Методы экстраполяции нерегулярных временных рядов (1103521), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е. прогноз на любое количество шаговаппроксимируется значением прогноза на один шаг вперед. В то же время при9прямом способе построения прогноза нулевого порядка сразу получаетсяаппроксимация первого порядка, а при равномерном распределении соседейвокруг стартового вектора – второго порядка. Таким образом, прииспользовании прямого способа нулевого порядка прогноз тем точнее, чемближе и равномернее относительно стартового вектора распределены соседи,тогда как итеративный способ подобен стоящим часам, которые иногдапоказывают точное время.Для выбора оптимального способа прогнозирования на несколько шаговвперед были исследованы асимптотические свойства прогноза при итеративноми прямом способах прогноза.
Установлено, что при ϒ → ∞ прямой способ даетболее приемлемые результаты, чем итеративный.С той же целью была выполнена оценка ошибки прогноза, связанной сконечной точностью вычислений. Оказалось, что при итеративном способеэкстраполяции ошибка не меньше, а, как правило, больше, чем при прямом.Основным результатом проведенного сравнения стало установление факта,что наиболее универсальным методом при прогнозировании достаточнодлинных стационарных нерегулярных временных рядов является прямойвариант LA нулевого порядка.
С одной стороны, он может обеспечиватьпрогнозирование с величиной ошибки, убывающей пропорционально среднемуквадрату отклонений соседей от стартового вектора. С другой стороны, расчетпо этому методу является самым простым из всех рассмотренных. В случаеограниченного набора данных или их неравномерного распределения вокругстартового вектора можно воспользоваться прямым вариантом LA первогопорядка.Представленные в третьей главе результаты численного сравненияподтвердили основные выводы, сделанные при анализе аналитическогорешения: из рассмотренных примеров следует, что для рядов, ограниченных поколичеству исходных данных, в каждом случае лучшим оказался первыйпорядок аппроксимации.При использовании различных способов прогноза худшие результатыполучаются при итеративном способе.
Итеративный способ с пересчетом дает всреднем результаты, сопоставимые по точности с прямым вариантом, однакореально он может применяться только в нулевом порядке, поскольку прииспользовании его старших порядков за счет погрешностей численныхрасчетов возможно появление неконтролируемых ошибок прогноза,значительно превосходящих среднее значение ряда.10В четвертой главе представлены результаты, полученные прииспользовании методов сингулярного спектрального анализа и локальнойаппроксимации в обработке реальных временных рядов. Там также предложенспособ подавления шума в обрабатываемом ряде и критерий автоматическоговыбора параметров локальной аппроксимации.Вкачествеобъектаисследованийиспользоваласьреальнаяпоследовательность чисел Вольфа, характеризующих солнечную активность.Интерес к исследованию солнечной активности связан, кроме прочего, сзаметной корреляцией пиков активности Солнца с проявлениями общественнойактивности.
Достаточно отметить, что последние три максимума активностиСолнца пришлись на 1979-1980, 1989 и 2000 годы. При этом даже весьмаподробные модели не позволяют точно спрогнозировать момент и величинуочередного пика активности Солнца.Несмотря на сравнительно небольшую длину последовательности чиселВольфа метод SSA позволил выявить ее компоненты, отвечающие ужеизвестным солнечным циклам. В то же время SSA не позволяет точно оценитьмоменты наступления пиков активности (появления максимальных чиселВольфа), хотя и дает при этом весьма точную оценку их величины.
В целомможно сказать, что описанный метод SSA представляется достаточноэффективным и весьма перспективным методом предсказания динамикимагнитной активности Солнца.В случае сильно зашумленных временных рядов (к ним относятся почтивсе ряды внелабораторного происхождения) даже увеличение числанаблюдений не позволяет эффективно применять алгоритм LA, так как в этомслучае высока вероятность появления большого количества ложных соседей иотсев соседей истинных.Для целей обработки зашумленных временных рядов в работе предложеносоединить оба рассмотренных метода (SSA и LA) в один, в котором SSAиспользовался бы только для фильтрации исходного временного ряда(подавления шума), а сам прогноз строится по методу LA.Получившийся метод (SSA-LA) можно рассматривать как расширениеметода LA, позволяющее применять его к сильно зашумленным временнымрядам.
В рамках этого метода для построения прогноза с учетомпредшествующего анализа предложен прямой вариант LA первого порядка иSSA с центрированием.Иллюстрация результатов применения этого метода при разных уровняхшума представлена на рис. 2. Исходя из этих результатов, можно ожидать, что11предварительная SSA-фильтрация позволяет значительно повысить точность иустойчивость прогноза, получаемого методом LA. Причем такой результат независит от уровня шума, длины прогноза и системы, породившей исследуемыйвременной ряд.IVa0.8IVb0.6E0.4IIIaIIIbIIa0.2IIb0.002040Ib Ia6080100ΤРис. 2. Ошибка прогноза методами LA (a) и SSA-LA (b) дляуравнения Маккея-Гласса в зависимости от интервалапрогнозирования в отсутствие шума (I) и при амплитудах шума1.5% (II), 5% (III), 20% (IV).
Медианное усреднение по 500стартовым точкам.Основная техническая проблема, возникающая при прогнозированииреальных временных рядов методом LA (равно как и SSA) связана с выборомразмерности вложения p и количества соседей. Для оптимизации выбора этихпараметров в работе предложен критерий минимизации ошибок автопрогнозовсоседей:Ξσ2 =u∑ ( xˆn =1sn +ϒ− xsn +ϒ)Ξ− p2→ min .p, ΞЗдесь для каждого значения размерности вложения из заданного интервала икаждого числа соседей из своего интервала оцениваются коэффициенты â ,задающие переход на ϒ шагов вперед.
Затем по этим коэффициентамрассчитываются«будущие»значениясоседей:()xˆsn +ϒ = xˆL+ϒ + xTsn − xTL aˆ .Окончательно выбирается тот набор соседей и размерность вложения, при2которых достигается минимум величины σ u .Применение предложенного критерия позволят определять параметрыаппроксимации без эмпирического исследования различных вариантов12прогноза, поэтому такой способ определения параметров может быть легкореализован программно и использоваться без необходимости визуальногоконтроля, т.е. практически в автоматическом режиме.Использование рассматриваемого критерия имеет еще два полезныхприложения: возможность определения максимальной длины прогноза ивозможность оценки числа соседей. При этом анализ найденных соседей можетиспользоваться для выяснения характерного периода (если он есть)рассматриваемого временного ряда.
Для этого достаточно проанализироватьрасстояния во времени между соседями.Возможности алгоритма автоматического выбора параметров в методелокальной аппроксимации (автоLA) проиллюстрированы на тестовом иреальном примерах.Результаты прогноза солнечной активности методами автоLA и SSAпредставлены на рис. 3. Черными кружками показаны реальные значения чиселВольфа до середины 2004 года.
Прогноз построен по данным до 1989 года.Остальные значения использовались для проверки качества прогноза. Светлойлинией на графике показан прогноз методом автоLA. Критерий определениямаксимальной длины прогноза показал, что дальше 1998 года прогноз автоLAне обоснован. Поэтому дальнейшие результаты, представленные лишь длясравнения с SSA, показаны штриховой линией. Сравнивая прогнозы LA и SSAможно отметить, что SSA точнее выделяет периодические составляющие и даетболее точный долгосрочный прогноз для достаточно регулярных рядов (ккоторым относится и ряд чисел Вольфа), тогда как LA более эффективен длякраткосрочных прогнозов.Original dataSSA (M=135, r=11)autoLA1 (p=6 auto(24), Ξ=18 auto(300))200.0180.0Числа Вольфа160.0140.0120.0100.080.060.040.020.00.0199019952000ГодРис.
3. Прогноз солнечной активности.1320052010ЗаключениеМетоды и подходы, выдвинутые в рамках теории динамических систем,уже дано вышли за пределы самой дисциплины. Одним из важных направленийпрактического приложения теории динамических систем стали разработанные вее рамках модели анализа временных рядов.Основные результаты работы, которые выносятся на защиту.1. Аналитически и на реальных данных изучены возможности и ограниченияметодов сингулярного спектрального анализа и локальной аппроксимации.2.
Разработанаобщаяматематическаямодельметодалокальнойаппроксимации, на основе которой удалось выяснить существенныеособенности получаемого решения задачи прогноза и предложить способвыбора варианта метода с учетом условий конкретной задачи и объемаимеющихся данных.3. Предложен способ предварительной фильтрации зашумленных временныхрядов, позволяющий существенно повысить надежность прогноза.4. Обоснован алгоритм автоматического выбора параметров локальнойаппроксимации, который обеспечивает возможность использования методалокальной аппроксимации в составе программного комплекса. Алгоритмпозволяет отказаться от визуального контроля при выборе параметровметода.5. На основе построенных моделей и алгоритмов разработан программныйкомплекс для анализа и прогнозирования временных рядов, реализующий, втом числе полностью автоматизированный режим обработки с контролемобоснованности прогноза.Приведенные результаты позволяют снять основное ограничение,сдерживающее распространение метода локальной аппроксимации висследованиях реальных временных рядов, связанное с необходимостьюфактически интуитивного выбора параметров и варианта метода для условийрешаемой задачи.
Это в свою очередь может способствовать значительномурасширению сферы применения метода локальной аппроксимации.Автор выражает искреннюю и глубокую признательность коллегам идрузьям за помощь при подготовке диссертации.14Публикации1. Лоскутов А.Ю., Истомин И.А., Котляров О.Л., Кузанян К.М. Исследованиезакономерностей магнитной активности Солнца методом сингулярногоспектрального анализа // Письма в Астрономический журнал. — 2001. №11.— Т. 27. — С.867-876.2. Loskutov A., Istomin I.A., Kuzanyan K.M.
and Kotlyarov O.L. Testing andforecasting the time series of the solar activity by singular spectrum analysisи //Nonlin. Phenomena in Complex Syst. — 2001. — Vol. 4, №1. — P.47-57.3. Лоскутов А.Ю., Котляров О.Л., Истомин И.А., Журавлев Д.И. Проблемы иметоды нелинейной динамики. III. Локальные методы прогнозированиявременных рядов // Вестн. Моск. ун-та. Физ.-Астрон. — 2002, № 2.
— C.3-21.4. Лоскутов А.Ю., Котляров О.Л. Нелинейная динамика и анализ временныхрядов // Проблемы анализа риска. — 2004, № 2. — Т. 1. — С.160-177.5. Истомин И.А., Котляров О.Л., Лоскутов А.Ю. К проблеме обработкилокальнойвременныхрядов:расширениевозможностейметодааппроксимации посредством сингулярного спектрального анализа //Теоретическая и математическая физика — 2005, № 1.
— Т. 142 — С.148-159.6. Лоскутов А.Ю., Котляров О.Л., Журавлев Д.И. Временные ряды: анализ ипрогноз // Сб. научных трудов 11-й Международной конф. «Математика,компьютер, образование» — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная ихаотическая динамика», 2004. —Т. 1. — С.9-46.7. Loskutov A., Istomin I.A., Kuzanyan K.M. and Kotlyarov O.L. Testing andforecasting time-series of the Solar activity by singular spectrum analysis //http://xxx.lanl.gov/ps/nlin/0010027.8.
Loskutov A., Istomin I. and Kotlyarov O. Data analysis: generalizations of the localapproximationmethodbysingularspectrumanalysis//http://xxx.lanl.gov/abs/nlin.cd/0109022.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
