Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли (1103515), страница 8
Текст из файла (страница 8)
so(n) действуетнезависимо на каждой компоненте Rn .Пространство Rnk нам удобно будет представлять как k экземпляров пространства Rn . Если в Rnk фиксировать базис, то операторыρk (A) будут представлены блочно-диагональными кососимметрическими матрицами с k блоками размера n × n. При этом, если во всех экземплярах Rn фиксирован один и тот же базис, то все блоки, стоящиепо диагонали, будут одинаковыми.Фиксируем одинаковые базисы во всех экземплярах Rn . Тогда каждому элементу алгебры gnk можно сопоставить набор (M, v1 , . . .
, vk ),где M ∈ so(n) — кососимметрическая матрица n × n, а v1 , . . . , vn —векторы-столбцы, взятые по одному из каждого экземпляра Rn , приэтом ρ(M )vi = M vi .Двойственное пространство к алгебре (2.3) отождествляется с самойалгеброй посредством невырожденной формыh(M1 , v1 , . . .
, vk ), (M2 , u1 , . . . , uk )i = Tr M1 M2 + (v1 , u1 ) + · · · + (vk , uk ),где ( · , ·) — скалярное произведение в каждом из экземпляров Rn . Этопозволяет нам отождествить ρ∗ с ρ. А именно, пусть ũi ∈ (Rn )∗ — ковектор, двойственный вектору ui ∈ Rn , а матрица N ∈ so(n) и векторvi ∈ Rn — произвольные. Тогдаhρ∗ (N )ũi , vi i = −hũi , ρ(N )vi i = −hũi , N vi i =(2.4)= −(ui , N vi ) = (N ui , vi ) = h(N ũi ), vi i.Это значит, что оператор ρ∗ (N ) на Rn ∗ ∼= Rn представляется матрицей N .Глава 2.
Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.53Лемма 2.1. а) При k > n − 1 стационарная подалгебра регулярногоэлемента в смысле представления ρ∗k тривиальна; б) при k < n − 1эта подалгебра изоморфна so(n − k).Доказательство. Пусть ṽ = (ṽ1 , . . .
, ṽn ) ∈ V ∗ — произвольный ковектор. Условие ρ∗k (N )ṽ = 0 эквивалентно системе уравнений:ρ∗ (N )ṽ1 = ρ∗ (N )ṽ2 = · · · = ρ∗ (N )ṽk = 0,а с учетом отождествления (2.4) получаем, что стационарная подалгебра задается системойN v1 = N v2 = · · · = N vk = 0.(2.5)Рассмотрим орбиту произвольного элемента u = (u1 , . . . , uk ) придействии ортогональной группы SO(n) на пространстве Rnk , дифференциалом которого является представление ρk . Эта орбита состоит извекторов (Bu1 , .
. . , Buk ), где B ∈ SO(n), а значит при действии группы SO(n) сохраняются длины векторов Bui и углы между любыми=двумя. Таким образом, у орбиты есть k + k(k−1)2k(k+1)2инвариантов,а значит орбита регулярного элемента имеет размерность не более, чемnk −k(k+1)2 .Множество векторов {ρk (N )v ∈ Rnk | N ∈ so(n)} — это касательное пространство к орбите, следовательно dim{ρk (N )v ∈ Rnk | N ∈so(n)} 6 nk −k(k+1)2 .Поскольку для фиксированного u отображениеα(N ) = ρk (N )u — гомоморфизм, то dim Im α + dim Ker α = dim so(n).Но Im α — это и есть касательное пространство к орбите, а Ker α — этостационарная подалгебра элемента u. Поэтому для любого элементаdim St u >k(k + 1) (n − k)(n − k − 1)n(n − 1)− nk +=.222Глава 2.
Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.54Теперь покажем, что значение(n−k)(n−k−1)2для размерности стацио-нарной подалгебры достигается и найдем все v, для которых dim St v =(n−k)(n−k−1)2(они и будут регулярными). Заметим, что проекция prSt vзависит только от подпространства ∆, натянутого на векторы v1 , . . . , vk ,входящие в элемент v = (v1 , . .
. , vk ). Фиксируем произвольный элементv и выберем в Rn базис e1 , . . . , en так, чтобы ∆ = he1 , . . . , ek0 i. ТогдаSt v однозначно определяется системойN e1 = N e2 = · · · = N ek0 = 0,где k 0 = dim ∆.(2.6)В силу первого уравнения системы (2.6) оказывается нулевым первыйстолбец (а значит и первая строка) матрицы N . В силу второго уравнения — вторые строка и столбец. И так далее.
В результате, любаяматрица N удовлетворяющая системе (2.6), в описанном базисе имеетвид0000. . . 0 0 . . . 0. . . 0 0 . . . 0... 0A ... 0(2.7)здесь первые k 0 строк и столбцов — нулевые, а матрица A — произвольная кососимметрическая. Множество матриц вида (2.7) образуетподалгебру изоморфную so(n−k 0 ) (а значит размерности(n−k 0 )(n−k 0 −1)).2Наименьшее значение этого выражения достигается, когда dim ∆ = k,т.е.
когда векторы v1 , . . . , vk линейно независимы.Таким образом, элемент v — регулярный тогда и только тогда, когда v1 , . . . , vk линейно независимы и стационарная подалгебра любогорегулярного элемента изоморфна so(n − k).Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.55Докажем теперь пункт а) леммы. Пусть k > n. Фиксируем векторv = (v1 , . . . , vk ). Пусть m — максимальное количество линейно независимых векторов в наборе {v1 , .
. . , vk }. Найдем размерность орбиты vпри действии so(n). Образ вектора v полностью определяется образамиm линейно независимых векторов из набора {v1 , . . . , vk }. Однако, какбыло показано выше, множество образов этих m векторов имеет размерность nm− m(m−1). Следовательно и размерность орбиты вектора v2равна nm −m(m−1).2Максимум значения функции y(m) =−m2 +2nm−m2достигается при m = n. В итоге получаем, что орбита регулярногоэлементаn(n−1)2 -мерная,а стационарная подалгебра тривиальная. Чтои требовалось доказать.Из леммы 2.1 и формулы (2.2) следует, что если k > n−1, то линейные функции на V ∗ уже будут образовывать полный инволютивныйнабор.
Пусть теперь k < n − 1. Тогда стационарная подалгебра регулярного элемента изоморфна so(n − k), а значит полупроста. Следовательно, для построения полного инволютивного набора полиномов,согласно методу Тена, остается написать явную формулу для проекциина стационарную подалгебру, которая задается системой 2.5.Пользуясь формулой (2.2), мы можем также посчитать, что необходимое количество полиномов равно1(dim so(n − k) + ind so(n − k)) =2µ·¸¶n−k1 (n − k)(n − k − 1)+.= nk +222m = nk +Перейдем к написанию проекции prSt v M на стационарную подалгебру.
Рассмотрим ортогональный базис в пространстве, натянутом наГлава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.56векторы v1 , . . . , vk , построенный по правилу: пусть v1 , . . . , vk0 — линейно независимые векторы из пространства hv1 , . . . vk i (k 0 6 k), тогдабазис имеет видw 1 = v1 , w m = vm −m−1Xi=1(vm , wi )wi .(wi , wi )(2.8)Здесь m меняется от 2 до k 0 .Поскольку подпространства hv1 , .
. . , vk i и hw1 , . . . , wk0 i совпадают, аоператор ρ∗ (N ) должен обнулять всё пространство hv1 , . . . vk i, то система (2.5) эквивалентна системеN w1 = N w2 = · · · = N wk0 = 0.(2.9)Лемма 2.2. Ортогональная в смысле формы Киллинга проекция произвольной матрицы M на стационарную подалгебру вектора v имеетвид0kX¢1 ¡>>−w⊗(Mw)+Mw⊗wN = prSt (v1 ,...,vk0 ) M = M −iiii2|w|ii=10+0k XkX(M wi , wj )|wi |2 |wj |2i=1 j=1wj ⊗ wi> .(2.10)где векторы w1 , . .
. , wk0 заданы формулой (2.8).Доказательство. Для доказательства леммы нам необходимо проверить выполнение трех условий:1). Матрица N удовлетворяет системе (2.9),2). Кососимметричность матрицы N , т.е. что hN u, ui = 0 для любогоГлава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.57u ∈ Rn ,3).
Ортогональность проекции в смысле формы Киллинга.1) Выполнение системы (2.9) для матрицы (2.10) следует из явнойвыкладки:00kkXX11N wm = M wm −Mw(w,w)−w (M wi , wm )+iim22 i|w||w|iii=1i=10+0k XkX(M wi , wj )i=1 j=1|wi |2 |wj |2wj (wi , wm ) = M wm −01M wm (wm , wm )−|wm |20kkXX1(M wm , wj )−wi (M wi , wm ) +w (wm , wm ) =22 |w |2 j|w||w|imji=1j=10=−kX(M wi , wm )i=1|wi |20wi +kX(M wm , wj )j=1|wj |2wj = 0.2). Перейдем ко второму условию.
Матрица N состоит из трех слагаемых. Первое кососимметричное по определению. Докажем кососимметричность второго и третьего слагаемых. Пусть u ∈ Rn , тогда¡¢ ¡¢(M wi ⊗ wi> − wi ⊗ (M wi )> )u, u = (M wi (wi , u) − wi (M wi , u)), u =ÃÃ= (M wi , u)(wi , u) − (M wi , u)(wi , u) = 0;!!k0 Xk0k0 Xk0XX(M wi , wj )(M wi , wj )>w⊗wu,u=(wj , u)(wi , u) =ji2 |w |22 |w |2|w||w|ijiji=1 j=1i=1 j=1¶k0k0 µ1 X X (M wi , wj ) (M wj , wi )=+(wj , u)(wi , u) = 0.2 i=1 j=1 |wi |2 |wj |2|wi |2 |wj |23). И наконец, покажем, что проекция является ортогональной всмысле заданного скалярного произведения, т.е.
что Tr (N (M − N )) =0. Дополним векторы w1 , . . . , wk0 до ортогонального базиса w1 , . . . , wnГлава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.58в Rn . Тогда¢n ¡XN (M − N )wm , wmTr (N (M − N )) ==2|w|mm=1¢n ¡X(M − N )N wm , wm=.2|w|mm=1(2.11)Заметим, что первые k 0 слагаемых равны нулю, т.к. N wm = 0 приm 6 k 0 .
Далее, при m > k 000kkXX11+N wm = M wm −Mw(w,w)w (M wi , wm )+iim22 i| {z }|w||w|iii=1i=1=0k0 Xk0k0XX(M wi , wj )1+w(w,w)=Mw+w (M wi , wm );jimm2 |w |22 i| {z }|w||w|ijii=1 j=1i=1=0Ã0kX¢1 ¡>>−w⊗(Mw)−Mw⊗w(M − N )N wm =iiii2|w|ii=1!00k Xkk0XX¢¡(M wi , wj )1>−w⊗wMw+w(Mw,w)=mlmi2 |w |2 j2 l|w||w|ijli=1 j=1l=1k0´X1 ³=M wi (wi , M wm ) − wi (M wi , M wm ) −2|w|ii=10−0k XkX(M wl , wm ) ³wj (wi , M wm ) +M wi (wi , wl )−2 |w |2|wi |2 |wj |2|w|lii=10k XkX(M wi , wj )i=1 j=10l=1k Xk Xk´ X(M wi , wj )(M wl , wm )−wi (M wi , wl ) −wj (wi , wl ) =2 |w |2 |w |2|w|ijli=1 i=j000l=10=kX(wi , M wm )i=1|wi |20M wi −kX(M wi , M wm )i=1|wi |2wi −Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.590−0k XkX(M wi , wj )(wi , M wm )|wi |2 |wj |2i=1 j=10−0i=1 l=1wj +i=1kk XX(M wl , wm )(M wi , wl )|wl |2 |wi |20kX(M wi , wm )0wi −|wi |2M wi −0k XkX(M wi , wj )(M wi , wm )|wi |2 |wj |2i=1 j=1wj .Поэтому0kX(wi , M wm )((M − N )N wm , wm ) =−kX(M wi , M wm )|wi |2i=1(wi , wm ) −| {z }=00+kX(M wi , wm )|wi |2i=1i=1k0k XX00i=1 j=10(M wi , wm ) −−|wl |2 |wi |2|wi |2 |wj |20|wi |2(wi , wm ) −| {z }=00i=1 j=1i=10k XkX(M wl , wm )(M wi , wl )k XkX(M wi , wj )(M wi , wm )kX(wi , M wm )(M wi , wm )−(M wi , wj )(wi , M wm )(wj , wm ) +| {z }|wi |2 |wj |2=0i=1 l=10=|wi |2(wi , wm ) =| {z }=00(M wi , wm ) +kX(M wi , wm )i=1|wi |2(M wi , wm ) = 0.Отсюда немедленно следует, что каждое слагаемое в сумме (2.11)равно нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
