V7 ∗ V1 ∗ V4 , S4 := V7 ∗ V8 ∗ V9 .78/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.3 Деформации°Зададим деформацию m на множестве [0, 1] × ∪ k:(m(τ, ·))◦ (Vι ) := Vι , ι = 1, .

. . , 6;m(τ, pι) := 100 · τ · pι , ι = 1, 2, 3,а на каждом симплексе из комплекса k отображение m есть аффинное продолжение с вершин его.°Запишем формулу объема v при этой деформации: rv(τ) =√√2 23 3·+τ23 √√ 2+ 3 43τ + 2 3 2·49+√2 23−τ ,2−τ+τ −→ 0, τ > 0.√√2°Легко видеть, что первая производная этого объема в точке τ = 0 нулевая, а вторая: 3 3−5< 0.2Тем самым объем уменьшается в некоторой окрестности точки τ = 0. Что противоречит локальнойминимальности.Т ИП II−°Приведем пример деформации, уменьшающей объем.

Для того определим вершины дополнительно кописанным в Разделе 2.2.2:Тип II− :p1p2p3p4:=:=:=:=1100110011001100· h1, 0, 0i,· h0, 1, 0i,· h−1, 0, 0i,· h0, −1, 0i,V1+V2+V3+V4+:= {p1 },:= {p2 },:= {p3 },:= {p4 }.°Определим также комплекс k для деформации как множество всех симплексов, подчиненных хотя быодному из двумерных симплексов симплициального комплекса{S1 , S2 } ∪ q ∪ q 0 ∪ q 00 ∪ q 000 ,гдеq 000 := vrt90◦ ◦ ◦ (q 00 ), q 00 := vrt90◦ ◦ ◦ (q 0 ),q 0 := vrt90◦ ◦ ◦ (q), q := {S3 } ∪ w ∪ w 0 ,w 0 := ivr3 ◦ ◦ (w), w := {S4 , S5},S1 := V1+ ∗ V2+ ∗ V3+ , S2 := V1+ ∗ V4+ ∗ V3+ , S3 := V1 ∗ V5 ∗ V1+ , S4 := V1 ∗ V1+ ∗ V2+ , S5 := V1 ∗ V2 ∗ V2+ .°Зададим деформацию m на множестве [0, 1] × ∪ k:(m(τ, ·))◦ (Vι ) := Vι , ι = 1, .

. . , 8;m(τ, pι) := 100 · τ · pι , ι = 1, 2, 3, 4,а на каждом симплексе из комплекса k отображение m есть аффинное продолжение с вершин его.°Запишем формулу объема v при этой деформации:q rqv(τ) =23+ τ · 23 +q2−τ+ 2τ2 ,+ √433·23232−τ+τ −→ 0, τ > 0.√°Легко видеть, что первая производная этого объема в точке τ = 0 нулевая, а вторая: 4 − 3 2 < 0.Тем самым объем уменьшается в некоторой окрестности точки τ = 0.

Что противоречит локальнойминимальности.Т ИП III−79/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.3 Деформации°Приведем пример деформации, уменьшающей объем. Для того определим вершины дополнительно кописанным в Разделе 2.2.2:Тип III− :{100 · p1 } := V01 ,{100 · p2 } := V02 ,{100 · p3 } := V05 ,{100 · p4 } := V06 ,{100 · p5 } := V07 ,{100 · p6 } := V10 ,V11V12V13V14V15V16:= {p1 },:= {p2 },:= {p3 },:= {p4 },:= {p5 },:= {p6 }.°Определим также комплекс k для деформации как множество всех симплексов, подчиненных хотя быодному из двумерных симплексов симплициального комплексаq ∪ w ∪ w 0 ∪ e,гдеq := {S1 , S2}, w 0 := ivr3 ◦ ◦ (w), w := {S3 , S4, S5 }e = r ∪ r 0 , r 0 = ivr2 ◦ ◦ (r), r := t ∪ y ∪ y 0 , t := {S9 , Sa , Sb, Sc , Sd, Se}, y 0 := ivr3 ◦ ◦ (y), y := {Sf , Sg , Sh }S1 := V01 ∗ V06 ∗ V14 , S2 := V01 ∗ V11 ∗ V14 , S3 := V03 ∗ V04 ∗ V13 , S4 := V03 ∗ V12 ∗ V13 ,S5 := V11 ∗ V12 ∗ V13 , S9 := V11 ∗ V12 ∗ V15 , Sa := V11 ∗ V14 ∗ V15 , Sb := V02 ∗ V07 ∗ V15 ,Sc := V02 ∗ V12 ∗ V15 , Sd := V03 ∗ V08 ∗ V15 , Se := V03 ∗ V12 ∗ V15 , Sf := V01 ∗ V02 ∗ V12 ,Sg := V01 ∗ V11 ∗ V12 , Sh := V02 ∗ V03 ∗ V12 .°Зададим деформацию m на множестве [0, 1] × ∪ k:(m(τ, ·))◦ (Vι ) := Vι , ι = 01, .

. . , 10;m(τ, pι ) := 100 · τ · pι , ι = 1, 2, 3, 4, 5, 6,а на каждом симплексе из комплекса k отображение m есть аффинное продолжение с вершин его.°Запишем формулу объема v при этой деформации:v(τ) =113+√√15+232 ·−√√5)+ 2·(5+1543√√ 3/2√3· 2·(5+ 5) −6· 5−70·30r√2 √5+15+1τ ·+44·τ+5−12+· (1 + τ) ·r√5+ 58+√5−14τ2 +2−τ +2−τ ,τ −→ 0, τ > 0.p√4°Легковидеть,чтоперваяпроизводнаяэтогообъемавточкеτ=0нулевая,авторая:·25+105−5√27+5 5< 0. Тем самым объем уменьшается в некоторой окрестности точки τ = 0. Что противоречит6локальной минимальности.Т ИП IV−°Приведем пример деформации, уменьшающей объем.

Для того определим вершины дополнительно кописанным в Разделе 2.2.2:Тип IV− :1p1 := 100· h0, 0, 1i,1p2 := 100 · h0, 0,√−1i,21{p3 } := 100 · 5 (2√6 + 3) · (V05 + V06 ),1· 25 (2√6 + 3) · (V07 + V08 ),{p4 } := 1001{p5 } := 100 · 25 (2 6 + 3) · (V09 + V10 ),V15V16V17V18V19:= {p1 },:= {p2 },:= {p3 },:= {p4 },:= {p5 }.°Определим также комплекс k для деформации как множество всех симплексов, подчиненных хотя быодному из двумерных симплексов симплициального комплексаq ∪ q 0 ∪ q 00 ,80/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.3 Деформациигдеq 00 := vrt120◦ ◦ ◦ (q 0 ), q 0 := vrt120◦ ◦ ◦ (q), q := w ∪ e ∪ e 0 ,w := {S4 , S5 }, e 0 := ivr3 ◦ ◦ (e), e := {S1 , S2 , S20 , S3 , S30 },S1 := V01 ∗ V02 ∗ V15 , S20 := ivr2 ◦ (S2 ), S2 := V02 ∗ V15 ∗ V05 ,S3 := V15 ∗ V17 ∗ V05 , S30 := V15 ∗ V17 ∗ V06 (площади S3 и S30 равны),S4 := V15 ∗ V17 ∗ V16 , S5 := V05 ∗ V06 ∗ V17 .°Зададим деформацию m на множестве [0, 1] × ∪ k:(m(τ, ·))◦ (Vι ) := Vι , ι = 01, .

. . , 14;m(τ, pι ) := 100 · τ · pι , ι = 1, 2, 3, 4, 5,а на каждом симплексе из комплекса k отображение m есть аффинное продолжение с вершин его.°Запишем формулу объема v при этой деформации:√√√√√3v(τ) = 6( 2 +q 3)τ2 − 2 3τ + 2 2+3+4√√√+2 6τ (12 6 + 30)τ2 − (9 + 4 6)τ + 2+p√τ −→ 0, τ > 0.+2 8 − 4 6τ + 6τ2 ,√√2 < 0.°Легко видеть, что первая производная этого объема в точке τ = 0 нулевая, а вторая: −6 3− 212Тем самым объем уменьшается в некоторой окрестности точки τ = 0.

Что противоречит локальнойминимальности.Т ИП V−°Приведем пример деформации, уменьшающей объем. Для того определим вершины дополнительно кописанным в Разделе 2.2.2:Тип V− :{100 · p01 } := V05 ,{100 · p02 } := V06 ,{100 · p03 } := V07 ,{100 · p04 } := V08 ,{100 · p05 } := V09 ,{100 · p06 } := V10 ,{100 · p07 } := V11 ,{100 · p08 } := V12 ,{100 · p09 } := V13 ,{100 · p10 } := V14 ,{100 · p11 } := V15 ,{100 · p12 } := V16 ,V25V26V27V28V29V30V31V32V33V34V35V36:= {p01 },:= {p02 },:= {p03 },:= {p04 },:= {p05 },:= {p06 },:= {p07 },:= {p08 },:= {p09 },:= {p10 },:= {p11 },:= {p12 }.°Определим также комплекс k для деформации как множество всех симплексов, подчиненных хотя быодному из двумерных симплексов симплициального комплексаq ∪ w,гдеq := {S1 , S2}, w := e ∪ e 0 ∪ e 00 ∪ e 000 ,e 000 := vrt90◦ ◦ ◦ (e 00 ), e 00 := vrt90◦ ◦ ◦ (e 0 ), e 0 := vrt90◦ ◦ ◦ (e), e := r ∪ t ∪ y ∪ u,r := {S, S 0 , S3}, t := {S5 , S6 }, y := {S7 , S8}, u := {S9 , Sa , Sb, Sc , Sd, ivr2 ◦ (Sd), Se , ivr2 ◦ (Se )},S 0 := ivr2 ◦ (S), S := V25 ∗ V29 ∗ V33 ,S1 := V33 ∗ V34 ∗ V35 , S2 := V33 ∗ V36 ∗ V35 , S3 := V25 ∗ V36 ∗ V33 , S5 := V09 ∗ V29 ∗ V33 ,S6 := V09 ∗ V13 ∗ V33 , S7 := V16 ∗ V36 ∗ V33 , S8 := V16 ∗ V13 ∗ V33 , S9 := V01 ∗ V05 ∗ V25 ,Sa := V01 ∗ V02 ∗ V26 , Sb := V01 ∗ V25 ∗ V26 , Sc := V25 ∗ V26 ∗ V29 , Sd := V05 ∗ V25 ∗ V29 ,Se := V05 ∗ V09 ∗ V29 .81/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.3 Деформации°Зададим деформацию m на множестве [0, 1] × ∪ k:(m(τ, ·))◦ (Vι ) := Vι , ι = 01, .

. . , 16;m(τ, pι) := 100 · τ · pι , ι = 01, . . . , 12,а на каждом симплексе из комплекса k отображение m есть аффинное продолжение с вершин его.°Запишем формулу объема v при этой деформации:q√√41/4· τ) · 2 + (2 − 2 · 21/4 − 2 · 2) · τ + (3 − 2) · τ2 +v(τ) = 3 · (1 + 2 p√2+ 3 · 2 · 20 + 8 · 21/4 − 6 · 2 − 12 · 23/4 +p √p√+2 · 3 + 2 · 2 − 2 · 23/4 +2 · 8 · 2 − 10−√√−4 · 21/4 − 3 · 2 − 23/4 + 4 · τ2 + 23 · (2 − 2 − 23/4 ) · τ+√+ 43 · (−2 + 2 · 21/4 − 2 · 2 + 23/4 ),τ −→ 0, τ > 0.°Легко видеть, что первая производная этого объема в точке τ = 0 нулевая, а вторая:qq√√√8828 1/4 2 3/4·2+ ·2−3 2+8 · 2 − 10 +3 + 2 2 − 2 · 23/4 +2−3333q√8+−6 2 − 12 · 23/4 + 20 + 8 · 21/4 < 0.3Тем самым объем уменьшается в некоторой окрестности точки τ = 0.

Что противоречит локальнойминимальности.Т ИП VI−°Приведем пример деформации, уменьшающей объем. Для того определим вершины дополнительно кописанным в Разделе 2.2.2:Тип VI− :{100 · p01 } := V06 ,{100 · p02 } := V07 ,{100 · p03 } := V08 ,{100 · p04 } := V09 ,{100 · p05 } := V10 ,{100 · p06 } := V11 ,{100 · p07 } := V12 ,{100 · p08 } := V13 ,{100 · p09 } := V14 ,{100 · p10 } := V15 ,{100 · p11 } := V16 ,{100 · p12 } := V17 ,{100 · p13 } := V18 ,{100 · p14 } := V19 ,{100 · p15 } := V20 ,V26V27V28V29V30V31V32V33V34V35V36V37V38V39V40:= {p01 },:= {p02 },:= {p03 },:= {p04 },:= {p05 },:= {p06 },:= {p07 },:= {p08 },:= {p09 },:= {p10 },:= {p11 },:= {p12 },:= {p13 },:= {p14 },:= {p15 }.°Определим также комплекс k для деформации как множество всех симплексов, подчиненных хотя быодному из двумерных симплексов симплициального комплексаq ∪ w,где82/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.3 Деформацииq := {S1 , S2, S3 }, w := e ∪ e 0 ∪ e 00 ∪ e 000 ∪ e 0000 ,e 0000 := vrt72◦ ◦ ◦ (e 000 ), e 000 := vrt72◦ ◦ ◦ (e 00 ), e 00 := vrt72◦ ◦ ◦ (e 0 ), e 0 := vrt72◦ ◦ ◦ (e), e := r ∪ t ∪ y ∪ u,r := {S, S 0 , S4}, t := {S5 , S6 }, y := {S7 , S8}, u := {S9 , Sa , Sb, Sc , Sd, Se , Sf, Sg },S 0 := ivr2 ◦ (S), S := V26 ∗ V31 ∗ V36 ,S1 := V38 ∗ V36 ∗ V37 , S2 := V38 ∗ V36 ∗ V40 , S3 := V38 ∗ V39 ∗ V40 , S4 := V26 ∗ V36 ∗ V40 ,S5 := V11 ∗ V31 ∗ V36 , S6 := V11 ∗ V16 ∗ V36 , S7 := V20 ∗ V40 ∗ V36 , S8 := V20 ∗ V16 ∗ V36 ,S9 := V26 ∗ V27 ∗ V31 , Sa := V01 ∗ V06 ∗ V26 , Sb := V01 ∗ V02 ∗ V27 , Sc := V01 ∗ V26 ∗ V27 ,Sd := V06 ∗ V26 ∗ V31 , Se := V06 ∗ V11 ∗ V31 , Sf := ivr2 ◦ (Sd ), Sg := ivr2 ◦ (Se ).°Зададим деформацию m на множестве [0, 1] × ∪ k:(m(τ, ·))◦ (Vι ) := Vι , ι = 01, .

Характеристики

Список файлов диссертации