Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Тогда непрерывное отображение a из [α, β] × ∪ a в Uni — близкосвязанная элементарная деформация относительно пятерки hα, β, a, P, Wi, если оно так сказать “посимплексноэлементарная деформация”, формально же, если• при каждой точке x из P отображение a(·, x) постоянно на [α, β];• при каждом τ из [α, β] пара ha(τ, ·), Pi принадлежит классу W и при каждом симплексе A из aотображение a(τ, ·)|A симплициально относительно комплекса cla {A};• при всяких числах σ и τ из (α, β] и при каждом симплексе A из a и всяких точках v и w из vert Aверно, что если a(σ, v) = a(σ, w), то a(τ, v) = a(τ, w).К ЛАССОВЫЕДЕФОРМАЦИИ°Df·Возьмем некоторые разные числа α и β из R и некоторое [af-]rd-ct-множество W. Тогда отображение b из [α, β] в совокупность W–многогранников–следов — [[близкосвязанная]] элементарная W–деформация относительно пары hα, βi, если найдется полный симплициальный комплекс a[и некоторый замкнутый полиэдр P, являющийся объединением симплексов из a] и непрерывное отображение a из [α, β]× ∪a в Uni такие, что отображение a — [[близкосвязанная]] элементарная деформация относительно четверки hα, β, a, Wi [пятерки hα, β, a, P, Wi] и при каждом τ из [α, β] отображениеa(τ, ·) принадлежит множеству b(τ).°Df·Возьмем некоторые числа α и β из R, причем α < β, и некоторое [af-]rd-ct-множество W.
Тогдаотображение a из [α, β] в совокупность W–многогранников–следов — [[близкосвязанная]] W–деформация на отрезке [α, β], если найдется набор чисел α = τ0 < . . . < τν = β таких, что прикаждом ι = 1, . . . , ν отображение a[τ ,τι ] — [[близкосвязанная]] элементарная W–деформация отι−1носительно пары hτι−1 , τι i или пары hτι , τι−1 i.49/Полно/1 Многомерие/1.4 Многогранники–следыП АРАМЕТРИЧЕСКОЕ50РАЗЛОЖЕНИЕ°Th·Для произвольных разных вещественных чисел α и β, полного симплициального комплекса a ивсякой [аналитической] элементарной деформации a относительно четверки hα, β, a, Wi (где обозначена W совокупность всех (вообще всех) PA–отображений) найдутся1. некоторое центральное подразделение b комплекса a,2.
контракция c, симплициальная относительно b, и3. [аналитическая] элементарная деформация b относительно четверки hα, β, m, Wi (где m := c◦ ◦ (b))такие, что• отображение b(τ, ·) — смятие при τ ∈ (α, β];• a(τ, x) = b(τ, c(x)) при τ ∈ [α, β] и x ∈ ∪ a.Доказательство°Выберем некоторые разные вещественные числа α и β, полный симплициальный комплекс a и некоторую [аналитическую] элементарную деформацию a относительно четверки hα, β, a, Wi.°Заметим, что если v 0 и v 00 суть точки из ∪(vert◦ (a)) такие, что a(β, v 0 ) = a(β, v 00 ), то из условия одинаковой склейки при τ ∈ (α, β] (см. второе условие в Определении 49) следует, что a(τ, v 0 ) = a(τ, v 00 )при τ ∈ (α, β].
По непрерывности a(α, v 0 ) = a(α, v 00 ).°По Утверждению 39 при каждом τ из [α, β] найдется единственное симплициальное относительно◦◦◦комплекса a(β, ·)◦ (a) отображение r(τ, ·) такое, что r(τ, ·) ◦ a(β, ·) = a(τ, ·) и r(τ, ·)◦ (a(β, ·)◦ (a)) =◦a(τ, ·)◦ (a).°Еще заметим, что отображение r образуется аффинною комбинациею параметризованных вершинныхточек (см. еще Утверждение 39 и Замечание 3).
И поэтому отображение r непрерывно по совокупностиаргументов.◦°Чтобы построить комплекс b выберем некоторое центральное подразделение l 00 в комплексе a(α, ·)◦ (a).Затем по Определению 43 построим некоторый доцентрованный прообраз l 0 комплекса l 00 относи◦тельно отображения r(α, ·) и комплекса a(β, ·)◦ (a). И по тому же описанию построим некоторыйдоцентрованный прообраз b комплекса l 0 относительно отображения a(β, ·) и комплекса a.°Установим, что a(α, ·) симплициальноотносительнокомплекса b. Если симплекс B принадлежит комплексу b, то a(α, ·)◦ (B) = r(α, ·)◦ a(β, ·)◦ (B) .Обозначив L 0 := a(β, ·)◦ (B), заметим, что L 0 ∈ l 0 . Таким образом, a(α, ·)◦ (B) = r(α, ·)◦ (L 0 ) ∈ l 00 , попостроению четвертого пункта.Далее установим, что при каждом τ из [α, β] отображение r(τ, ·) симплициально относительно комплекса l 0 .
При τ = α симплициальность следует из построения комплекса l 0 . А при τ ∈ (α, β] симплициальность следует из гомеоморфности отображения r(τ, ·) и аффинности его на симплексах ком◦плекса l 0 как подмножествах симплексов комплекса a(β, ·)◦ (a).°Заметим, что r(τ, ·)–образы вершинных точек в комплексе l 0 суть аффинные суммы a(τ, ·)–образовсоответствующих вершинных точек в комплексе a с постоянными коэффициентами. Следовательно,гладкость и аналитичность сохраняются.°Произведем по Теореме 44 разложение a(β, ·) = g ◦ c отображения a(β, ·), где c — контракция,симплициальная относительно комплекса b, и g — смятие, симплициальное относительно комплексаc◦ ◦ (b).
Обозначим b(τ, ·) := r(τ, ·) ◦ g. По доказанному, это b [аналитично] непрерывно по совокупности аргументов, при τ ∈ [α, β] отображение r(τ, ·) симплициально относительно комплекса c◦ ◦ (b).°Если τ ∈ (α, β], то b(τ, ·) = r(τ, ·) ◦ g — композиция PA–гомеоморфизма и смятия, то есть — смятие.Q.E.D.50/Полно/1 Многомерие/1.4 Многогранники–следы/1.4.3 Объем1.4.3 ОбъемФ ОРМУЛЫОБЪЕМА°При рассмотрении некоторой плоскости A в Uni конечной размерности ν, с заданным на векторах надтою плоскостью евклидовым (то есть положительно определенным) скалярным произведением h·, ·i,будем рассматривать порожденные этим скалярным произведением объемы mes0 , .
. . , mesν симплексов из той плоскости.°Для нескольких векторов v1 , . . . , vα определим матрицу Грамаhv1 , v1 i . . . hv1 , vα i......Gram(v1 , . . . , vα ) := ...hvα , v1 i . . . hvα , vα iэтих векторов.51°Заметка·Если σ ∈ N и a0 , . . . , aσ — аффинно независимое семейство точек из плоскости A, то обозначим S := rint conv{a0 , .
. . , aσ }. И тогдаmesι (S) не определен при ι = 0, . . . , σ − 1;mesι (S) = 0 приq ι = σ + 1, . . . , ν;1→−−→det Gram(−a−mesσ (S) =0 a1 , . . . , a0 aσ ).σ!К этим формулам напомним, что если векторы v1 , . . . , vα линейно зависимы, тоdet Gram(v1 , . . . , vα ) = 0.О БЪЕМОТОБРАЖЕНИЯ НА КОМПЛЕКСЕ°Выберемконечномерное аффинное подпространство Y, в нем некоторое скалярное произ некотороеведение ·, · и порожденный им объем mesι (размерностей ι = 0 . . . dim Y).°Df·Для всяких кусочно аффинного отображения f с образом в выбранном пространстве Y, и полного симплициального комплекса k, относительно которого отображение f симплициально, определимобъем volk000 f по формулеXvolk000 f :=mesν f◦ (K),K:K∈kгде ν = max dim K.K:K∈k52°Th·Отображение vol 000 не зависит от комплекса.То есть если некоторое отображение f симплициально относительно некоторых полных симплициальных комплексов a и b, то vola000 f = volb000 f.Доказательство°Рассмотрим сначала некоторое кусочно–аффинное отображение f и симплициальный комплекс k,относительно которого оно симплициально, и еще некоторый симплициальный комплекс l, измельчающий комплекс k, и относительно которого отображение f также симплициально.°Заметим, что!XXXvoll000 f =mesν f◦ (L) =mesν f◦ (L) .L:L∈lK:K∈kL:L∈l,L⊂KЯсно также, что внутренняя сумма совпадает с числом mesν f◦ (K).51/Полно/1 Многомерие/1.4 Многогранники–следы°Итак, в этом случае независимость доказана.°Рассмотрим два комплекса k 0 и k 00 , а также симплициальное относительно их отображение f.°Тогда найдется некоторый симплициальный комплекс l, измельчающий оба комплекса k 0 и k 00 .°Заметим, что из Утверждения 15 следует существование комплекса n, измельчающего комплекс lотносительно которого отображение f симплициально.°Из первой части доказательства вытекает, что volk0000 f = voln000 f = volk00000 f.Q.E.D.°Df·Определим объем vol 00 f кусочно–аффинного отображения f по формулеvol 00 f = volk000 fдля некоторого комплекса k, относительно которого отображение f симплициально.О БЪЕМОТОБРАЖЕНИЯ°Df·Для произвольного кусочно–аффинного отображения f, образ которого лежит в выбранном пространстве Y, и всякого разложения f = g ◦ h его в композицию PA–смятия g и PA–контракции h,определим объем vol 0 (h, g, f) по формулеvol 0 (h, g, f) := vol 00 g.53°Th·Отображение vol 0 не зависит от первых двух своих аргументов.Доказательство°Возьмем некоторое кусочно–аффинное отображение f и следующие два представления его:f = g1 ◦ h1 = g2 ◦ h2 ,где h1 и h2 суть PA–контракции, а g1 и g2 суть кусочно–аффинные смятия.°По Теореме 28 найдется кусочно–аффинный гомеоморфизм p множества im h1 на множество im h2такой, что g2 ◦ p = g1 .°Далее, как и в доказательсте Утверждения 52, по Утверждению 8 найдется некоторый симплициальный комплекс k, относительно которого отображение p симплициально, и относительно p–образа которого (то есть p◦ ◦ (k)) отображение g2 также симплициально.
Тогда отображение g1 симплициальноотносительно комплекса k.°Таким образом, обозначив через ν размерность образа отображения f, получаем следующее равенство:vol 0 (h1 , g1 , f) = vol 00 g1 = volk000 g1 =XXX=mesν g1 ◦ (K) =mesν g2 ◦ (p◦ (K)) =mesν g2 ◦ (L) =K:K∈kK:K∈kL:L∈p◦◦ (k)= volp000◦◦ (k) g2 = vol 00 g2 = vol 0 (h2 , g2 , f).°Итак, требуемое доказано.Q.E.D.°Df·Для произвольного кусочно аффинного отображения f, образ которого лежит в выбранном пространстве Y, определим его объем vol f := vol 0 (h, g, f), где f = g ◦ h,— некоторое разложение в композицию кусочно аффинного смятия g и PA–контракции h.О БЪЕММНОГОГРАННИКА – СЛЕДА°Df·Для произвольного [af-]rd-ct-множества A определим для всякого A–многогранника–следа A его˜ A как образ некоторого представителя его (im˜ A := im f, где f ∈ A[ или hf, Pi ∈ A]), и если im˜ Aобраз imлежит в выбранном пространстве Y, то его объем Vol A по формуле Vol A := vol f, где f [или hf, Pi] —некоторый представитель из A.°Независимость от представителя ясна.
В самом деле, если f1 и f2 — два представителя A–многогранника–следа A, тогда по Определению 46 найдутся их общий редукт g и две PA–контракции h1 и h2 такие,что f1 = g ◦ h1 и f2 = g ◦ h2 . Тогда vol f1 = vol 0 (h1 , g, f1) = vol 00 g = vol 0 (h2 , g, f2) = vol f2 . [af-случайаналогичен, но Определение 48.]52/Полно/1 Многомерие/1.4 Многогранники–следы/1.4.4 Объем при деформации1.4.4 Объем при деформацииП АРАМЕТРИЗОВАННЫЙСИМПЛЕКС°Обозначим через Y некоторое конечномерное аффинное подпространство в пространстве Uni. На векторах этого Y введем некоторое евклидово скалярное произведение h·, ·i.°Возьмем набор непрерывных отображений p0 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
