Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. , pω , действующих из некоторого отрезка [α, β] вещественных чисел (α < β) в пространство Y, и таких, что множество[g(τ) :={pι (τ)}, τ ∈ [α, β],ι=0,...,ωаффинно независимо (это не исключает совпадения значений тех отображений при некоторых числахτ), а при τ ∈ (α, β] верно, что card g(τ) = 1 + ω.°Df·Определим отображения−−→yι (τ) := p0 pι ,ι = 1, . .
. ω,z(τ) := Gram(y1 (τ), . . . , yω (τ)),Еще зададим отображение m формулоюm(τ) := mesω conv g(τ)54τ ∈ [α, β];τ ∈ [α, β].при τ ∈ [α, β].°Th·Отображение m обладает следующими свойствами:1. m(τ) > 0 при τ ∈ (α, β];2. отображение m непрерывно на отрезке [α, β];если отображения p0 , . . . , pω дифференцируемы (D1 ) на отрезке [α, β], то m дифференцируемо(D1 ) на отрезке [α, β], где на концах отрезка [α, β] подразумевается соответствующая односторонняя производная;если отображения p0 , . .
. , pω суть C1 –гладкие на отрезке [α, β] и аналитичны в точке α (то естькаждое из них представимо рядом по степеням (τ − α) с ненулевым радиусом сходимости), то m— C1 –гладкое на отрезке [α, β];3. в случае D1 производная в каждой точке τ, где m(τ) > 0, вычисляется по формуле1 tr z(τ)∗ ż(τ)ṁ(τ) =· p,ω! 2 det z(τ)где звезда ∗ обознает транспонированную матрицу алгебраических дополнений;4.
в случае D1 и m(α) = 0, и нумерации такой, что p0 (α) = p1 (α), производная вычисляется поформулеq1det Gram ẏ1 (α), y2(α), . . . , yω (α) .ṁ(α) =ω!Доказательство°Первое — следствие из Определения 51.53/Полно/1 Многомерие/1.4 Многогранники–следы/1.4.4 Объем при деформации°Третье следует из того же Определения 51 и из известной формулы (она считается непосредственно)для производной определителя, а именно:c11 (τ) .
. . c1ν (τ)..˙=..det ..cν1 (τ) . . . cνν (τ)= tr c11 (τ) . . . c1ν (τ)......cν1 (τ) . . . cνν (τ)∗ · ċ11 (τ) . . . ċ1ν(τ)......ċν1 (τ) . . . ċνν (τ) .°Покажем четвертое. Так как det z(α) = 0, производная вычисляется по следующей формуле (здесь“ & 0” обозначает стремление к нулю справа):q1det Gram y1 (α + ), .
. . , yω (α + ) =ṁ(α) = lim&0 · ω!q11lim=det Gram y1 (α + ), . . . , yω (α + ) =ω! &0 2 s(), s() s(),d()...s(),d()2ω d2 (), s()d2 (), d2() . . . d2 (), dω () 11..1/2 =lim det ..ω! &0 .. dω (), s()dω (), d2() . . . dω (), dω ()при & 0, где введены обозначения: s() = ẏ1 (α) + o(1) (при & 0), dι () = yι (α + ), гдеι = 2, . . . , ω. В завершение заметим, что по свойству определителя число сокращается.°Покажем второе. Непрерывность следует из непрерывности квадратного корня, детерминанта и скалярного произведения; дифференцируемость показана в (3,4); C1 –гладкость при det z(α) 6= 0 следуетиз формулы производной квадратного корня, а при det z(α) = 0 чтобы показать C1 рассмотрим (существующее из условия сего пункта) разложение отображения det z(τ) в ряд Тейлора по степеням (τ−α):det z(τ) =X 1σι (τ − α)ι,ι!ι:ι∈Nτ ∈ [α, β].Ясно, что σ0 = 0 (ибо det z(α) = 0).
Из вычислений к четвертому пункту следует σ1 = 0 (ибо предел2вида lim ).&0°Итак,11σ2 (τ − α) + σ3 (τ − α)2 + . . .p ˙2!при τ > α: det z(τ) = r1!;112σ2 (τ − α)2 + σ3 (τ − α)3 + . . .2!3!rrrp ˙111σ21 1σ2 2 + σ3 3 + . . . = limσ2 + σ3 + . . . =.при τ = α: det z(α) = lim&0&0 2!3!2!3!2°Наконец, рассмотрим два случая54/Полно/1 Многомерие/1.4 Многогранники–следы/1.4.4 Объем при деформациипри σ2 6= 0:11rσ2 + σ3 2 + . . .p ˙σ2 p ˙1!2!== det z(α);lim det z(τ) = lim rτ&α&0211σ2 2 + σ3 3 + . .
.22!3!при σ2 = 0 есть κ такое, что N 3 κ > 3, σ2 = . . . = σκ−1 = 0 и σκ 6= 0, откуда11κ−1σ+σκ+1 κ + . . .κp ˙(κ − 1)!κ!=lim det z(τ) = lim r&0τ&α112σκ κ +σκ+1 κ+1 + . . .κ!(κ + 1)!√rκ−21κ! √σ2 p ˙= det z(α).σκ ( 2 ) = 0 == lim2 &0 (κ − 1)!2Р ЕЗУЛЬТАТ°Df·Определим множество T — совокупность всех PA–отображений с образом в Y.Скажем, что [аналитическая] элементарная деформация a относительно некоторой четверки hα, β, a, Tiпроста, если dim im a(τ, ·) не зависит от τ из [α, β]. Здесь размерность dim многогранника понимаетсякак максимум из всех значений размерности симплексов, включенных в многогранник тот.55°ThI.
Пусть a — простая [аналитическая] элементарная деформация относительно некоторой четверкиhα, β, a, Ti;тогда отображение p, определенное формулою p(τ) = vol a(τ, ·) при τ ∈ [α, β], непрерывно, а прианалитичности C1 –гладко.II. Пусть n — [аналитическая] T–деформация на отрезке [α, β] с постоянною размерностью образа;тогда отображение w, действующее по формуле w(τ) = Vol nτ , τ ∈ [α, β], непрерывно, а при аналитичности кусочно–C1 –гладко.Доказательство°II очевидно следует из I.°Докажем I. По Утверждению 50 найдется разложение a(τ, x) = b(τ, c(x)), и другие объекты оттуда.°Заметим, что функция объема p(τ) = vol a(τ, ·) = vol b(τ, ·) при τ ∈ [α, β].
Определим µ := dim im a(α, ·)и последний объем опишем подробнееXесли τ > α, то vol b(τ, ·) = vol 00 b(τ, ·) =mesµ (b(τ, ·))◦ (M).M:M∈m°Еще рассмотрим отображение p̂(τ) :=PM:M∈mmesµ (b(τ, ·))◦ (M), при τ ∈ [α, β].°Из Утверждений 54 и 50 следует, что отображение p̂ непрерывно (соответственно, C1 –гладко) на[α, β].°Уже показано, что при p(τ) = p̂(τ) τ > α. Покажем, что p(α) = p̂(α).°Построим по Описанию 43 доцентрованный прообраз n некоторого центрального подразделения ком◦плекса b(α, ·)◦ (m) относительно отображения b(α, ·) и комплекса m.°Для рассмотрения объема отображения b(α, ·) возьмем относительно комплекса n разложение b(α, ·) =q ◦ r по Теореме 44.
Объем считается по формулеXp(α) = vol b(α, ·) = vol q =mesµ q◦ (T ).T :T ∈r◦ ◦ (n)55/Полно/1 Многомерие/1.4 Многогранники–следы°Увидим, что p̂(α) = vol q. Действительно, запишем равенствоXp̂(α) =mesµ (b(α, ·))◦ (N) =N:N∈nX=T :T ∈r◦ ◦ (n)=XXN:N∈n,r◦ (N)=TT :T ∈r◦ ◦ (n)=XXmesµ (q ◦ r)◦ (N) =N:N∈n,r◦ (N)=Tmesµ q◦ (T ) =(mesµ q◦ (T )) · card{N : N ∈ n, r◦(N) = T }.T :T ∈r◦◦ (n)°Убедимся, что в последней сумме если mesµ q◦ (T ) > 0, то card{N : N ∈ n, r◦ (N) = T } = 1. Действительно, µ–объем больше нуля только у симплексов T размерности µ. А размерность тела комплексаn совпадает с размерностью тела комплекса m, в свою очередь совпадающею с размерностью образаотображения a(β, ·), равною тому же числу µ.°Следовательно, по Утверждению 26 число r–прообразных симплексу T симплексов N равно единице.Таким образом,Xp̂(α) =mesµ q◦ (T ) = vol q.T :T ∈r◦ ◦ (n)Q.E.D.Глава 2Локальная минимальностьПредисловиеПосле введения многогранников–следов, их деформаций и объема рассмотрим аналог задачи Плато(как мыльная пленка затягивает некоторый контур) — построить понятие минимальности многогранников–следов и узнать особенности строения их, обусловленные минимальностию.Наши построения двояки.
Рассматривается многомерный случай с несколькими особенностями, ислучай многогранников–следов размерности 2 в R3 с более подробным обсчетом.2∼ВведениеП РОСТРАНСТВОПОСТРОЕНИЙ°Возьмем некоторую конечномерную плоскость Y в пространстве Uni, на этой плоскости возьмем некоторое положительно–определенное скалярное произведение h·, ·i, и рассмотрим порожденные этимскалярным произведением меры (объемы) mes0 , .
. . mesdim Y соответствующих размерностей 0, . . . , dim Y.К ВАЗИПОВЕРХНОСТИ°Df·Скажем, что точка x — точка полуплоского типа в многогранном множестве P, если x ∈ P, инайдется симплекс A такой, что A — открытое множество в P, есть симплекс B такой, что dim B + 1 =dim A и B C A и x ∈ B и B ∪ A — открытое в P множество.°Df·Скажем при каком–либо ν из чисел 0, . . . , dim Y, что множество A — ν–квазиповерхность, если• оно включено в плоскость Y, многогранно, компактно;• всякая неполуплоского типа в A точка x обладает множеством G, гомеоморфным Rν , и таким,что x ∈ G ⊂ A;• ν–мерно всякое множество, открытое в множестве A.Еще скажем, что множество A — квазиповерхность, если оно — ν–квазиповерхность для некоторого ν из 0, .
. . , dim Y.К ЛАСС56ПАР57/Полно/2 Локальная минимальность°Df·Обозначим через F множество всех пар ha, Mi, у которых найдется представление вида a = b ◦ c,где b — PA–смятие; c — PA–контракция; M — аффиктура в PA–отображении a; im a и dom b = im c— квазиповерхности; и всякая точка x из (dom a) \ M не полуплоского типа в dom c.Из этого определения следует, что F — af-редуктивно содержательный класс.°Df·Скажем, что пара ha 0 , M 0 i из F проецируема в/на пару ha 00 , M 00 i из F, если найдется PA–контракцияc такая, что a 0 = a 00 ◦ c и c◦ (M 0 ) = M 00 .К ОНУС°Df·Скажем, что пара hA, xi — локальный конус, если x ∈ A, множество A многогранно, компактнои такое, что для всякой точки y из множества A верно, что [x, y] ⊂ A.°Df·Если hA, xi — некоторый локальный конус, то определим его естественный край fn(A, x) поформулеfn(A, x) := {z : для всякой точки w из множества A верно, что z ∈/ [x, w)}.°Df·Скажем, что тройка ha, M, xi — коническая, если• ha, Mi ∈ F;• hdom a, xi — локальный конус;• M = fn(dom a, x).М ИНИМАЛЬНОСТЬ°Df·Скажем, что коническая тройка ha, M, xi минимальна, если при всякой элементарной простойаналитической деформации m относительно некоторой пятерки h0, 1, a, P, Fi и такой, что пара hm(0, ·), Piпроецируема в пару ha, Mi, верно, что найдется некоторое из (0, 1) такое, что при всяком τ из [0, )верно vol m(τ, ·) > vol m(0, ·) = vol a.°Df·Скажем, что пара ha, Mi из F локально–минимальна, если для всякой точки x из множества(dom a) \ M найдется локальный конус hC, xi такой, что C — замкнутая окрестность точки x во множестве dom a, C \ fn C ⊂ dom a \ M и коническая тройка h a|C , fn(C, x), xi минимальна.°Df·Скажем, что F–многогранник–след локально–минимален, если таков каждый его элемент.2.1Многомерный расчет2.1.1 Расчет расщепленияВ ДАВЛЕНИЕ56В СИМПЛЕКСЕ°ПостроениеРассмотрим лежащий в Y некоторый ν–мерный симплекс A, при ν > 1, и некоторый (ν − 1)–мерныйсимплекс B, подчиненный симплексу A.
Сопоставим такой паре hA, Bi набор imp(A, B) := hc, c̃, x, y, zi,где составляющие определены ниже.Точка c — центр симплекса B, и точка c̃ — такая, что A = B ∗ {c̃}.А также полные симплициальные комплексы• z := {V : V C B, V 6= B};/Полно/2 Локальная минимальность/2.1 Многомерный расчет/2.1.1 Расчет расщепления58• y := {{c}} t z t {Z ∗ {c} : Z ∈ z};• x := {{c̃}} t y t {Y ∗ {c̃} : Y ∈ y}.°ПримерРассмотрим некоторый двумерный симплекс A = {a} ∗ {b} ∗ {c̃}, и его подсимплекс B = {a} ∗ {b}.Тогда11c = · a + · b,22z = {{a}, {b}},y = {{c}, {a}, {b}, (a, c), (c, b)},x = {{c̃}, {c}, {a}, {b}, (a, c), (c, b), (c̃, c), (c̃, a), (c̃, b), {c̃} ∗ (a, c), {c̃} ∗ (c, a)}.П РИУГОТОВЛЕНИЕ°Возьмем некоторый вектор g из векторного пространства над плоскостью Y.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
