Диссертация (1103504), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В формулах (1.35)-(1.36) выбирается положительнаяв представлении1ветвь корня, так как ΦA > I и |ΨA | 6 ΦA в силу (1.12).Доказательство.Формула (1.35) доказывает справедливость первого равенства в (1.36). Из(1.34) следует, что среднее значение случайной величины x с распределением√|cf,R ψ(x)|2 равно hxif,R = 2 Ω−1R r. С другой стороны, согласно (1.30), спра√ведливо равенство r = ΩR Re g.
Поэтому hxif,R = hbxig,A = 2 Re g (см. (1.15)).Таким образом, для x остается доказать последнее утверждение. Для этогодостаточно заметить, что ковариационная матрица распределения (1.34) рав∗на Ω−1R = (ΦA − ΨA ) (ΦA − ΨA ) (см. лемму 3). Таким образом, hx ⊗ xif,R =hbx⊗xbi0,A = 12 Ω−1R (см. (1.16)).Перейдем к доказательству утверждений теоремы, касающихся импульсногопредставления. Преобразование Фурье (1.36) легко вычисляется, так как квад32ратичная часть показателя экспоненты (1.35), равная111ωx (Rt ) = (I − Rt )−1 − I = (I + Rt )(I − Rt )−1 = (I − Rt )−1 (I + Rt ),222обращается при преобразовании Фурье в ωp (Rt ) = ωx−1 (Rt ) = ωx (−Rt ).
Приэтом R → −Rt , r → re = Im (I + Rt )−1 ft , ft → −ift , g → −ig. По аналогии свыводом (1.30), имеем re = Ω−R Im g, поэтому из (1.36) следуетhpiR,f =√2 Ω−1e=−R r√2 Im g = hbpig,A ,при этом (см. (1.16)) ковариационная матрица hbp ⊗ pbi0,A = 12 Ω−1−R отличаетсятолько знакомΨA → −ΨA ,11∗hbp ⊗ pbi0,A = Ω−1−R = (ΦA + ΨA ) (ΦA + ΨA ).22Комментарий 2. В силу (1.16), в одномерном случае произведение дисперсийкоординаты и импульса равно1 211−12 ∗22,hbx2 i hbp2 i = Ω−1R Ω−R = (ΦA − ΨA ) (ΦA − ΨA ) =444что интерпретируется как нижняя граница для "принципа неопределенности". Этот факт привел к определению сжатого состояния: когда неопределенность одной квадратуры растет, то неопределенность второй квадратуры уменьшается ("сжимается"). Это свойство и легло в основу прецизионных измерений, основанных на сжатых состояниях.В следующей главе будет более подробно описан принцип неопределенностидля многомодовых систем, а точнее, его обобщение, так называемое неравенство Шредингера-Робертсона.Следствие 2.
Изометрический образ двухмодового сжатого состояния† †et(a1 a2 −a1 a2 ) |0i ⊗ |0i ∈ ⊗n1 `2в пространстве L2 (Rn ) равен33221−2t (x1 + x2 )2t (x1 − x2 )−e).ψ(x1 , x2 ) = √ exp(−e22π(1.37)Доказательство.Из Следствия 1 вытекает следующее равенство для двухмодового сжатогосостояния† †† †|ψi = et(a1 a2 −a1 a2 ) |0i ⊗ |0i = (cosh t)−1 e−a1 a2 th t |0i ⊗ |0i.Это означает, что его изометрический образ в L2 (Rn ), согласно Теореме 2будет равенF`2 →L2 |ψi =e2x21 +x2 −(x,(I−R )−1 x))t2p= e(1/2−cosh1/2πdet (ΦA − ΨA )2(t))x21 +(1/2−cosh 2 (t))x22 −2sinh (2t)x1 x212t2−2t2= √ e−e (x1 +x2 ) /2−e (x1 −x2 ) /2 ,π(1.38)где матрицы ΦA , ΨA , Rt вычислены при доказательстве Следствия 1, и учтеноусловие φ = 0.Используя первое равенство формулы (1.36), можно перейти к координатному представлению состояния |A, χ i и, вычислив нормальный символ и скаχiлярные произведения h ξh ξ| A,| χ i = Symb SA (ξ, χ), что в дальнейшем позволит построить базис, состоящий из сжатых состояний.Следствие 3.
Пусть выполнены условия теоремы 1 и введены вектора-столбцы2g = ΦA χ − ΨA χ, f = g + Rt g. Тогда f = Φ−1A χ, (g, f ) = |χ| − (χ, Rt χ), а образомизоморфизма F`2 →L2 между пространствами ⊗n1 `2 и L2 (Rn ) (1.32) сжатогосостояния | A, χ i = | g, A i является векторF`2 →L2 | A, χ i =e|x|2 −|χ|2−2x−Φ−1 χA√,(I−Rt )−12π n/4px−Φ−1 χA√21φξ (x) = F`2 →L2 | ξ i =πen/4|x|2 −|ξ|2−2x− √ξ2 ,x− √ξ234,def= φR,χ (x).det (ΦA − ΨA )Нормальный символ SA (ξ, χ) оператора SA равенdef+ 12 (χ,Rt ,χ)h φξ ,φR,χ ihξ|χi ,(1.39)где1h ξ | χ i = e− 2 (|χ|2+|ξ|2 )+(ξ,χ)совпадает с выражением (1.21).2Доказательство.
Равенства f = Φ−1A χ и g, f = |χ| − (χ, Rt χ) естественнымобразом выводятся из определений векторов-столбцов f и g, свойства (1.13), атакже эрмитовости матрицы ΦA и симметричности ΨA :−1f = g + Rt g = ΦA χ − ΨA χ + ΨA ΦA (ΦA χ − ΨA χ)−12−1= ΦA χ − Φ−1A ΨA ΨA χ = ΦA (ΦA − ΨA ΨA )χ = ΦA χ,g, f = g, g + g, Rt g = (ΦA χ − ΨA χ, Φ−1A χ)T−12= χ∗ ΦA Φ−1A χ + χ ΨA ΦA χ = |χ| − (χ, Rt χ).Выражение (1.39) получается при подстановке f (χ) и g(χ) в (1.36). Вычисляя интеграл h φξ , φR,χ iL2 , получаемZh φξ , φR,χ iL2 =1φξ (x) φR,χ (x) dn x = e− 2 (|χ|Rn−1 −1− 21 (Φ−1ΦA χ)−A χ,(I−Rt )×eZ1×pπ n det (ΦA − ΨA )ex−2+|ξ|2 +ξ −(χ,Rt χ))−1Φ−1Φ−1A χ+(I−Rt )ξA χ+(I−Rt )ξ , (I−Rt )Φ−1 χ+(I−Rt )ξA√2, (I−Rt )−1 x−Φ−1 χ+(I−Rt )ξA√2dn x(1.40)Rns=−2det(I − Rt ) − 12edet(ΦA − ΨA )|χ|2 +|ξ|2 +(ξ,Rt ξ)−(χ,Rt χ) +(ξ,Φ−1A χ),что с учетом нормировки совпадает с (1.21), поскольку выполнено равенствоdet(I − Rt )/ det(ΦA − ΨA ) = det ΦA −1 .1.7Скалярное произведение сжатых состояний−1Пусть A, B, R = UA th |A|t = Φ−1A ΨA и Q = UB th |B|t = ΦB ΨB — симметричные операторы и f = g + Rg, p = q + Qq.
Здесь g и q — сдвиги каноническихсжатых состояний, а f и p — сдвиги соответствующих приведенных состояний(см. теорему 1 или лемму 3). Вычисление скалярного произведения состояний| g, A i = ψf,R и | q, B i = ψp,Q можно свести к вычислению гауссовых интегралов.35Пустьϕ0,Q (x) =eπ n/4|x|2−1x)2 −(x,(I−Q)pdet (ΦB − ΨB ),ϕz,R (x) =e|x|212 − 2 (w,z)π n/4x− √z2 ,(I−R)−1 (x− √z2 )pdet (ΦA − ΨA )(1.41)– единичные векторы, являющиеся координатными L2 -представлениями сжаdefтых состояний: F`2 →L2 | 0, B i = ψ0,Q и F`2 →L2 | w, A i = ϕz,R , где z = ω + Rω иω = g − q.
Тогдаh q, B | g, A i`⊗n= eiIm (q,g) h 0, B | w, A i`⊗n= eiIm (q,g) hψ0,Q , ψz,R iL2 (Rn )22(1.42)и доказательство следующей теоремы, таким образом, сведется к вычислениюгауссова интеграла (1.42). Введем обозначение w = g − q.Теорема 3. Пусть h = (I − R)−1 z и SR = (w + h), z . Тогда скалярное произведение двух сжатых состояний имеет видp4det(I − |Q|2 )(I − |R|2 ) iIm (q,g)+ 12qh q, B | g, A i =edet(I − QR)(h,Ω−1Q,R h)−SR,(1.43)где ΩQ,R = (I − Q)−1 + (I − R)−1 − I = ΩTQ,R симметрична в силу симметричности матриц Q, R.
Обратная матрица Ω−1Q,R равна−1∗∗∗∗ −1Ω−1Q,R = (I − Q)(I − RQ) (I − R) = (ΦB − ΨB )(ΦA ΦB − ΨA ΨB ) (ΦA − ΨA ),где ||RQ|| < 1, так что I − RQ обратима и формула (1.43) корректна . Привычислении корней берутся ветви с положительной вещественной частью.Доказательство. Спектры симметричных матриц Q = UB th |B|, R = UA th |A|лежат на комплексной плоскости внутри единичной окружности с центром вначале координат.
Поэтому вещественные части точек спектра матрицы (I −Q∗ )−1 + (I − R)−1 лежат на (1, ∞), а вещественная часть спектра матрицыΩQ,R = ω − I + iρ, гдеdefω = (ΩQ,R + Ω∗Q,R )/2 = (ΩQ,R + ΩQ,R )/2,defρ = (ΩQ,R − ΩQ,R )/2i,лежит на (0, ∞). Следовательно, интеграл (1.42) сходится абсолютно и суще36ствует ограниченная матрица Ω−1Q,R . Зависящая и не зависящая от x части показателя экспоненты в произведении ψ Q,0 (x)ψR,z (x) равны√12(z, (I − R)−1 x) − (x, ΩQ,R x) ≡ (h, Ω−1Q,R h)−21 −1 1− x − √ ΩQ,R h , ΩQ,R x − √ ΩQ,R h ,221−SR = − (h, z) + (w, z) ,2где h = (I − RT )−1 z = (I − R)−1 z. Поэтому после интегрирования по x впоказателе экспоненты появляется сумма iIm (q, g) + 12 (h, Ω−1h)−SR .Q,RПоскольку det ΩQ,R = det(I − QR)/ det(I − Q) det(I − R), то в результатеинтегрирования по x в (1.42) получаем предэкспоненциальный множитель− 12det |ΦA | det |ΦB | det(I − Q) det(I − R) det ΩQ,R− 12= det |ΦA | det |ΦB | det(I − QR),где определители матриц выражаются следующим образомdet |ΦA |−1=pdet(I −−1|R|2 ),det |ΦB |p= det(I − |Q|2 ),поскольку 1 ≤ ||Φi || < ∞, i ∈ {A, B}, то I − |R|2 и I − |Q|2 обратимы.Теорема доказана.Проверим нормировку скалярного произведения hg, A|g, Ai = 1.
Если g =q и B=A, то предэкспоненциальный множитель (1.43) равен 1, Im(q, g) =Im||g||2 = 0. Кроме того w = g − q = 0, поэтому z = w + Rw = 0 иh = (1 − R)−1 z = 0. Следовательно SR = (w + h, z) = 0, так что праваячасть (1.43) в этом случае равна единице.Следующая теорема позволяет выразить символ композиции сжатий черезскалярное произведение сжатых состояний h ξ |S−B SA | χi = h B, ξ | A, χ i и, следовательно, вычислить композицию сжатий. По сравнению с формулой (1.43)для h ξ, B | χ, A i, полученное ниже выражение имеет более простую структуру.Теорема 4.
Пусть матрицы ΦJ и ΨJ (J ∈ {A, B}) являются матрицами37канонических преобразований иΦA,B = ΦA ΦB − ΨA ΨB ,ΨA,B = ΨA ΦB − ΦA ΨB ,RA,B = Φ−1A,B ΨA,B ,RB,A = Φ−1B,A ΨB,A .Тогда нормальный символ композиции сжатий равен−111h ξ |S−B SA | χi defe− 2 (ξ,RA,B ξ)+(ξ,(ΦA,B −I)χ)+ 2 (χ,RB,A χ)p= Symb S−B SA (ξ, χ) =. (1.44)hξ|χidet ΦA,BДоказательство. Отметим, что несмотря на внешнее сходство формул (1.21) и(1.44), в нашем случае ΦA,B 6= Φ∗A,B , ΦA,B 6= ΦB,A и RA,B 6= RB,A , но, поTT., RB,A = RB,Aпрежнему, RA,B = RA,BПоскольку h ξ |S−B SA | χ i = h B, ξ | A, χ i, то такое среднее можно вычислитьв L2 (Rn ) с помощью (1.39). Используя введенные ранее обозначения матриц−1TTR = Φ−1A ΨA , Q = ΦB ΨB и учитывая, что ΦA = ΦA , ΦB = ΦB , det ΦB = det ΦB ,положим−1−1θ = (I − R)−1 Φ−1A χ + (I − Q) ΦB ξ,ΩQ,R = (I − Q)−1 (I − QR)(I − R)−1и по аналогии с (1.40) получимZ1h φQ,ξ , φR,χ iL2 =Rn2φQ,ξ (x) φR,χ (x) dn x = e− 2 (|χ|+|ξ|2 −(ξ,Qξ)−(χ,Rχ))−1−1 −1− 12 (Φ−1ΦA χ)+(ΦB −1 ξ,(I−Q)−1 ΦB ξ)−(θ,ΩQ,R −1 θ)A χ,(I−R)×e×qZ1eπ n det(ΦB − ΨB ) det(ΦA − ΨA )−=dn xRn−1ex−ΩQ,R −1 √θ2 , ΩQ,R x−ΩQ,R −1 √θ2−1−1ΦB ξ)−(θ,ΩQ,R −1 θ)− 12 (χ,ΦA −1 (I−R)−1 Φ−1A χ)+(ξ,ΦB (I−Q)qdet(ΦB − ΨB ) det ΩQ,R det(ΦA − ΨA )e− 21 |χ|2 +|ξ|2 −(ξ,Rξ)−(χ,Rχ)Учитывая равенства Φ = Φ∗ , Ψ = ΨT , det M = det M T получим:(I − Q)−1 = (ΦB − ΨB )−1 ΦB ,(I − R)−1 = (I − RT )−1 = ΦA (ΦA − ΨA )−1 ,det(ΦJ − ΨJ ) = det(ΦJ − ΨJ )T = det(ΦJ − ΨJ ),38.где индекс J принимает значения из множества {A, B}, вычислим детерминантdet(ΦB − ΨB )ΩQ,R (ΦA − ΨA ) = det ΦB (I − QR)ΦA= det(ΦB ΦA − ΨB ΨA ) = det(ΦA ΦB − ΨA ΨB ),что совпадает со значением нормировочного множителя det ΦA,B , указанным в(1.44).Вычисления матрицы Λ0 в билинейном члене 12 (ξ, Λ0 χ) показателя экспоненты (1.44) не требует сложных преобразований.
Из определения θ находим−1−1−1 −1−1−1 −1Λ0 = Φ−1B (I − Q) ΩA,B (I − R) ΦA = ΦB (I − RQ) ΦA= (ΦA ΦB − ΨA ΨB )−1 .Соберем коэффициенты квадратичной формы 12 (ξ, Λ1 ξ), используя тождества(1.13):−1−1−1−1−1−1Λ1 = Q + Φ−1B (I − RQ) (I − R)(I − Q) ΦB − ΦB (I − Q) ΦB−1−1−1= ΨB ΦB −1 − (ΦA ΦB − ΨA ΨB )−1 ΦB −1= ΨB ΦB − Φ−1B (I − RQ) RΦB= (ΦA ΦB − ΨA ΨB )−1 (ΦA ΦB − ΨA ΨB )ΨB − ΨA ΦB −12= (ΦA ΦB − ΨA ΨB )−1 (ΦA ΦB ΨB − ΨA ΦB ΦB −1= (ΦA ΦB − ΨA ΨB )−1 (ΦA ΨB − ΨA ΦB ) = −Φ−1A,B ΨA,B = −RA,B .Аналогичным образом вычисляются коэффициенты квадратичной билинейнойформы 21 (χ, Λ2 χ):−1−1 −1Λ2 = R + ΦA −1 (I − QR)−1 (I − Q)(I − R)−1 Φ−1A − ΦA (I − R) ΦA−1= ΨA ΦA −1 − −ΦA −1 (I − QR)−1 QΦ−1A = (ΦB ΦA − ΨB ΨA )−1×((ΦB ΦA − ΨB ΨA )ΨA − ΨB )Φ−1A = (ΦB ΦA − ΨB ΨA )−1×(ΦB ΦA ΨA − ΨB Φ2A )Φ−1A = (ΦB ΦA − ΨB ΨA ) (ΦB ΨA − ΨB ΦA )= ΦB,A −1 ΨB,A = RB,A .Теорема доказана.С помощью нормального символа композиции сжатий можно еще раз убедиться в корректности результатов, сформулированных в лемме 2 и теоремах 239и 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
