Математическое моделирование киральных волноведущих систем (1103709), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Тогда выражение (13) принимает видr% *rr% * rr r% *a21*a(rotE,rotE)dS−ik∫a *∫ a * ( rotγ E , E )dS + ∫ ik a12 ( rotγ E , E )dS −γγΩ 22ΩΩ2222r r%r r%a a− ∫ k 2a11 ( E , E * )dS + ∫ k 2 12 21 ( E , E * )dS = 0.a22ΩΩ113(14)Запишем формулу (14) покомпонентно и приведём члены при одинаковых степенях γ:%%% + 1 E E% )dxdy + γ ( − 1 ∂E z E − 1 E% ∂E z − 1 ∂E z E − 1 E% ∂E z +EEyyxx∫yyxx∂y a22* ∂x∂xa22*a22*a22* ∂ya22*a22*ΩΩ1 ∂E% ∂E z1 ∂E% ∂E za *a *aa+ik 21* E% y E x − ik 21* E% x E y − ik 12 E y E% x + ik 12 E x E% y )dxdy + ∫ ( * z+ * z+a22a22a22a22a22 ∂x ∂xΩ a22 ∂y ∂y1 ∂E% ∂E y1 ∂E% y ∂E x1 ∂E% ∂E x1 ∂E% y ∂E ya * ∂E%a * ∂E%+ *− * x− *+ * x− ik 21* z E x + ik 21* z E y +a22 ∂x ∂x a22 ∂y ∂x a22 ∂x ∂y a22 ∂y ∂ya22 ∂ya22 ∂xa * ∂E%a * ∂E% ya ∂E z %a ∂E z %a ∂E y %a ∂E x %+ik 21* x E z − ik 21*Ez −Ez + ik 12E x − ik 12E y + ik 12E z − ik 12a22 ∂ya22 ∂xa22 ∂xa22 ∂ya22 ∂ya22 ∂x∫γ2−k 2(1(15)∆∆∆E x E% x − k 2E y E% y − k 2E z E% z )dxdy = 0.a22a22a22Задача (15) – это нелинейная задача на собственные значения.Одним из наиболее эффективных методов борьбы с нефизическими решениями,возникающими при расчёте волноведущих систем методом лагранжевых конечныхэлементов, является использование в методе конечных элементов смешанных конечныхэлементов.

Поэтому матрицы A, B и C будем формировать, используя метод смешанныхконечных элементов. Для этого разложим поля по базисным функциямE x = ∑ Eijx N j ( y ) pi ,i +1 ( x ),(16)E y = ∑ Eijy N i ( x ) p j , j +1 ( y ),(17)E z = ∑ Eijz N i ( x ) N j ( y ),(18)ijijij ξ k +1 − ξ ∆ξ , ξ ∈ (ξ k , ξ k +1 )1, ξ ∈ (ξ k , ξ k +1 )где N k (ξ ) = ; pk , k +1 (ξ ) = ; k=i, j, а ξ = x, y .ξ−ξ0,ξ∉(ξ,ξ)k−1kk+1,ξ ∈ (ξ k −1 ,ξ k ) ∆ξПосле подстановки разложений (16)-(18) в (15) и вычисления интегралов перекрытия,получим нелинейную задачу на собственные значения видаγ 2 AX + γ BX + CX = 0 ,(19)где X = {E 1x E x2 ... E 1y ... E1z ...} , T – знак транспонирования, E ki – значение компоненты поляTk в узле i, k = (x, y, z). Сведём задачу к линейной, введя дополнительный неизвестныйсобственный вектор Y = γX:0 −1 −A C XX ⋅   = γ  .− A B  Y Y 1−114(20)В такой постановке задачи перед членом γ 2 отсутствует компонента E z , таким образом,1, тогда матрицы C иγматрица A получается вырожденной.

Сделаем замену переменных λ =A поменяются местами, а матрица C, как следует из постановки задачи, невырожденная.Граничные условия учтём явно.Для заполнения комплексных матриц A, B и C и нахождения собственных значений γ былразработан и реализован алгоритм на языке FORTRAN. В качестве тестовой задачипроводилисьрасчёты для нахождения постоянной распространения первой модыдиэлектрического волновода ( a11 = a22 = (1., 0.); a12 = a21 = (0., 0.) ) для различных значенийволновых чисел. Результаты сравнивались с аналитическим решением. Известно, чтособственные функции, определяющие поле волны TE ( E z = 0 ) в прямоугольном волноводе,π 2m 2 π 2n 2 πm  πn имеют вид Amn cos x  cos y  , а собственные значения – α mn =+ 2 . Oдноa2b a  b из двух чисел m и n может быть равно 0.

Волна типа TE10 является основной волнойпрямоугольного волновода (имеет наибольшую критическую длину волны).Впрограммерассчитывалисьзначенияпостояннойраспространения m2 n2 β = k 2 − π 2  2 + 2  (γ = i β ) . Расчёты выполнялись для 16 элементов. На рис. 4 видно,b aчто даже для выбранного числа элементов достигается хорошая точность.24Волновое число, k2016128АналитическиезначенияЧисленные значения403Рис.4.Дисперсионная579111315Постоянная распространения, βдиаграммадлядиэлектрического волновода15основной1719модыTE10прямоугольногоТочность предложенного алгоритма исследовалась методом сгущения сетки.

Былообнаружено, что при сгущении сетки в 2 раза ошибка уменьшается на 40%.Была произведена серия расчётов для нахождения постоянных распространениякирального прямоугольного волновода. На рис. 5 представлена дисперсионная кривая,построенная для прямоугольного волновода с киральным заполнением, в котором параметрВолновое число, kкиральности χ = 0.001.Постоянная распространения, βРис. 5. Дисперсионная диаграмма прямоугольного волновода с киральным заполнением.a11=a22=(1.,0.), a12=a21*=(0.001,0.). Пунктирная кривая соответствует TM11 моде внекиральном случаеВ прямоугольном однородно-заполненном диэлектрическом волноводе TM- и TE-моды содинаковыми индексами обладают тождественными дисперсионными характеристиками.

Вкиральном волноводе все волны являются гибридными и обладают различнымидисперсионными характеристиками. На рисунке видно, что волна, которая соответствуетобеим TM11 и TE11 модам в некиральном случае, образует дуплет в киральном случае,состоящий из двух ветвей с различными постоянными распространения и одинаковымичастотами отсечки.Результаты исследования зависимости постоянной распространения от параметракиральности при различных значениях волновых чисел k приведены на рис. 6. Из рисункаследует, что зависимость значения постоянной распространения от параметра киральностиблизка к линейной.16βПостоянная распространения,12k = 3.5k =5k = 6.5108642000.20.40.60.81Параметр киральности, χРис.

6. График зависимости значения постоянной распространения прямоугольноговолновода от значения параметра киральности для моды m = 1, n = 0 (a11 = (2.,0.), a22 =(1.,0.))Рассмотрено также влияние геометрических параметров волновода на значениепостоянной распространения первой невырожденной моды. В таблице представленырезультаты расчёта для параметра киральности 0.001 и волнового числа 10. Сторона b быларавна 100 во всех расчётах.

Отметим незначительное влияние размера стороны волновода назначение постоянной распространения.Аналогичный результат по стабилизации значения постоянной распространения былполучен методом Галёркина В.П. Моденовым, А.В. Ромашиным и И.В. Цветковым2.2В.П.

Моденов, А.В. Ромашин, И.В. Цветков. Расчёт цилиндрических волноводов, заполненных киральнойсредой // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2002. – Т.5. – №2. – C. 56–58.17ТаблицаЗависимость постоянной распространения отдлины стороны прямоугольного волноводаNaβ119.92109.831009.942009.953009.9640010.0Таким образом, на основе полученных результатов можно сделать вывод, что методсмешанныхконечныхэлементовможетэффективноприменятьсядлярасчётапрямоугольного волновода с киральным заполнением. Показано, что даже для небольшогочисла конечных элементов достигается хорошая точность. С помощью данного методаудаётся выявить основные характерные особенности киральных волноводов.В третьей главе представлен алгоритм решения обратной задачи проектированияпрямоугольного кирального волновода с максимальным разнесением первых двух мод.Рассмотренные в первой и второй главах методы математического моделированияволноведущихсистемс киральнымзаполнениемпозволяютсделать вывод,чтосуществующих методов вполне достаточно, чтобы быстро и с высокой гарантированнойточностью получать характеристики киральных волноводов.

Однако практически болееважными являются обратные задачи синтеза киральных волноведущих систем. Задачисинтеза составляют специальный класс обратных задач математической физики. Ониставятся как задачи математического проектирования: определение некоторых величин,характеризующих свойства синтезируемого объекта, от которых зависят его требуемыеэксплуатационные характеристики.

Решение задачи синтеза понимают как возможностьопределения таких параметров среды, для которых соответствующая характеристикасинтезируемого объекта аппроксимирует заданную характеристику с некоторой заданнойточностью. К ним относятся: задача нахождения значения параметра киральности, прикотором отражение от киральной вставки будет минимальным; проектирование киральных18волноводов, обладающих большой полосой частот одномодового режима; задачи синтезаплоского волноводного перехода между двумя волноводами с киральным заполнением идругие.

В третьей главе рассматриваются вопросы создания эффективных алгоритмоврешения обратных задач на основе уже разработанных методов решения прямых.В первом разделе ставится задача проектирования прямоугольного кирального волновода,обладающего большой полосой частот одномодового режима: по заданным значениям частототсечки первой и второй мод прямоугольного кирального волновода нужно определитьзначение диэлектрической проницаемости и параметра киральности, при которых первые двемоды будут максимально разнесены. Данная задача важна при проектировании волоконнооптических линий связи с частотным уплотнением каналов информации.Наиболее полный и универсальный подход к решению задач синтеза волноведущихсистем заключается в рассмотрении таких задач, как математически некорректных сиспользованием для их решения метода регуляризации А.Н.

Тихонова3. Этот подход былвпервые предложен в работах А.Г. Свешникова и А.С. Ильинского 4.Вариационная постановка задачи синтеза киральных волноводов, обладающих большойполосой частот одномодового режима, формулируется следующим образом: необходимоопределить значение параметра диэлектрической проницаемости ε и параметра киральностиχ из условия минимума на Q функционала ТихоноваM α [ε , χ ] =1+ αΩ [ε , χ ] ,ω cutoff 1 − ω cutoff 2(21)где Q – множество, с помощью которого накладываются ограничения на синтезируемыепараметры, Ω [ε , χ ] – стабилизатор Тихонова, α – параметр регуляризации, ω cutoff 1 – частотаотсечки первой моды, ω cutoff 2 – частота отсечки второй моды.Требования физической реализуемости для задач проектирования киральных волноводов,обладающих большой полосой частот одномодового режима, состоят в условииположительностидиэлектрическойпроницаемости0 < ε min ≤ ε ≤ ε maxипараметракиральности 0 < χ ≤ χ max . Здесь учитываются также некоторые требования конструктивнойреализуемости решения: значение диэлектрической проницаемости и параметра киральностине может превышать некоторого технологически определённого порога.

В данной работеε min = 1 , ε max = 100 и χ max = 100 .3А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука. – 1986. – 286 с.А.Г. Свешников, А.С. Ильинский. Задачи проектирования в электродинамике // ДАН СССР. – 1972. – Т. 204. –№5. – С. 1077–1080.419Общая схема решения задачи математического проектирования прямоугольногокирального волновода, обладающего большой полосой частот одномодового режима,включает минимизацию функционала (21) в ограниченных областях. В диссертации для этойцели применяется метод скользящего допуска. Данный метод позволяет искать минимумфункции при наличии ограничений на область как в виде неравенств, так и в виде равенств.Метод скользящего допуска основан на методе Нелдера и Мида, который в свою очередьявляется модификацией метода деформируемого многогранника (Нелдер и Мид ввели в этотметод возможность ускорения поиска путём растягивания или сжатия многогранника).

Характеристики

Список файлов диссертации