Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли (1103515), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова44Замечание 1. На самом деле аналогичные рассуждения справедливыи для редуктивной алгебры Φ, для этого надо рассматривать не самуалгебру Φ, а ее полупростую часть. При этом следы степеней алгебры Φ всё равно останутся инвариантами и их сдвиги будут даватьнужное количество полиномов.Определение 15.
Второй частью набора Садэтова назовем сдвигифункций Fi (ϕ) на сечение ϕ0 , рассматриваемые как функции на g∗ .Таким образом, мы только что доказали следующую теорему:Теорема B. Пусть вторая часть набора Тена получена сдвигом функций fk на вектор L, а вторая часть набора Садэтова — сдвигамифункций Fi на сечение ϕL = prSt v L. Тогда наборы Тена и Садэтоваэквивалентны.1.6.3Общий случай.Теперь посмотрим, как выглядит эта же конструкция в общем случае,т.е. когда F1 , . . . , Fk : Φ∗ → R(V ∗ ) — произвольные инварианты.Произвольный полиномиальный инвариант F := Fn выглядит следующим образом:F =XYijϕij =XYXijQijk Aijk .kПоэтому его можно рассматривать как функцию на g∗ :XYXXYF (M, v) =Qijk (v)hAijk , M i =hM, ϕij (v)i.ijk(1.27)i(1.28)jЛемма 1.13.
Дифференциал функции F , рассматриваемой как функция на g∗ , в произвольной точке (M, v) удовлетворяет соотношениюprh dF(M,v) ∈ St v.Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова45Доказательство. Действительно, посмотрим, как действует prh dF(M,v)на произвольный элемент L ∈ h∗ :F (M + εL) − F (M )=hprh dF(M,v) , Li = limε→0εQQhϕij (v), M + εLi − hϕij (v), M iXjj=lim=ε→0εi=Xi¢ QQ¡hϕij (v), M i + εhϕij (v), Li − hϕij (v), M ilimjjε→0=XXihϕij0 (v), Lij0Откудаprh dF(M,v) =εY=hϕij (v), M i.j6=j0Xi,j0ϕij0 (v)YhM, ϕij (v)i.(1.29)j6=j0Поскольку ϕij0 (v) ∈ St v, а hM, ϕij (v)i — действительные числа, тоprh dF(M,v) ∈ St v для любого v ∈ V ∗ .
Что и требовалось доказать.Итак, мы показали, что функцию F : Φ∗ → R(V ∗ ) можно трактовать как функцию F : g∗ → R. Более того, рассматривая лемму 1.13совместно с леммой 1.6, заключаем, что для фиксированного v функцию F : g∗ → R можно ограничить на (St v)∗ и получить F̂ : (St v)∗ →R. При этом будет справедливо соотношениеdF̂M 0 = prh dF(π(M 0 ),v) .(1.30)Лемма 1.14. Функция F̂ является инвариантом коприсоединенногопредставления алгебры (St v)∗ .Прежде чем доказывать эту лемму, посмотрим, что дает нам дляфункции F : g∗ → R тот факт, что F : Φ∗ → R(V ∗ ) — инвариант алгебры Φ.Глава 1.
Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова46Для начала условимся обозначать элементы Φ∗ через ϕ̌ и ψ̌. Каждому элементу ϕ̌ ∈ Φ∗ мы можем сопоставить элемент ϕ̌(v) ∈ (St v)∗по правилу hϕ̌(v), ϕ(v)i = hϕ̌, ϕi(v), где hϕ̌, ϕi ∈ R(V ∗ ).Теперь, поскольку F — инвариант алгебры Φ, для него верно со£¤отношение: hϕ̌, ϕ, dFϕ̌ i = 0 для любых ϕ̌ ∈ Φ∗ и ϕ ∈ Φ. Но леваячасть этого соотношения — рациональная функция из R(V ∗ ). Поэто£¤му hϕ̌, ϕ, dFϕ̌ i(v) = 0 для любого v ∈ V ∗ .Преобразовав это соотношение, получим, что£¤£¤hϕ̌, ϕ, dFϕ̌ i(v) = hϕ̌(v), ϕ(v), dFϕ̌ (v) i = 0 ∀v ∈ V ∗ .(1.31)Лемма 1.15.
Справедливо соотношениеdFϕ̌ (v) = prh dF(π(ϕ̌(v)),v) ,(1.32)где проекция π задана формулой (1.6). Здесь слева функция F рассматривается как функция на Φ∗ , а справа — как функция на g∗ .Доказательство. Из представления (1.27) для функции F заключаем,¢P Q¡что F (ϕ̌ + εψ̌) =hϕij , ϕ̌i + εhϕij , ψ̌i . ПоэтомуijF (ϕ̌ + εψ̌) − F (ϕ̌)=hdFϕ̌ , ψ̌i = limε→0ε¡¢QQhϕij , ϕ̌i + εhϕij , ψ̌i − hϕij , ϕ̌iXXYjj=lim=hϕij0 , ψ̌ihϕij , ϕ̌i ⇒ε→0εii,j0j6=j0XYdFϕ̌ =ϕij0hϕij , ϕ̌i.i,j0j6=j0Откуда немедленно следует, чтоdFϕ̌ (v) =Xi,j0ϕij0 (v)Yj6=j0hϕ̌(v), ϕij (v)i.(1.33)Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова47Сравнивая (1.33) с формулой (1.29), получаем, что dFϕ̌ (v) = prh dF(π(ϕ̌(v)),v) .Лемма доказана.Подставим в соотношение (1.31) равенство (1.32), получим£¤hϕ̌(v), ϕ(v), prh dF(π(ϕ̌(v)),v) i = 0.(1.34)£Доказательство леммы 1.14.
Нам необходимо доказать, что hM 0 , A,¤d(F̂v )M 0 i = 0 для любых M 0 ∈ (St v)∗ и A ∈ St v. Возьмем произвольные M 0 ∈ (St v)∗ и A ∈ St v. Пусть ϕ — такое сечение, чтоf (v) = A (для того v, которое мы фиксировали). А ϕ̌ ∈ Φ∗ — такое,что ϕ̌(v) = M 0 . Тогда соотношение (1.34) с учетом (1.30) переписывается в виде£¤£¤0 = hM 0 , A, prh dF(π(M 0 ),v) i = hM 0 , A, d(F̂v )M 0 i.(1.35)Что и требовалось доказать.Теперь перейдем к изучению сдвигов функций Φ∗ → R(V ∗ ) и соответствующих им функций g∗ → R.Лемма 1.16.
Пусть ψ̌ ∈ Φ∗ — произвольный. Рассмотрим функциюF : Φ∗ → R(V ∗ ) как функцию на g∗ и ограничим ее на h∗ , зафиксировавv ∈ V ∗ . Получим F̃ : h∗ → R. Тогда сдвигу функции F : Φ∗ → R(V ∗ )на ψ̌ соответствует сдвиг функции F̃ : h∗ → R на π(ψ̌(v)) ∈ h∗ .Доказательство. Рассмотрим функциюX Y¡¢Fψ̌ (ϕ̌) = F (ϕ̌ + λψ̌) =hϕij , ϕ̌i + λhϕij , ψ̌i .ijЗдесь в скобках первое слагаемое зависит от ϕ̌, а второе — рациональ¢P Q¡ная функция из R(V ∗ ).
Поэтому Fψ̌ (·) = i j hϕij , ·i + λhϕij , ψ̌i .Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова48Если рассматривать Fψ̌ как функцию на g∗ , то поскольку hϕij , ψi ∈R(V ∗ ), то имеем следующее соотношение:X Y¡¢Fψ̌ (M, v) =hϕij (v), M i + λhϕij (v), ψ̌(v)i =ijijXY=hϕij (v), (M + λπ(ψ̌(v))i.(1.36)Фиксируя v в равенстве 1.36, получим, что функция F̃ψ̌ (M ) — этосдвиг функции F̃ (M ) на вектор π(ψ̌(v)) ∈ h∗ .Теорема C. Рассмотрим полупрямую сумму g = h+χ V компактнойалгебры Ли h и линейного пространства V по произвольному представлению χ : h → gl(V ).
Пусть вторая часть набора Браилова получена сдвигом инвариантов g1 , . . . , gm на вектор L ∈ h∗ . Пусть ψ̌L— такой элемент пространства Φ∗ , двойственного алгебре сеченийΦ, что для любого v ∈ V ψ̌L (v) — естественная проекция элементаL ∈ h∗ на (St v)∗ , а вторая часть набора Садэтова получена из сдвигов инвариантов Fi : Φ∗ → R(V ∗ ) на элемент ψ̌L ∈ Φ∗ (эти сдвигирассматриваются как функции на g∗ ).Тогда наборы Браилова и Садэтова эквивалентны.Доказательство. Идея доказательства теоремы C аналогична идее,использованной в доказательстве теоремы A. Во-первых, дифференциалы первых частей наборов опять порождают всё пространство V .Поэтому остается сравнить ту часть пространств D(Fi ) и D(gm ), которая лежит в h.Фиксируем v и ограничим наборы {Fi } и {gm } на (St v)∗ (это можно сделать по лемме 1.6).
Получим два набора инвариантов алгебрыSt v, сдвиги каждого из которых на вектор L0 , такой что π(L0 ) = L да-Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова49ют полный набор (роль элемента L0 в случае Садэтова играет ψ̌(v) ∈(St v)∗ , который по определению удовлетворяет условию π(ψ̌(v)) = L).А следовательно, проводя рассуждения, аналогичные приведенным впоследнем абзаце доказательства теоремы A, получаем, что исследуемые подпространства совпадают. А значит, сами наборы, описанные втеореме C эквивалентны.Замечание 2. Если вновь вспомнить про отождествления h с h∗ ,St v с (St v)∗ и Φ с Φ∗ , то из леммы 1.8 следует, что элементу ψ̌ изформулировки теоремы C будет соответствовать сечение ψ, такоечто ψ(v) = prSt v κ1 (L), где κ1 (L) — элемент h, соответствующийL ∈ h∗ при отождествлении.Глава 2Свойства инволютивных семействполиномов на некоторых алгебрахЛи.В настоящей главе будут рассмотрены примеры применения методов,исследованных в главе 1, а также изучены получающиеся полиномыдля некоторых полупрямых сумм.Для начала сделаем несколько общих замечаний, которые понадобятся нам в дальнейшем.Рассмотрим снова алгебру (1.1).
Согласно определению полноты набора, необходимое число полиномов в инволюции равно1m = (dim g + ind g).2(2.1)Преобразуем это выражение, учитывая специальный вид рассматриваемых алгебр. По формуле Раиса [6] индекс алгебр вида (1.1) вычисляется по формулеind g = ind St v + ind χ∗ ,здесь, как и прежде, St v стационарная подалгебра регулярного эле50Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.51мента v ∈ h∗ задается формулой (0.5). Пусть O(v) — орбита регулярного элемента v при действии χ∗ , т.е.
O(v) = {χ∗ (A)v|A ∈ h}. Поопределению ind χ∗ = codim O(v) = dim V − dim O(v), а dim O(v) =dim h − dim St v. Поэтомуind g = ind St v + dim V − dim g + dim St v,а следовательно, формула (2.1) в рассматриваемом случае принимаетви䵶11dim g + ind g = (dim V + dim h + dim V − dim h + ind St v+m=221+dim St v) = dim V + (dim St v + ind St v) .(2.2)2В каждом из рассмотренных в главе 1 методов в качестве первойчасти набора берется базис коммутативного идеала.
Количество такихфункций равно размерности идеала, т.е. dim V . Поэтому во второйчасти набора должно содержаться ровно12(dim St v + ind St v) функ-ционально независимых (между собой и с элементами V ) полиномов.В частности, если стационарная подалгебра тривиальна, то базис коммутативного идеала уже будет составлять полный набор.2.1Полный инволютивный набор полиномов дляалгебр gnk = so(n) +ρk (Rn)k .Рассмотрим алгебрыgnk = so(n) +ρk (Rn )k ,(2.3)Здесь сумма вещественной алгебры so(n) и nk-мерного пространстваV = Rnk берется по представлению ρk = ρ × ρ · · · × ρ, где ρ : so(n) →|{z}k разГлава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.52gl(Rn ) — представление минимальной размерности, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
