Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Еще в контексте пт.56 рассмотрим некоторое симплициальное относительно комплекса x инъективное отображение u, иопределим w := u◦ ◦ (x).°Df·Определим на [0, 1] × ∪(vert◦ (w)) отображения n −1u (k), если τ ∈ [0, 1] и k 6= u(c);n(τ, k) :=c + τ · g, если τ ∈ [0, 1] и k = u(c),и ññ(τ, k) :=u−1 (k), если τ ∈ [0, 1] и k 6= u(c̃);c + τ · g, если τ ∈ [0, 1] и k = u(c̃),Еще определим на [0, 1] × ∪ w отображение m как посимплексно–аффинное продолжение при каждомτ из [0, 1] отображения n(τ, ·) на симплексы комплекса w с вершинных точек тех симплексов, и отображение m̃ как посимплексно–аффинное продолжение при каждом τ из [0, 1] отображения ñ(τ, ·) насимплексы комплекса w с вершинных точек тех симплексов.°НамерениеИзучим особенности поведения объемаXz(τ) = vol m(τ, ·) =mesν (m(τ, ·)◦ (W))W:W∈w,dim W=νпри−→• g = q := cc̃ и τ & 0;• g 6= 0, g ⊥ B, q ⊥ B и τ & 0,и объемаz̃(τ) =XW:W∈w,dim W=νmesν (m̃(τ, ·)◦ (W))при g = q и τ & 0.°Возьмем некоторый ν–мерный симплекс W из w и некоторым образом пронумеруем m1 , .

. . , mν−1все вершинные точки симплекса u◦ (W), не совпадающие с точками c и c̃ (если же ν = 1, то нет такихточек). Особо изучим слагаемоеmesν (m(τ, ·)◦ (W))объема z(τ) при этом симплексе W, и слагаемоеобъема z̃(τ) при этом симплексе W.mesν (m̃(τ, ·)◦ (W))59/Полно/2 Локальная минимальность/2.1 Многомерный расчет/2.1.1 Расчет расщепленияС ЛУЧАЙПЕРВЫЙ ,g = q И τ & 0 ДЛЯ mesν (m(τ, ·)◦ (W))°Здесьq1−−→−−−−→mesν (m(τ, ·) (W)) =· det Gram(−q + τ · q, c̃m1 , . . . , c̃mν−1 ) =ν!(по свойствам определителя)q1−−→−−−−→= (1 − τ) · · det Gram(q, c̃m1 , . . .

, c̃mν−1 ) =ν!◦= (1 − τ) · mesν ( u−1 (W)).◦°Следовательноd ◦−1 ◦mes(m(τ,·)(W))=−mes(u(W)),ννdτ τ=0d d z(τ) =vol m(τ, ·) = − mesν (A) < 0.dτ τ=0dτ τ=0иС ЛУЧАЙ°ЗдесьВТОРОЙ ,g 6= 0, g ⊥ B, q ⊥ B И τ & 0 ДЛЯ mesν (m(τ, ·)◦ (W))1mesν (m(τ, ·) (W)) =ν!◦°Обозначимx(W) :=q−→ − τ · g, . . . , −−−−→ − τ · g).det Gram(q − τ · g, −cmcm1ν−11,если ν = 1;−−→−−−−→det Gram(cm1 , . .

. , cmν−1 ), если ν > 1,и заметим, что по Утверждению 54 и по ортогональности в изучаемых векторах производнаяd mesν (m(τ, ·)◦ (W))dτ τ=0имеет видd 1◦·mes(m(τ,·)(W))=νdτ τ=0ν!=°Итак,2·q−2 · hq, gi · x(W)=−→, . . . , −−−−→)det Gram(q, −cmcm1ν−11 −hq, gi · x(W)1 −hq, gi pp=··· x(W).ν! kqk · x(W)ν!kqkd d z(τ) =vol m(τ, ·) =dτ τ=0dτ τ=0С ЛУЧАЙТРЕТИЙ ,°ЗдесьXW:W∈w,dim W=ν1 −hq, gi p·· x(W).ν!kqkg = q И τ & 0 ДЛЯ mesν (m̃(τ, ·)◦ (W))q1−→, . . .

, −−−−→) =cmcm· det Gram(τ · q, −mesν (m̃(τ, ·) (W)) =1ν−1ν!(по свойствам определителя)q1−→, . . . , −−−−→) ==τ·· det Gram(q, −cmcm1ν−1ν!◦60/Полно/2 Локальная минимальность/2.1 Многомерный расчет°Следовательнои◦= τ · mesν ( u−1 (W)).d ◦−1 ◦mes(m(τ,·)(W))=mes(u(W)),ννdτ τ=0d z̃(τ) = mesν (A).dτ τ=02.1.2 Степени симплексовС ТЕПЕНИ 1 И 25758°Th·Для всякой локально–минимальной пары ha, Mi (обозначим ν := dim im a) и всякого симплициального комплекса a если отображение a локально–инъективно на (dom a)\M, а также симплициально относительно комплекса a, точка x лежит в множестве (dom a) \ M, то не найдется (ν − 1)–мерногосимплекса A в комплексе a такого, что x ∈ A и симплекс A инцидентен только одному ν–мерномусимплексу комплекса a.Доказательство°Пусть ha, Mi — некоторая локально–минимальная пара, положим ν := dim im a, выберем некоторыйсимплициальный комплекс a, относительно которого симплициально отображение a, предположимеще, что отображение a локально–инъективно на (dom a) \ M, а точка x лежит в множестве (dom a) \M.°Допустим противное, то есть найдется (ν − 1)–мерный симплекс B 0 в комплексе a такой, что x ∈ B 0 исимплекс B 0 инцидентен только одному ν–мерному симплексу A 0 комплекса a.°Тогда обозначим C := A 0 , и заметим, что hC, xi — локальный конус в dom a.°Рассмотрим коническую тройку h a|C , fn(C, x), xi.

Определим деформацию, уменьшающую объем. Длятого обозначим A := a◦ (A 0 ) и B := a◦ (B 0 ), и будем без ограничения общности считать, что точка x —центральная в симплексе B 0 . Рассмотрим (см. Описание 56) imp(A, B) = hc, c̃, x, y, zi. Здесь c = a(x).−1Еще обозначим u := ( a|A 0 ) .°Применим к обозначенным A, B, u построение Первого Случая из Раздела 2.1.1. Из него следует, чтоесть элементарная простая аналитическая деформация m относительно пятерки h0, 12 , w, fn(C, x), Fiтакая, что vol m(τ, ·) уменьшается при близких к 0 числах τ (так как производная объема отрицательна) и hm(0, ·), fn(C, x)i = h a|C , fn(C, x)i.°Итак, допущенное привело к противоречию локальной минимальности.Q.E.D.°Th·Для всякой локально–минимальной пары ha, Mi (обозначим ν := dim im a) и всякого симплициального комплекса a если отображение a локально–инъективно на (dom a) \ M, а также симплициально относительно комплекса a, то для всякого (ν − 1)–мерного симплекса B 0 степени 2 в комплексеa, лежащего в (dom a) \ M, верно, что симплексы a◦ (A10 ) и a◦ (A20 ) лежат в одной ν–мерной плоскости, где A10 и A20 суть те два симплекса комплекса a, которые инцидентны симплексу B 0 и имеютразмерность ν.Доказательство°Пусть ha, Mi — некоторая локально–минимальная пара, положим ν := dim im a, выберем некоторыйсимплициальный комплекс a, относительно которого симплициально отображение a, предположимеще, что отображение a локально–инъективно на (dom a) \ M.°Допустим противное, то есть в комплексе a найдутся два ν–мерных симплекса A10 и A20 , инцидентныхнекоторому (ν − 1)–мерному симплексу B 0 , и таких, что a◦ (A10 ) и a◦ (A20 ) не лежат в одной ν–мернойплоскости.°Обозначим61/Полно/2 Локальная минимальность/2.1 Многомерный расчет/2.1.2 Степени симплексов• A1 := a◦ (A10 ),A2 := a◦ (A20 ),B := a◦ (B 0 );• imp(A1 , B) =: hc1 , c̃1, x1 , y1 , z1 i, imp(A2 , B) =: hc2 , c̃2, x2 , y2 , z2 i,причем c1 = c2 , y1 = y2 , z1 = z2 ;• A10 =: {c̃10 } ∗ B 0иA20 =: {c̃20 } ∗ B 0 .Еще обозначим c 0 — центр симплекса B 0 .

Заметим, что a(c 0 ) = c1 = c2 и a(c̃10 ) = c̃1 и a(c̃20 ) = c̃2 .−→При этом можно (с помощью подходящего подразделения комплекса a) считать, что векторы q1 := cc̃1−→и q2 := cc̃2 имеют одинаковую длину и перпендикулярны симплексу B.°Еще обозначим r := q1 + q2 . Заметим, что (по предположению о неплоскости в образе)hr, q1 i = hq1 , q1 i + hq2 , q1 i = hq2 , q2 i + hq2 , q1 i = hr, q2 i =hq2 , q1 ihq2 , q1 i22> 0;= kq1 k · 1 += kq1 k · 1 +kq1 k2kq1 k · kq2 kЗдесь же заметим, что r ⊥ B, ибо q1 и q2 ортогональны симплексу B.°Определим полный симплициальный комплексb := x1 t x2 .°Возьмем множествоL := (rmrg A10 ∪ rmrg A20 ) \ B 0 .Определим элементарную простую аналитическую деформацию m относительно пятерки h0, 1, b, L, Fiкак объединение двух деформаций m1 и m2 , построенных по Описанию 56, где соответственно индексу −1 −1и u2 := a 0, и вектор g := r.1 и 2 обозначить следует u1 := a 0A1A2°Из Второго Случая Раздела 2.1.1 следует, чтоd d vol m1 (τ, ·) + vol m2 (τ, ·) =vol m(τ, ·) =dτ τ=0dτ τ=0−hq1 , gi X·(положительные слагаемые для A10 )+kq1 k−hq2 , gi X+·(положительные слагаемые для A20 ) < 0.kq2 k=°Итак, достигнуто противоречие локальной минимальности пары ha, Mi.Q.E.D.°Заметка·Из последних утверждений следует, что у внутренней точки локально–минимальной парызвезда не содержит (ν − 1)–симплекса степени 1 и всякий (ν − 1)–симплекс степени 2 в образе плоскоустроен.°Скажем, что два ν–симплексы из звезды смежны, если они инцидентны (ν − 1)–симплексу степени 2 из звезды, и на это отношение смежности натянем отношение эквивалентности.

Классы же такэквивалентных симплексов назовем листами.°Итак, образ каждого листа — плоский.Однако могут быть (ν − 1)–симплексы в звезде степени 3 и более.С ТЕПЕНЬ 359°Th·Для всякой локально–минимальной пары ha, Mi (обозначим ν := dim im a) и всякого симплициального комплекса a если отображение a локально–инъективно на (dom a)\M, а также симплициально относительно комплекса a, то для всякого (ν − 1)–мерного симплекса B 0 комплекса a, включеногов (dom a) \ M, и имеющего степень в комплексе a не менее трех верно, что62/Полно/2 Локальная минимальность/2.1 Многомерный расчет/2.1.2 Степени симплексов• для произвольных двух ν–мерных симплексов A10 и A20 , инцидентных симплексу B 0 , двугранный2πугол между симплексами a◦ (A10 ) и a◦ (A20 ) не менее;3• в тех же условиях степень симплекса B 0 равна трем, и тот двугранный угол равен2π.3Доказательство°Пусть ha, Mi — некоторая локально–минимальная пара, положим ν := dim im a, выберем некоторыйсимплициальный комплекс a, относительно которого симплициально отображение a, предположимеще, что отображение a локально–инъективно на (dom a) \ M.

Выберем еще некоторый (ν − 1)–мерный симплекс B 0 комплекса a, включеный в (dom a) \ M, и имеющий степень в комплексе a неменее трех.°Предположим противное, то есть найдутся два ν–мерных симплекса A10 и A20 такие, что они инцидентны (ν −1)–мерному симплексу B 0 и двугранный угол между ν–мерными симплексами a◦ (A10 ) и a◦ (A20 )2πменее. При этом можно считать, что двугранный угол (как множество) не включает a◦ –образа вся3кого иного ν–мерного симплекса, инцидентного симплексу B 0 .°Обозначим• A1 := a◦ (A10 ),A2 := a◦ (A20 ),B := a◦ (B 0 );• imp(A1 , B) =: hc1 , c̃1, x1 , y1 , z1 i, imp(A2 , B) =: hc2 , c̃2, x2 , y2 , z2 i,причем c := c1 = c2 , y := y1 = y2 , z := z1 = z2 ;• A10 =: {c̃10 } ∗ B 0иA20 =: {c̃20 } ∗ B 0 .°Еще обозначим c 0 — центр симплекса B 0 . Заметим, что a(c 0 ) = c1 = c2 и a(c̃10 ) = c̃1 и a(c̃20 ) = c̃2 .−→При этом можно (с помощью подходящего подразделения комплекса a) считать, что векторы q1 := cc̃1−→и q2 := cc̃2 имеют одинаковую длину и перпендикулярны симплексу B.°Еще обозначим r := q1 + q2 .

Здесь же заметим, что r 6= 0 по предположению нашему, что угол междувекторами q1 и q2 менее 120◦ , а угол этот совпадает с двугранным углом между ν–мерными симплексами a◦ (A10 ) и a◦ (A20 )..°Заметим, что пара h∪ sta {B 0 }, c 0 i — локальный конус. Рассмотрим отображение b := a∪0sta {B }°Возьмем некоторую точку v вне аффинной оболочки множества dom b. Определим отображение u1 наA1 как посимплексно–аффинное продолжение с вершинных точек симплексов комплекса x1 отображения p 7−→ b−1 (p), если p — вершинная точка некоторогосимплекса из x1 , не равная точке c; p 7−→ v,если p = c,отображение u2 на A2 как посимплексно–аффинное продолжение с вершинных точек симплексовкомплекса x2 отображения p 7−→ b−1 (p), если p — вершинная точка некоторогосимплекса из x2 , не равная точке c; p 7−→ v,если p = c,и отображение u0 на B ∗ {c + r} как посимплексно–аффинное продолжение с вершинных точек симплексов комплекса d := y t {{c + r}} t {Y ∗ {c + r} : Y ∈ y} отображения p 7−→ b−1 (p), если p — вершинная точка некоторогосимплекса из y; p 7−→ v,если p = c + r.63/Полно/2 Локальная минимальность/2.1 Многомерный расчет/2.1.2 Степени симплексов°Определим несколько симплициальных комплексовx10 := u1 ◦ ◦ (x1 );x20 := u2 ◦ ◦ (x2 );d 0 := u0 ◦ ◦ (d);y 0 := d 0 \ std 0 {{v}};u 0 := {U : U ∈ lka {B 0 }, U 6= {c̃10 }, U 6= {c̃20 }};t 0 := {U ∗ Y : U ∈ u 0 , Y ∈ y 0 };b 0 := u 0 t t 0 t d 0 ∪ x10 ∪ x20 .°Еще определим образы вершинных точек симплексов комплекса b 0a(a),если a ∈ {c̃10 , c̃20 , c 0 } t ∪ u 0 t vert B 0 и τ ∈ [0, 1];n̂(τ, a) :=a(c 0 ) + τ · r, если a = v и τ ∈ [0, 1].°Определим деформацию m̂ относительно пятерки000 ∪h0, 1, b , b \ stb 0 {{v}, {c }} , Fiкак посимплексно аффинное продолжение при каждом τ из [0, 1] на симплексы комплекса b 0 отображения n̂(τ, ·).°Заметим, что пара hm̂(0, ·), ∪ b 0 \ stb 0 {{v}, {c 0 }} i проецируема на пару ha, fn(∪ sta {B 0 }, c 0 )i.°Посчитаем изменение объема.

Из определения комплекса b 0 и деформации m̂ следует, что vol m̂(τ, ·)складывается из двух следующих частей:h1 (τ) := vol m̂(τ, ·)∪ 0 ;(t )h2 (τ) := volm̂(τ, ·)∪(x10 ∪x20 ∪d 0 ).°Первый объем h1 неизменен. Рассмотрим второй объем h2 при τ из [0, 1]XgJ (τ),h2 (τ) :=J:J∈y 0 ,dim J=ν−1где при J объем gJ (τ) вычисляется по формуле◦0gJ (τ) := mesν m̂(τ, ·) (J ∗ {c }) +◦0+2 · mesν m̂(τ, ·) (J ∗ {c̃1 }) .°Посчитаем производную в нуле (см.

Характеристики

Список файлов диссертации