Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. . , τλ .2. Определим отображение hι на вершинных точках комплекса lι по формуле (где обозначено Zι :=ιLk@D ι Aι )v,если v — не вершинная точка во всяком t из Fιили v — вершинная точка в некотором t из Zι ;hι (v) :=0h (v), если v — вершинная точка в некотором t из Fι ιи v — не вершинная точка во всяком t из Zι .ιЗаметим здесь, что точки второго типа суть точки вида v = cιt , cιh , где t ∈ St@Dι Aι , h — ι–боковина в t.3. Затем отображение rι определяется как посимплексно аффинное продолжение отображения hιна комплексе lι .45/Полно/1 Многомерие/1.3 Разложение°IV. Связь отображений00Если hι (v 0 ) = hι (v 00 ), то покажем, что rι−1(v 0 ) = rι−1(v 00 ). Действительно, если v 0 = v 00 , то равенствоверно. Если же v 0 6= v 00 , то склейка hι (v 0 ) = hι (v 00 ) возможна только в случае, что точки v 0 и v 00 сутьцентральные в соответствующих некоторых наборах p 0 и p 00 таких, что найдется класс эквивалентности (см.
пункт II) в Fι , и каждый набор из этих двух или сам принадлежит указанному классу, илиесть ι–боковина некоторого элемента того класса. При ι = 0 по замечанию из Определения 43 такие0центральные точки склеиваются отображением f = r−1; а при ι > 0 эту склейку покажем ниже.000000Таким образом, если rι (v ) = rι (v ), то rι−1 (v ) = rι−1 (v 00 ) при всяких вершинных точках v 0 и v 00комплекса lι .По Утверждению 39 найдется единственное отображение rι0 такое, что0rι−1= rι0 ◦ rι ,(4)◦оно симплициально (и по определению непрерывно) относительно комплекса rι ◦ ◦ (lι ) и rι0 ◦ (rι ◦ ◦ (lι )) =◦◦0rι−1(lι ).°V.
СклейкиДокажем на этапе ι свойство, аналогическое замечанию из Определения 43, что даст нам возможность на этапе ι + 1 разложения (4). Рассмотрим некоторый набор t из комплекса Dι+1 = rι ◦ ◦ ◦ (Dι ).Заметим, что набор t имеет вид t = rι ◦ ◦ (t 0 ), для некоторого набора t 0 из комплекса Dι , причем из построения отображения rι можно считать, что отображение rι инъективно на ∪ t 0 . Таким образом, если0отображение rι−1клеит центральную точку cι (q) и центральную точку cι (w), то эти точки не склееныотображением rι , следовательно, они склеены отображением rι0 .Отсюда следует также, что на следующем этапе определяемые Aι и Eι по формулам из пт. I.2 связанысоотношением Aι ⊂ Eι . А именно, если набор e из Aι , то он есть также инъективный образ некоторогонабора в Dι−1 , и так далее до прообраза в D0 , вершинные точки тела которого склеены отображениемf (из определения совокупности Aι ).
Таким образом, этот прообраз в D0 принадлежит совокупностиE0 , и отсюда исходный набор e лежит в Eι .°Итак ясно, что f = rµ0 ◦rµ ◦. . .◦r0 , при этом каждое отображение rι из построения его как посимплексно–аффинного продолжения отображения hι есть PA–контракция, а отображение rµ0 — смятие, что следует из определения числа µ: отображение rµ0 инъективно на теле всякого набора из rµ ◦ ◦ ◦ (Dµ ) с одномерным телом, и по Утверждению 19 с учетом симплициальности отображения rµ0 .°Наконец переобозначим g := rµ0 , h := rµ ◦ . . . ◦ r0 , где h — контракция по Утверждению 25. Q.E.D.1.4Многогранники–следыПредисловиеКак уже сказано в начале этой главы, кусочно–аффинные отображения хорошо дискретизуются, и ониизбраны как простое средство конструировать “обобщенные поверхности”, в которых возможны самопересечения и самоналожения.
Кроме самого введения понятий к полиэдрам–следам, рассмотренынекоторые деформации их, объем, а также изучено поведение объема при специальных деформациях.1.4.1 ПостроениеР ЕДУКТИВНАЯЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ°Df·Если a — PA–отображение, то его редуктом назовем всякое PA–смятие b такое, что найдетсяPA–контракция c, в композиции с b дающая отображение a (то есть a = b ◦ c).46/Полно/1 Многомерие/1.4 Многогранники–следы/1.4.1 Построение°Заметим, что существование редукта обеспечено Теоремою 44. Еще заметим, что по Утверждению 28два редукта одного отображения отличаются на кусочно–аффинный гомеоморфизм.°Df·Скажем, что два PA–отображения a 0 и a 00 редуктивно–эквивалентны, если у них есть общийредукт. То есть найдутся PA–смятие b, PA–контракции c 0 и c 00 такие, что a 0 = b ◦ c 0 и a 00 = b ◦ c 00 .c0dom a 0 = dom c 0im c 0 = dom b = im c 00ba0c 00dom c 00 = dom a 00a 00im a 0 = im b = im a 00Диаг.
5. к редуктивной эквивалентности°Заметим, что отображение редуктивно–эквивалентно своему каждому редукту. А если отображениередуктивно–эквивалентно некоторому кусочно–аффинному смятию, то из Утверждения 28 следует,что это смятие — также редукт того отображения.45°Th·Отношение редуктивной эквивалентности рефлексивно, симметрично, транзитивно.Доказательство°Рефлексивность и симметричность его очевидны из определения его.°Чтобы показать его транзитивность, рассмотрим три PA–отображения a 0 , a 00 , a 000 .°Предположим, что a 0 и a 00 редуктивно–эквивалентны, и a 00 и a 000 редуктивно–эквивалентны.
То естьнайдутся PA–смятия b 0 , b 000 , а также PA–контракции c 0 , c100 , c200 , c 000 такие, чтоa 0 = b 0 ◦ c 0,a 00 = b 0 ◦ c100 ,a 00 = b 000 ◦ c200 ,a 000 = b 000 ◦ c 000 .°По Утверждению 28 найдется инъективное PA–отображение i такое, что b 0 ◦ i = b 000 . Следовательно,a 000 = b 000 ◦ c 000 = (b 0 ◦ i) ◦ c 000 = b 0 ◦ (i ◦ c 000 ).°Из Утверждения 25 следует, что i ◦ c 000 — PA–контракция, как композиция контракций.Итак, a 0 и a 000 редуктивно–эквивалентны.Q.E.D.°Df·Произвольное множество PA–отображений назовем редуктивно содержательным, если у всякого элемента того множества есть редукт в том множестве.Обозначать будем кратко: rd-ct-множество.46°Df·Если A — некоторое rd-ct-множество, то классы редуктивно-эквивалентных элементов того множества назовем A–многогранниками–следами.°Заметим, что всякий элемент всякого A–многогранника–следа обладает редуктом из того же многогранника–следа, а всякие два элемента его обладают общим редуктом из него же.АФФИКТУРНАЯРЕДУКТИВНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ47/Полно/1 Многомерие/1.4 Многогранники–следы°Df·Для некоторого PA–отображения a скажем, что некоторый замкнутый многогранник P — аффиктура к отображению a, если P ⊂ dom a.°Df·Если a — PA–отображение и P — некоторая аффиктура к отображению a, то af-редуктом парыha, Pi назовем всякую пару hb, Qi такую, что b — PA–смятие, Q — аффиктура к отображению b, инайдется PA–контракция c такая, что a = b ◦ c и c◦ (P) = Q.°Df·Скажем, что две пары ha 0 , P 0 i и ha 00 , P 00 i, где a 0 и a 00 — PA–отображения, P 0 — аффиктура к a 0 ,P 00 — аффиктура к a 00 , af-редуктивно–эквивалентны, если у них есть общий af-редукт.47°Th·Отношение af-редуктивной–эквивалентности рефлексивно, симметрично, транзитивно.Доказательство°Демонстрируется аналогично Доказательству Утверждения 45.°Рефлексивность и симметричность очевидны из определения.°Чтобы показать транзитивность, рассмотрим три PA–отображения a 0 , a 00 , a 000 , и P 0 , P 00 , P 000 — соответствующие аффиктуры к этим отображениям.°Предположим, что ha 0 , P 0 i и ha 00 , P 00 i af-редуктивно–эквивалентны, и ha 00 , P 00 i и ha 000 , P 000 i af-редуктивно–эквивалентны.
То есть найдутся PA–смятия b 0 , b 000 , PA–контракции c 0 , c100 , c200 , c 000 и замкнутыемногогранники Q 0 , Q 000 такие, что◦a 0 = b 0 ◦ c 0,Q 0 = c 0 (P 0 ) — аффиктура к b 0 ;a 00 = b 0 ◦ c100 ,Q 0 = c100 (P 00 ) — аффиктура к b 0 ;a 00 = b 000 ◦ c200 ,a 000 = b 000 ◦ c 000 ,◦◦Q 000 = c200 (P 00 ) — аффиктура к b 000 ;◦Q 000 = c 000 (P 000 ) — аффиктура к b 000 .°По Утверждению 28 найдется инъективное PA–отображение i такое, что b 0 ◦ i = b 000 и i ◦ c200 = c100 .Следовательно,a 000 = b 000 ◦ c 000 = (b 0 ◦ i) ◦ c 000 = b 0 ◦ (i ◦ c 000 )и◦◦Q 0 = c100 (P 00 ) = (i ◦ c200 ) (P 00 ) = i◦ (Q 000 ),откуда (i ◦ c 000 )◦ (P 000 ) = i◦ (Q 000 ) = Q 0 .°Из Утверждения 25 следует, что i ◦ c 000 — PA–контракция, как композиция контракций.Итак, ha 0 , P 0 i и ha 000 , P 000 i af-редуктивно–эквивалентны с общим af-редуктом hb 0 , Q 0 i.Q.E.D.°Df·Произвольное множество пар PA–отображений и аффиктур к ним назовем af-редуктивно содержательным, если у всякого элемента того множества есть af-редукт в том множестве.Обозначать будем кратко: af-rd-ct-множество.48°Df·Если a — некоторое af-rd-ct-множество, то классы af-редуктивно–эквивалентных элементов того множества назовем a–af-многогранниками–следами.1.4.2 ДеформацииП АРАМЕТРИЧЕСКИЕ49ДЕФОРМАЦИИ°Df·Возьмем некоторые разные числа α и β из R и некоторый полный симплициальный комплекс a инекоторое rd-ct-множество W.
Тогда непрерывное отображение a из [α, β] × ∪ a в Uni —• элементарная деформация относительно четверки hα, β, a, Wi, если– при каждом τ из [α, β] отображение a(τ, ·) симплициально относительно комплекса a и принадлежит классу W;тут есть есочек48/Полно/1 Многомерие/1.4 Многогранники–следы/1.4.2 Деформации– при всяких числах σ и τ из (α, β] и всяких точках v и w из ∪(vert◦ (a)) верно, что еслиa(σ, v) = a(σ, w), то a(τ, v) = a(τ, w).• аналитическая элементарная деформация относительно четверки hα, β, a, Wi, если оно элементарная деформация относительно той же четверки hα, β, a, Wi такая, что при каждой точке vиз ∪(vert◦ (a)) отображение a(·, v) аналитично (то есть локально представимо степенным рядом сцентром) в α и однажды непрерывно–дифференцируемо на [α, β].°Df·Возьмем некоторые разные числа α и β из R и некоторый полный симплициальный комплекс a инекоторый замкнутый полиэдр P, являющийся объединением симплексов из a, и некоторое af-rd-ctмножество W.
Тогда непрерывное отображение a из [α, β] × ∪ a в Uni —• элементарная деформация относительно пятерки hα, β, a, P, Wi, если– при каждой точке x из P отображение a(·, x) постоянно на [α, β];– при каждом τ из [α, β] отображение a(τ, ·) симплициально относительно комплекса a и параha(τ, ·), Pi принадлежит классу W;– при всяких числах σ и τ из (α, β] и всяких точках v и w из ∪(vert◦ (a)) верно, что еслиa(σ, v) = a(σ, w), то a(τ, v) = a(τ, w).• аналитическая элементарная деформация относительно пятерки hα, β, a, P, Wi, если оноэлементарная деформация относительно той же пятерки hα, β, a, P, Wi такая, что при каждойточке v из ∪(vert◦ (a)) отображение a(·, v) аналитично в α и однажды непрерывно–дифференцируемо на [α, β].°Df·Возьмем некоторые разные числа α и β из R и некоторый полный симплициальный комплекс aи некоторый замкнутый полиэдр P, являющийся объединением симплексов из a, и некоторое af-rdct-множество W.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
