Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Возьмем некоторый симплекс A из комплекса a1 ◦ ◦ (a) и некоторый симплекс Ã комплекса a такой, что a1 ◦ (Ã) = A. Тогда r◦ (A) = r◦ (a1 ◦ (Ã)) = a2 ◦ (Ã) ∈ a2 ◦ ◦ (a). При этому всякого симплекса A комплекса a2 ◦ ◦ (a) есть симплекс A 0 комплекса a1 ◦ ◦ (a) такой, что r◦ (A 0 ) = A.Так как найдется симплекс Â комплекса a такой, что A = a2 ◦ (Â) = (r ◦ a1 )◦ (Â) = r◦ (a1 ◦ (Â)) =r◦ (A 0 ), где A 0 := a1 ◦ (Â) ∈ a1 ◦ ◦ (a).Q.E.D.1.3.3 Разложение на смятие и контракциюЦ ЕЛОСТЬ40И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ°Df·Рассмотрим выпуклополиэдральные комплексы k и l, из которых комплекс l вписан в комплексk.
Тогда скажем, что набор m полиэдров из комплекса l (то есть m ⊂ l) цел относительно комплексаk, если ∪ m ∈ k.Скажем, что целый относительно комплекса k набор s полиэдров из комплекса l мажорирует целыйотносительно комплекса k набор t полиэдров из комплекса l и обозначим это s A t, если cll s ⊃ t./Полно/1 Многомерие/1.3 Разложение/1.3.3 Разложение на смятие и контракцию40°Заметка·Заметим, что все целые относительно комплекса k наборы полиэдров из комплекса l образуют абстрактный комплекс относительно отношения подчинения @, изоморфный комплексу k сотношением подчинения C.41°Df·Опишем центральное подразделение произвольного полного выпуклополиэдрального комплекса l.
См. схему 1.2 . Выберем сначала у каждого его элемента L по точке: cL ∈ L, L ∈ l. Затем индуктивно построим следующие симплициальные комплексы:• n0 := {L : L ∈ l, dim L = 0};• если при κ ∈ N комплекс nκ построен, то комплекс nκ+1 определим формулоюnκ+1 := nκ t {{cL } : L ∈ l, dim L = κ + 1}tt{N : ∃L, Z(L ∈ l, dim L = κ + 1, Z ∈ nκ , Z ⊂ rmrg L, N = {cL } ∗ Z)}.Комплекс m :=cL при L ∈ l.Snκ называется центральным подразделением комплекса l относительно центровκ:κ∈N°Заметка·Если l — центральное подразделение некоторого полного симплициального комплекса kотносительно некоторых центров cK при K ∈ k, то для всякого K из k множество w := {L : {cK } C L ∈ l}— целый набор относительно комплекса k; при этом центральная точка cK однозначно соответствуетнабору w.Диаг.
2. центральное подразделениеО СОБОЕЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ°В следующих двух пунктах 42 и 43 определяется понятие специального центрального подразделения,порожденное PA–отображением.42°Df·У стяжения ребраЕсли f — стяжение ребра E = V1 ∗ V2 относительно полного симплициального комплекса k, и l —некоторое центральное подразделение (см. Определение 41) комплекса f◦ ◦ (k), то опишем доцентрованный прообраз комплекса l относительно отображения f и комплекса k.
См. схему 1.3 .41/Полно/1 Многомерие/1.3 Разложение/1.3.3 Разложение на смятие и контракциюf◦ (V1 ) = f◦ (V2 )V1fEV2fДиаг. 3. доцентрованный прообразОбозначим a := frglk,f ,— выпуклополиэдральный комплекс по Утверждению 7. В нем только элементы, включенные в симплексы комплекса k, являющиеся надгранями ребра E, не суть непременносимплексы.Выберем в каждом ребре A комплекса a таком, что f◦ (A) — одноточечно, по точке cA . Обозначимтакже g = {A : A ∈ a, ∃K(K ∈ k, K B E, A ⊂ K)}.Индуктивно определим симплициальные комплексы• b1 := (a \ g) ∪ {V1 ∗ {cE },{cE },{cE } ∗ V2 };• далее если комплекс bν , ν ∈ N+ , построен, то комплекс bν+1 определяется формулоюbν+1 := bν ∪ {cA }, {cA } ∗ B :∃A, K, B(A ∈ dom c,A ⊂ K ∈ k,dim K = ν + 1, K B E,SНаконец искомый комплекс c определим по формуле c :=bν .B ∈ bν ,B ⊂ rmrg K) .ν:ν∈N+°Заметим, что он является центральным подразделением комплекса k и при этом отображение f симплициально относительно его.Еще заметим, что если s, t и h — целые относительно комплекса k наборы полиэдров (здесь — симплексов) из комплекса c, причем∪s = E,s @ t A h,то f(x) = f(y).
См. схему 1.4 .s 6@ h,1 + dim ∪ h = dim ∪ t,{x} ∈ h и{y} ∈ t,42/Полно/1 Многомерие/1.3 Разложение/1.3.3 Разложение на смятие и контракциюhstДиаг. 4. к боковинам и склейке43°Df·ОбщеЕсли отображение f симплициально относительно комплекса k и l — некоторое центральное подразделение (см. Определение 41) комплекса f◦ ◦ (k), то опишем доцентрованный прообраз f комплексаl относительно отображения f и комплекса k• Если отображение f — смятие, то множество f := frglk,f (см. Утверждение 7),— полный симплициальный комплекс, и зовется доцентрованным прообразом.• Если же f — консумпция, то по Теореме 38 найдутся отображения g, h0 , .
. . , hν такие, что– отображение h0 — стяжение некоторого ребра относительно комплекса k,◦– отображение hι — стяжение некоторого ребра относительно комплекса (hι−1 ◦ . . . ◦ h0 )◦ (k)при всех ι = 1, . . . , ν,◦– отображение g — симплициальное относительно комплекса k 0 := (hν ◦ . . . ◦ h0 )◦ (k) смятие,– а также f = g ◦ hν ◦ . . . ◦ h0 .• Заметим, что множество b := frglk 0,g — полный симплициальный комплекс.• Определим индуктивно последовательность полных симплициальных комплексов cν , .
. . , c0 следующим образом:– cν — доцентрованный прообраз (см. Определение 42) комплекса b относительно отобра◦◦жения hν и комплекса (hν−1 ◦ . . . ◦ h0 ) (k).– cι−1 — аналогично доцентрованный прообраз комплекса cι относительно отображения hι−1◦и комплекса (hι−2 ◦ . . . ◦ h0 )◦ (k).• Обозначим f := c0 . Этот комплекс называется доцентрованным прообразом.°При этом ясно, что комплекс f является центральным подразделением комплекса k и верно, что отображение f симплициально относительно комплекса f.Еще заметим, что если s, t и h — целые относительно комплекса k наборы полиэдров (здесь — симплексов) из комплекса f, причем ∪ s — ребро, на котором не инъективно отображение f, а такжеs @ t A h,то f(x) = f(y).s 6@ h,1 + dim ∪ h = dim ∪ t,{x} ∈ hи {y} ∈ t,/Полно/1 Многомерие/1.3 Разложение/1.3.3 Разложение на смятие и контракцию43П ОСТРОЕНИЕ44°Теорема·Для всякого кусочно аффинного отображения f1.
если k — некоторый полный симплициальный комплекс, относительно которого симплициально отображение f, то найдется некоторое центральное подразделение f комплекса k, а такжеPA–контракция h, симплициальная относительно комплекса f, и симплициальное относительнокомплекса h◦ ◦ (f) PA–смятие g такие, что f = g ◦ h;2.
найдется PA–контракция h и PA–смятие g, в композиции дающие f, то есть f = g ◦ h.Доказательство°Второе утверждение следует из первого и существования симплициального комплекса, относительнокоторого кусочно аффинное отображение симплициально.°Для доказательства первого утверждения рассмотрим некоторый полный симплициальный комплексk и некоторое отображение f, симплициальное относительно комплекса k.°Если отображение f — смятие, то в качестве разложения возьмем g := f и h := iddom f , в качествекомплекса f возьмем произвольное центральное подразделение комплекса k.°Если же f — консумпция, то нижеследующее индуктивное построение (пп. I–V) приводит к искомомуразложению.°ПриуготовлениеПроведем построение комплекса f из Определения 43 для наших комплекса k и отображения f, однаконе возьмем название отображения g.Построение индуктивно, причем местами совместно будут описаны основание и шаг индукции.
Прикаждом натуральном ι до некоторого, определенного ниже, максимального µ формируем симплициальный комплекс lι , абстрактный комплекс Dι наборов из lι с подчинением @ι , функцию cι (·) “центров”, совокупность Eι , выбранный набор sι , совокупность Aι , совокупность Fι , и отображения hι0 , hι ,rι , rι0 .°СхемаПоясним, что применение дальнейших построений проходит в порядке1. (I.1), (II, III, IV, V) (при ι = 0),2.
и далее циклично при ι > 0 (I.2, II, III, IV, V).°I. Формирование комплексов и совокупностей0I.1. Построение при ι = 0. Еще обозначим r−1:= f.1. l0 := f.2. Обозначим через D0 абстрактный комплекс целых относительно комплекса k наборов симплексов из комплекса l0 . И обозначим отношение подчинения @0 :=@. Еще заметим, чтоу каждого набора t из D0 найдется единственная (“центральная”) точка c0 (t) такая, что{c0 (t)} ∈ t.3. E0 := {s : s ∈ D0 , ∪ s — ребро в комплексе k, на котором отображение f не инъективно}.4. Выберем некоторый набор s0 из E0 . И определимA0 := e : e ∈ D0 , dim ∪ e = 1, {v : v @0e, dim ∪ v = 0} = {v : v @0 s0 , dim ∪ v = 0} .
И заметим, что A0 = {s0 }.05. F0 := St@D0 A0 . Скажем, что набор h из D0 — 0–боковина в наборе t из F0 , если h @0 t,dim ∪ h = dim ∪ t − 1, h ∈/ F0 .Заметим также, что таких наборов h ровно два в каждом t из F0 — по одному на каждыйодноэлементный набор (“вершину”) из D0 , подчиненный некоторому набору из A0 ./Полно/1 Многомерие/1.3 Разложение/1.3.3 Разложение на смятие и контракцию44I.2. Построение при ι > 0, если Eι−1 6= Aι−1 (отсюда определяется число µ, то есть максимум тех ι,при которых Eι−1 6= Aι−1 ).1. lι := rι−1 ◦ ◦ (lι−1 );2. Dι := rι−1 ◦ ◦ ◦ (Dι−1 ). И отношение подчинения @ι такое, что q @ι w ⇐⇒ q ⊂ cllι w. Ещезаметим, что у каждого набора t из Dι найдется единственная (“центральная”) точка cι (t)такая, что {cι (t)} ∈ t, причем cι (rι−1 ◦ ◦ (s)) = rι−1 (cι−1 (s)), где s ∈ Dι−1 .3.
Eι := rι−1 ◦ ◦ ◦ (Eι−1 \ Aι−1 ). Заметим еще, что число элементов в множестве Eι меньше числаэлементов множества Eι−1 .4. Выберем некоторый набор sι из Eι . И определим Aι := e : e ∈ Dι , dim ∪ e = 1, {v : v @ι e,dim ∪ v = 0} = {v : v @ι sι , dim ∪ v = 0} .ι5. Fι := St@Dι Aι . Скажем, что набор h из Dι — ι–боковина в наборе t из Fι , если h @ι t,dim ∪ h = dim ∪ t − 1, h ∈/ Fι .Заметим также, что таких наборов h ровно два в каждом t из Fι — по одному на каждыйодноэлементный набор (“вершину”) из Dι , подчиненный некоторому набору из Aι .°II. СмежностьСкажем, что два набора t 0 и t 00 из Fι смежны, если найдется их общая ι–боковина, то есть набор hтакой, что t 0 Aι h, t 00 Aι h, h ∈/ Fι , dim ∪ h + 1 = dim ∪ t 0 = dim ∪ t 00 .Определим также наименьшее отношение эквивалентности, содержащее данное отношение смежности. В каждой размерности λ = 1, 2, .
. . тел наборов из Fι пронумеруем некоторым (произвольным)образом их эквивалентные классы: Gλ0 , . . . , Gλτλ .°III. Построение промежуточных отображений1. Теперь индуктивно по размерности λ = 1, . . . и индукциею же по номеру κ = 0, . . . , τλ определимзначения оображение hι0 . Оно действует на совокупности точек вида cιt и cιh , где t ∈ Fι и h —ι–боковина в t.λ = 1: Здесь G10 = Aι , τλ = 0. Всем центральным точкам v вида v = cιt , cιh , где t ∈ Aι , h —ι–боковина в t, сопоставим значением hι0 (v) некоторую одну и ту же точку вне аффиннойоболочки множества ∪ lι .λ > 1: Предположив, что на центральных точках компонент меньших размерностей (1, . . . , λ −1) отображение hι0 построено, центральным точкам v вида v = cιt , cιh , где t ∈ Gλ0 , h —ι–боковина в t, сопоставим значением hι0 (v) некоторую одну и ту же точку вне аффиннойоболочки множества ∪ lι , объединенного с множеством всех уже построенных hι0 –значений.Далее при том же λ такое же построение с заменою 0 → κ = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
