Математическое моделирование волноводных переходов (1103707), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Используя параболическое приближение,волноведущей системы. Матрица полученной СЛАУ является ленточной, чтоможно получить следующую задачу:позволяет построить экономичный алгоритм ее решения.()Q1Yz + 1 + ( ln η )ϕ Yρρ +12( ln η )ϕ Yρϕ + Q2 Yρ + Q3 Yϕ + Q4 Y = 0,(1)Et ( P ) = 0, P ∈ Σ,(2)Начальные условия: Y z = 0 = Y0 − заданная вектор-функция,(3)2ρ2Yϕϕ −ρгде Y = ( H x , H y , Ex , E y ) , Σ — боковая поверхность, Qi (i=1…4) — матрицыTразмерности 4×4, Et — касательная компонента вектора напряженностиэлектрического поля. В качестве начальных условий выбирается модавходного волновода. На функции ε и η накладывается условие гладкостивторого порядка.Во втором параграфе рассматривается постановка разностной задачи.В третьем параграфе ставится задача синтеза волноводного перехода.Рассматривается синтез волноводного перехода между двумя круглымисоосными металлодиэлектрическими волноводами с однородным различнымзаполнением.
Строится переход с круглыми поперечными сечениями соднородным по сечению заполнением, обеспечивающий заданное отношениеамплитуд составляющей поля Hx в выходном и входном сечениях. Для этогонеобходимо определить две функции: η(z) и ε(z), которые ищутся в формекубического сплайна, состоящего из трех отрезков. Функция η(z) описываетгеометрию волноводного перехода, а функция ε(z) — его заполнение.Использовался следующий сглаживающий функционал:⎛A [q] ⎞f [ q ] = ⎜ T0 − 2⎟ + α Ω [q],A1 ⎠⎝2Вводится разностная сеткаα(5)где A1 — амплитуда поля Hx во входном сечении, A2 — амплитуда поля навыходе волноводного перехода, T0 — требуемое значение отношенияамплитуды поля в выходном сечении перехода к амплитуде поля на входеперехода, q — набор синтезируемых параметров оптимизации, α — параметр910регуляризации, Ω — стабилизирующий функционал.
В качестве набора∆u + k 2 u = 0, P ∈ D,параметров q использовались координаты сшивки отрезков сплайнов: по два∂ur = 0, P ∈ ∂D \ ( S1 U S2 U S B ) ,∂nu = 0, P ∈ S B ,(8)u P∈S = u0 ( x, y, z ) + ∑ Rn exp −iγ n z ϕn(9)на функции η(z) и ε(z). В качестве параметра регуляризации использовалосьего квазиоптимальное значение.1алгоритма оценивалась при решении модельных задач. Кроме того, проведенрасчет нескольких вариантов волноводных переходов: с круглого волновода(1)nu P∈Sпрямой и обратной задач расчета волноводного перехода.
Точность(7)() ( x, y ),= ∑ T exp ( iγ ( ) z ) ϕ ( ) ( x, y ),(1)В четвертом параграфе описана организация программы решения(6)22n2nn(10)nгде S1 — входное сечение, S2 — выходное сечение, S B — поверхности,на круглый и с круглого на овальный. В этом параграфе приведены такжеимеющие отличную от нуля z-компоненту вектора нормали, γ n(1,2 ) —результаты решения задач синтеза.постоянные распространения мод прямоугольного и планарного волноводов,ϕ n(1,2) — функции сечения входного и выходного волноводов, u0 — падающееполе, Rn — амплитуды отраженных мод, Tn — амплитуды мод, возбужденныхввыходномволноводе.Соотношения (9)-(10)представляютсобойпарциальные условия излучения. Компоненты электромагнитного поля могутбыть получены по формулам:rrrrωE = i µ rot Π m , H = rot rot Π m ,c(11)rгде Π m = {0, 0, u} , ω — циклическая частота, c — скорость света, µ —магнитная восприимчивость.Во втором параграфе строится алгоритм решения прямой задачи расчетаволноводного перехода, т.е.
задачи (6)-(10). Для ее решения применяетсяРис. 2. Геометрия перехода между прямоугольным и планарнымволноводами: 1 — входное сечение, 2 — ребро, 3 — выходное сечение.метод конечных элементов. Сначала строится алгоритм разбиения области натетраэдры. Затем строятся конечные элементы первого порядка. Применениеметода конечных элементов производится по схеме описанной в первойТретьяглавапосвященарешениюзадачиматематическогопроектирования волноводного перехода между прямоугольным и планарнымволноводами изображенного на рис.
2. В первом параграфе описанагеометрия перехода и дается постановка задачи: рассматривается скалярнаязадача расчета z-компоненты магнитного вектора Герца:11главе. Во втором параграфе построен также алгоритм вычисления модпланарного волновода и приведены коэффициенты в итоговой системелинейных алгебраических уравнений. Матрица построенной СЛАУ являетсясильно разреженной, и для решения этой системы применялся методминимальной степени.12Особенную сложность вызывает разбиение области на тетраэдры, т.к.переход включает в себя согласующее ребро, которое в общем случае имеетпараметра α численно вычислялось выражениеα∂qα, и выбирался∂αпроизвольную форму. Разбиение области с помощью универсальных методовлокальный минимум этого выражения по α наиболее близкий к 0. Заметим,получается очень мелким, что приводит к системам уравнений оченьчто более точное вычисление параметра регуляризации сопряжено свысокого порядка.
Поэтому в данном случае был написан специальныйбольшими вычислительными затратами.алгоритм разбиения области на тетраэдры, учитывающий особенностигеометрии волноводного перехода.В третьем параграфе проводится исследование влияния различныхпараметров геометрии перехода на его характеристики. В данном случаеимеется возможность изменять следующие параметры: L, l (рис.
2) и профильсогласующего ребра. Было установлено, что параметры L и l практически невлияют на характеристики волноводного перехода, которые в основномРис. 3. Разветвление двухмерного волновода.определяются формой профиля ребра. В соответствии с этими результатами,В шестом параграфе проводится исследование точности методав четвертом параграфе ставится задача синтеза как поиск такого профиляконечных элементов при наличии входящих ребер в двумерном случае.ребра f pr , который обеспечивает заданный коэффициент отражения R0 уИсследование проводилось на примере разветвления двухмерного волноводарассматриваемого волноводного перехода:(рис.
3). При этом сравниваются аналитические результаты, приведенные в(f α ⎡⎣ f pr ⎤⎦ = R ⎡⎣ f pr ⎤⎦ − R0)2+ α Ω ⎡⎣ f pr ⎤⎦ ,(12)работе Р. Миттры и С. Ли, результаты, полученные с помощью методаконечных элементов, и результаты, полученные с помощью метода конечныхгде R — коэффициент отражения по энергии. При этом профиль ребраэлементов при специальном учете условий на ребре. Математическаяищется в классе кусочно-линейных функций состоящих из трех отрезков, чтопостановкадает 4 параметра оптимизации q — координаты точек излома, которые иэлектрического поля Ey выглядит следующим образом:задачитребуется синтезировать.
В сглаживающем функционале (12) использовалосьфункционала в заданном классе решений и для данного параметраВпятомEyP∈Sa=Eпараграфеприводятсярезультатырешениязадачиоптимизации. При этом выбор квазиоптимального значения параметраEy0y( x, z ) + ∑ Rn exp ( −iγ n(1)nP∈Sbz ϕn( )= ∑ T ( ) exp ( iγ ( ) z ) ϕ ( ) ( x ),( x ),(15)(16)nn3nnрегуляризации осуществлялся следующим образом: для различных значений13)(14)(1)= ∑ Tn( 2) exp iγ n( 2) z ϕ n( 2) ( x ),3P∈Scнапряженности(13)E y = 0, P ∈ ∂Ω \ ( S a U Sb U Sc ) ,Eyрегуляризации.y-компоненты∆E y + k 2 E y = 0, P ∈ Ω,квазиоптимальное значение параметра регуляризации α. Решением задачисинтеза является профиль ребра, обеспечивающий минимум сглаживающегоотносительно143n(17)где Sa — входное сечение, Sb и Sc — выходные сечения двух волноводов,(1,2,3)n―Разработан и реализован алгоритм решения прямой задачи расчета— постоянные распространения мод соответствующих волноводов,волноводногоϕn(1,2,3) — функции сечения входного и выходных волноводов, E y0 — поле,волноводами.γ―2,3падающее из входного волновода, Rn — амплитуды отраженных мод, Tn( ) —амплитуды мод, возбужденных в выходных волноводах.
Было установлено,лишьнаоченьгрубойсеткезаметныразличия.ВсравнениимеждупрямоугольнымипланарнымПоставлена и решена обратная задача синтеза волноводногоперехода между прямоугольным и планарным волноводами.―Исследована точность метода конечных элементов при расчетеволноведущих систем имеющих входящие ребра.что модули амплитуд коэффициентов отражения и пропускания в случаях,учитывающих условия на ребре и не учитывающих, практически совпадают иперехода―Проведено распараллеливание алгоритма минимизации по методускользящего допуска.саналитическими результатами модули амплитуд этих коэффициентов нанизкой частоте хорошо совпадают, а с ростом частоты начинаетсяпостепенное расхождение.
Наибольший эффект учет условий на ребре приОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИприменении метода конечных элементов дает для аппроксимации фазыкоэффициентовотраженияипропусканиямодволноводов.1.Буткарев И.А. Синтез трехмерного волноводного перехода //ФазаМеждународная конференция студентов и аспирантов по фундаментальнымкоэффициентов вычисленных с учетом условий на ребре заметно ближе кнаукам «Ломоносов-2001». Секция «Физика».
Сборник тезисов. М.: Физич. ф-аналитическим результатам, чем в случае, не учитывающем эти условия.т МГУ. 2001. С. 70-71.В заключении даются основные результаты работы.2.перехода // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002. № 2. С. 3-5.ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ―Разработанаобщаясхема3.решениязадачиматематическогопроектирования волноводных переходов с использованием метода―Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. Применение метода конечныхэлементов к исследованию волноводного перехода // Вестн. Моск.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
