Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Третий Случай и Второй Случай в Разделе 2.1.1)◦d −1gJ (τ) = mesν (u0 )(J) ∗ {c} −dτ τ=02 hq1 , ri◦− ·· mesν−1 m̂(0, ·) (J) =ν kq1 k(по ортогональности вектора r симплексу m̂(0, ·)◦ (J) ⊂ a◦ (B 0 ))krk◦· mesν−1 m̂(0, ·) (J) −=ν64/Полно/2 Локальная минимальность/2.1 Многомерный расчет2 hq1 , ri◦− ·· mesν−1 m̂(0, ·) (J) =ν kq1 khq1 , ri◦= krk − 2 ·· mesν−1 m̂(0, ·) (J) .kq1 kd gJ (τ) независимо от J имеет тот же знак, что и число krk · kq1 k − 2 ·Таким образом, числоdτ τ=0hq1 , ri .°Оценим это последнееkrk · kq1 k − 2 · hq1 , ri =p= kq1 k · hq1 + q2 , q1 + q2 i − 2 · hq1 , q1 i − 2 · hq1 , q2 i =p= kq1 k · hq1 , q1 i + hq2 , q2 i + 2 · hq1 , q2 i − 2 · hq1 , q1 i − 2 · hq1 , q2 i =p= kq1 k · 2 · hq1 , q1 i + 2 · hq1 , q2 i − 2 · hq1 , q1 i − 2 · hq1 , q2 i =pp= 2 · hq1 , q1 i + 2 · hq1 , q2 i · kq1 k − 2 · hq1 , q1 i + 2 · hq1 , q2 i ==p2 · hq1 , q1 i + 2 · hq1 , q2 i · kq1 k ·1−shq1 , q2 i2+2·kq1 k · kq1 k!<(заметим, что строгость неравенства следует из оценки косинуса угла и из неравенства нулю длинывектора r)!rp2π=< 2 · hq1 , q1 i + 2 · hq1 , q2 i · kq1 k · 1 − 2 + 2 · cos3s !p1= 0.= 2 · hq1 , q1 i + 2 · hq1 , q2 i · kq1 k · 1 − 2 + 2 · −2Итак, наше предположение привело к противоречию с данною в условии локальною минимальностьюпары ha, Mi.°Количество ν–симплексов и углы между их образамиВсякий ν–симплекс, инцидентный симплексу B 0 , однозначно изображается ортогональным симплексуB единичной длины вектором из центра симплекса B в ν–полуплоскость, содержащую a◦ –образ тогоν–симплекса, и относительная граница которой включает симплекс B.Заметим, что из установленного неравенства на двугранные углы следует, что всякие три ν–симплексы,инцидентные симплексу B 0 , в образе порождают три изображающие их векторы, лежащие (по причинетого, что попарные углы между теми векторами не менее 120◦ ) в одной 2–плоскости.
Таким образомсимплексов три и углы равны 120◦ .Q.E.D.2.2Двумерный случай в трехмерном пространствеПредисловиеВ общем многомерном случае локальная структура весьма сложна. Однако в простейшем случае двумерных “поверхностей” в трехмерном пространстве многое известно (см. [12] и [13]); и как примерприложения к конкретным расчетам рассмотрим этот случай./Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.1 Предварение652.2.1 ПредварениеС ООТВЕТСТВИЕ°Будем считать во всем Разделе 2.2, что dim Y = 3.
Рассмотрим некоторую пару ha, Mi из F, считая отображение a локально инъективным на (dom a) \ M. Как уже заявлено, будем считать, чтоdim im a = 2. Еще рассмотрим некоторый полный симплициальный комплекс a, относительно которого симплициально отображение a, и некоторую точку x такую, что {x} ∈ a и x ∈ (dom a) \ M.°Возьмем (лежащую в Y) двумерную сферу S с центром в точке a(x) и радиуса столь малого, что длявсякой точки y из ∪ lka {{x}} верно, что S ∩ (a(x), a(y)) 6= ∅.°Заметим, что a(A) := S ∩ a◦ (A) — одноточечное подмножество сферы S, если A — одномерный симплекс из комплекса a, инцидентный вершине {x}. Если же A — двумерный симплекс из комплексаa, инцидентный вершине {x}, то a(A) := S ∩ a◦ (A) — дуга геодезической на сфере S.
При этом если одномерный симплекс A инцидентен двум двумерным симплексам B1 и B2 , то им соответствующиеподмножества сферы будем также называть инцидентными, то есть a(A) ⊂ a(B1 ) и a(A) ⊂ a(B2 ).Таким образом, на сфере расположен абстрактный комплекс (такие комплексы мы будем далее зватьсетями на сфере) ka,x,a,S, одноточечные элементы которого будем звать вершинами, а дуги геодезических — дугами.°Заметим здесь, что углы (меньшие) между каждыми двумя дугами из того комплекса, инцидентныеобщей вершине из того комплекса, совпадают с двугранными углами между a◦ –образами соответствующих тем дугам симплексов звезды вершины {x}.С ТРОЕНИЕСЕТИ НА СФЕРЕ°Th·Рассмотрим некоторую локально–минимальную пару ha, Mi из F, считая отображение a локально инъективным на (dom a) \ M.
Еще возьмем комплекс a, точку x и сферу S как в Соответствии, ипостроим указанный там же комплекс ka,x,a,S на сфере.Тогда в этой сети ka,x,a,S нет вершин степени 1, и между всякими двумя с общею вершиною дугами тойсети угол равен или 180◦ , если вершина степени 2, или 120◦ , если вершина степени не менее 3 (и приэтом степень равна 3).Доказательство°Как замечено в Соответствии угол между дугами равен двугранному углу между соответствующимисимплексами, а эти углы в изучаемых двух случаях по Утверждению 58 и 59 равны соответственно180◦ и 120◦ . Отсутствие вершин степени 1 следует из Утверждения 57.Q.E.D.2.2.2 Описание десяти типов сетей на сфереС ВЕДЕНИЯ°Итак, для описания ограничений на локальную структуру в локально–минимальных парах следуетизучить возможные сети на сфере с условием, что в ней нет вершин степени 1, и в вершинах степени2 углы между дугами 180◦ , а в вершинах степени не менее 3 — 120◦ и степень 3.
Можно считать, чтовершин степени 2 нет, то есть заменить исходную сеть сетью без вершин степени 2, но с изометричнымтелом.Как известно из работы [12], всего на сфере с точностью до изометрии есть 10 типов сетей с такимсвойством.Ч ИСЛАИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ66/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.2 Описание десяти типов°Зададим в плоскости Y ортонормальные координаты x1 , x2 , x3 . Определим числаss√√5+2· 55−2· 5; β=α=1515и√8811√11)); γ = = 2 97 cos( arccos(− √ − 8; δ =333973√17 − ( − 11).−5°Еще определим отражения ivr1 и ivr3 относительно плоскости x1 = 0 и x3 = 0 соответственно какотображение точки x с коодинатами x1 (x) = κ, x2 (x) = λ, x3 (x) = µ в точку x 0 = ivr1 (x) и x 00 = ivr3 (x)с коодинатами x1 (x 0 ) = −κ, x2 (x 0 ) = λ, x3 (x 0 ) = µ и x1 (x 00 ) = κ, x2 (x 0 ) = λ, x3 (x 0 ) = −µ.Еще определим поворот vrtφ в “положительном направлении” на угол φ из [0, 2π) относительно осиx3 как отображение точки x с коодинатами x1 (x) = κ, x2 (x) = λ, x3 (x) = µ в точку y = vrtφ (x) скоодинатами x1 (y) = κ 0 , x2 (y) = λ 0 , x3 (y) = µ 0 , где 0 cos φ − sin φ 0κκ λ 0 = sin φ cos φ 0 · λ µ0001µ°Перечислим значения косинусов и синусов используемых нами значений угла φ:φ = 2π= 180◦ : cos φ = −1,2= 120◦ : cos φ = − 21 ,φ = 2π3φ = 2π= 90◦ : cos φ = 0,4φ=2π5= 72◦ : cos φ =φ=2π10= 36◦ : cos φ =√5−1,4√5+1,4sin φ = 0;√sin φ = 23 ;sin φ = 1;√sin φ =sin φ =√5+ 5√;√2 2√5− 5√.2 2°Перечислим все эти 10 типов путем координатного описания некоторого представителя из каждоготипа на сфере единичного радиуса с центром в начале координат.
Будем обозначать z(D1 , D2) единственную наименьшей длины дугу на нашей сфере инцидентную не противолежащим различным вершинам D1 и D2 на сфере нашей.67/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.2 Описание десяти типовТ ИП I+°Состав сети• одна дуга — большая окружность, состоящая из всех точек p таких, чтоx1 (p)2 + x3 (p)2 = 1x2 (p) = 0.°Иллюстрацияzyx68/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.2 Описание десяти типовТ ИП II+°Состав сети• две вершины V1 = {h0, 0, 1i} и V2 = ivr3 ◦ (V1 );• три дуги A1 , (vrt120◦ )◦ (A1 ), (vrt240◦ )◦ (A1 ),гдеA1 = {p : x1 (p)2 + x3 (p)2 = 1, x2 (p) = 0, x1(p) > 0}.°ИллюстрацияzV1byxbV269/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.2 Описание десяти типовТ ИП III+°Состав сети• четыре вершины√V1 = {h0, 0, 1i}, V2 = {h 2 3 2 , 0, − 13 i},V3 = (vrt120◦ )◦ (V2 ), V4 = (vrt120◦ )◦ (V3 );• шесть дугA1 = z(V1 , V2 ), A2 = (vrt120◦ )◦ (A1 ), A3 = (vrt120◦ )◦ (A2 ),A4 = z(V2 , V3 ), A5 = (vrt120◦ )◦ (A4 ), A6 = (vrt120◦ )◦ (A5 ).°ИллюстрацияzbV4V1bybxbV2V370/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.2 Описание десяти типовТ ИП I−°Состав сети• шесть вершин√V1 = {h 2 3 2 , 0, 31 i},V2 = (vrt120◦ )◦ (V1 ), V3 = (vrt120◦ )◦ (V2 ),V4 = ivr3 ◦ (V1 ), V5 = ivr3 ◦ (V2 ), V6 = ivr3 ◦ (V3 );• набор q ∪ q 0 ∪ q 00 девяти дуг,◦◦где q := {A1 , A4 , A7 }, q 0 := (vrt120◦ )◦ (q), q 00 := (vrt120◦ )◦ (q 0 ),и A1 = z(V1 , V2 ), A4 = z(V1 , V4 ), A7 = ivr3 ◦ (A1 ).°ИллюстрацияzV3bV6bbV1xbV4V2bbV5y71/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.2 Описание десяти типовТ ИП II−°Состав сети• восемь вершинqV1 = {h 23 , 0, √13 i},V2 = (vrt90◦ )◦ (V1 ), V3 = (vrt90◦ )◦ (V2 ), V4 = (vrt90◦ )◦ (V3 ),V5 = ivr3 ◦ (V1 ), V6 = ivr3 ◦ (V2 ), V7 = ivr3 ◦ (V3 ), V8 = ivr3 ◦ (V4 );• набор q ∪ q 0 ∪ q 00 ∪ q 000 двенадцати дуг,◦◦◦где q := {A1 , A5 , A9 }, q 0 := (vrt90◦ )◦ (q), q 00 := (vrt90◦ )◦ (q 0 ), q 000 := (vrt90◦ )◦ (q 00 ),и A1 = z(V1 , V2 ), A5 = z(V1 , V5 ), A9 = ivr3 ◦ (A1 ).°ИллюстрацияzV3bV4bV2bV1bbyV7bV8xbbV5V672/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.2 Описание десяти типовТ ИП III−°Состав сети• десять вершин√V01 = {h 1 − α2 , 0, αi},◦◦◦◦V02 = (vrt72◦ ) (V01 ), V03 = (vrt72◦ ) (V02 ), V04 = (vrt72◦ ) (V03 ), V05 = (vrt72◦ ) (V04 ),V06 = ivr3 ◦ (V01 ),V07 = ivr3 ◦ (V02 ), V08 = ivr3 ◦ (V03 ), V09 = ivr3 ◦ (V04 ), V10 = ivr3 ◦ (V05 );• набор q ∪ q 0 ∪ q 00 ∪ q 000 ∪ q 0000 пятнадцати дуг,где q := {A01 , A06, A11 },◦◦◦◦q 0 := (vrt72◦ )◦ (q), q 00 := (vrt72◦ )◦ (q 0 ), q 000 := (vrt72◦ )◦ (q 00 ), q 0000 := (vrt72◦ )◦ (q 000 ),и A01 = z(V01 , V02 ), A06 = z(V01 , V06 ), A11 = ivr3 ◦ (A1 ).°ИллюстрацияzV04V03bV05bbbbV01V02yxV09bV08bbV10bV06bV0773/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.2 Описание десяти типовТ ИП IV−°Состав сети• четырнадцать вершинV01 = {h0, 0, 1i}, V02 = {D√1 , 0,3q EqqDEDE222√1 ,√1 , −},V={,0},V={,0},051033333V03 = (vrt120◦ )◦ (V02 ), V04 = (vrt120◦ )◦ (V03 ), V06 = (vrt120◦ )◦ (V10 ),V07 = (vrt120◦ )◦ (V05 ), V08 = (vrt120◦ )◦ (V06 ), V09 = (vrt120◦ )◦ (V07 ),V11 = ivr3 ◦ (V02 ), V12 = ivr3 ◦ (V03 ), V13 = ivr3 ◦ (V04 ), V14 = ivr3 ◦ (V01 );• набор q ∪ q 0 ∪ q 00 двадцати одной дуги,◦◦◦◦где q := w ∪ w 0 ∪ {A10 }, q 0 := (vrt120◦ ) (q), q 00 := (vrt120◦ ) (q 0 ),w := {A01 , A04, A05 }, w 0 := ivr3 ◦ ◦ (w),и A01 = z(V01 , V02 ), A04 = z(V02 , V10 ), A05 = z(V02 , V05 ), A10 = z(V05 , V06 ).°ИллюстрацияzV01bbV02V10bbV03V04bbV08V09xbbV05yV06V13bbbV11V12bV14bbV0774/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.2 Описание десяти типовТ ИП V−°Состав сети• шестнадцать вершинqV01 = {h 23 , 0, √13 i}, V02 = (vrt90◦ )◦ (V01 ), V03 = (vrt90◦ )◦ (V02 ), V04 = (vrt90◦ )◦ (V03 ),q√qV05 = {h 38 , 0, 23 − √13 i}, V06 = (vrt90◦ )◦ (V05 ), V07 = (vrt90◦ )◦ (V06 ), V08 = (vrt90◦ )◦ (V07 ),V09 = (vrt45◦ )◦ (ivr3 ◦ (V05 )), V10 = (vrt90◦ )◦ (V09 ), V11 = (vrt90◦ )◦ (V10 ), V12 = (vrt90◦ )◦ (V11 ),V13 = (vrt45◦ )◦ (ivr3 ◦ (V01 )), V14 = (vrt90◦ )◦ (V13 ), V15 = (vrt90◦ )◦ (V14 ), V16 = (vrt90◦ )◦ (V15 ),• набор e ∪ e 0 двадцати четырех дуг,◦◦◦◦где e := q∪(vrt90◦ )◦ (q)∪(vrt180◦ )◦ (q)∪(vrt270◦ )◦ (q), e 0 := (vrt45◦ ◦ ivr3 )◦ (e), q := {A01 , A05, A09},и A01 = z(V01 , V02 ), A05 = z(V01 , V05 ), A09 = z(V05 , V09 ).°ИллюстрацияzV03bV04V02bbV01bbV08V07bV06bbybV05V11xV10bbV12bV09V15bbV14bV16bV1375/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.2 Описание десяти типовТ ИП VI−°Состав сети• двадцать вершин√V01 = {h 1 − α2 , 0, αi}, V02 = (vrt72◦ )◦ (V01 ), V03 = (vrt72◦ )◦ (V02 ), V04 = (vrt72◦ )◦ (V03 ),pV05 = (vrt72◦ )◦ (V04 ), V06 = {h 1 − β2 , 0, βi}, V07 = (vrt72◦ )◦ (V06 ), V08 = (vrt72◦ )◦ (V07 ),V09 = (vrt72◦ )◦ (V08 ), V10 = (vrt72◦ )◦ (V09 ), V11 = (vrt36◦ ◦ ivr3 )◦ (V06 ), V12 = (vrt72◦ )◦ (V11 ),V13 = (vrt72◦ )◦ (V12 ), V14 = (vrt72◦ )◦ (V13 ), V15 = (vrt72◦ )◦ (V14 ), V16 = (vrt36◦ ◦ ivr3 )◦ (V01 ),V17 = (vrt72◦ )◦ (V16 ), V18 = (vrt72◦ )◦ (V17 ), V19 = (vrt72◦ )◦ (V18 ), V20 = (vrt72◦ )◦ (V19 );• набор e ∪ e 0 тридцати дуг,◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦где e 0 := (vrt36◦ ◦ ivr3 ) (e), e := q∪(vrt72◦ ) (q)∪(vrt144◦ ) (q)∪(vrt216◦ ) (q)∪(vrt288◦ ) (q),q := {A01 , A06 , A11}, и A01 = z(V01 , V02 ), A06 = z(V01 , V06 ), A11 = z(V06 , V11 ).°ИллюстрацияzV04V03bV05bV02bV01bbV09bV08bV10bV13bbV14V07ybV06V15bbxbbV11bbV19V18bV20bV16bV17V1276/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3Т ИП VII−°Состав сети• двенадцать вершинppV01 = {hγ, 0, 1 − γ2 i}, V02 = (vrt180◦ )◦ (V01 ), V03 = {hγ, 1 − γ2 − δ2 , δi}, V04 = (ivr1 )◦ (V03 ),◦◦V05 = (vrt180◦ ) (V03 ), V06 = (vrt180◦ ) (V04 ),V07 = (vrt45◦ ◦ ivr3 )◦ (V06 ), V08 = (ivr1 )◦ (V07 ), V09 = (vrt180◦ )◦ (V07 ), V10 = (vrt180◦ )◦ (V08 ),V11 = (vrt45◦ ◦ ivr3 )◦ (V01 ), V12 = (vrt180◦ )◦ (V11 );• набор w ∪ w 0 восемнадцати дуг,◦◦где w := q ∪ q 0 ∪ {A01 }, w 0 := (vrt90◦ ◦ ivr3 )◦ (w), q := {A02 , A03, A04 , A08}, q 0 := (vrt180◦ )◦ (q),A01 = z(V01 , V02 ), A02 = z(V01 , V03 ), A03 = z(V03 , V04 ), A04 = (ivr1 )◦ (A02 ), A08 = z(V03 , V07 ).°ИллюстрацияzV02bbV01V05V04bbV09bbbV06V03bV10xybV08bV07bV12bV11/Полно/2 Локальная минимальность/2.2 Случай 2 в 3/2.2.3 Деформации772.2.3 Деформации с уменьшением объемаП РИУГОТОВЛЕНИЕ°Рассмотрим некоторую локально–минимальную пару ha, Mi из F такую, что отображение a локальноинъективно на (dom a) \ M; выберем комплекс a, точку x и сферу S как в описании Соответствия, ипостроим указанный там же комплекс ka,x,a,S на сфере.°Предположим, что тело сети нашей гомеоморфно телу сети одного из названных типов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
