Диссертация (1103504), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Его математические свойства и соответствующие ему различные квантовые состояния рассматривались в работах [25, 96].В первую очередь, такого рода состояния интересны тем, что проявляют яркиенеклассические свойства, а их реализация может быть осуществлена процессомпараметрического преобразование частоты вниз [3, 4, 35, 79, 91]. В настоящемпараграфе, нас будет интересовать только получение формулы нормальногоупорядочивания для оператора двухмодового сжатия на основе метода канонических преобразований.Следствие 1.
(факторизация двухмодового сжатия)† † 2iφ−2iφНормально упорядоченная форма оператора S(t, φ) = et(a1 a2 e −a1 a2 e ) сдействительными параметрами t, φ имеет вид† † 2iφS(t, φ) = (cosh t)−1 e−a1 a2 eth t††: e(a1 a1 +a2 a2 )((cosh t)−1−1): ea1 a2 e−2iφth t.(1.25)Доказательство. Поскольку гамильтониан, порождающий двухмодовый оператор сжатия, равен H = −i(a1 a2 e−2iφ − a†1 a†2 e2iφ ), то симметричная матрица Aи соответствующие матрицы канонического преобразования ΦA , ΨA можно выразить с помощью Леммы 1:A=0e2iφe2iφ0!, ΦA =cosh t00cosh t!, ΨA = e2iφ0sinh tsinh t0!,Тогда, согласно Лемме 2, матрицы нормально упорядоченного разложения опе26ратора S(t, φ) равны2iφRt = Φ−1A ΨA = e0 th tth t 0!(cosh t)−1 − 100(cosh t)−1 − 1, Φ−1A −I =!,√и нормировочный множитель равен st = 1/ det Φt = (cosh t)−1 .
Таким образомразложение (1.25) справедливо.Более сложный вывод формулы (1.25) можно найти в [95, 96], но с использованием свойств алгебры su(1, 1) и метода Вея-Нормана.1.5Приведенная форма сжатого состояния1†††Нормированные векторы c e− 2 (a ,Ra )+(a ,f ) | 0 i, c ∈ C, R = RT , ||R|| < 1,будем называть приведенной формой сжатого состояния или просто приведенным сжатым состоянием, а R и f — приведенными параметрами сжатияи сдвига, соответственно.
Как будет показано далее, использование параметровразличных представлений сжатого состояния упрощает формулировки некоторых результатов. Например, из формулы (1.18) вытекают, представленные вТеореме 1, соотношения между параметрами сжатого состояния и его приведенной формой.defТеорема 1. Произвольное сжатое состояние |g, Ai = Tg SA |0i может бытьпредставлено в приведенной форме1− 21 (a† ,Rt a† )+(a† ,ft )| g, A i = c e| 0 i,e− 2 (g,ft )c= √,det ΦA(1.26)параметры которой вычисляются через параметры сжатого состояния последующим формуламRt = UA th |A|t = Φ−1A ΨAft = g + Rt g,где матрицы ΦA , ΨA являются матрицами канонических преобразований, порождаемые оператором SA .†1Доказательство.
Поскольку выполнено равенство e(a ,Ct a) e 2 (a,Rt a) | 0 i = | 0 i, тоиспользуя сначала формулу (1.18), а затем коммутационные соотношения опе27раторов сдвига и сжатия (1.17), получаем следующие формы сжатых состояний†1††1†††e(a ,g)−(a,g) e− 2 (a ,Rt a )e− 2 (a −g,Rt (a −g)) e(a ,g)−(a,g)√√| g, A i =|0i =| 0 i.det ΦAdet ΦAДля завершения доказательства остается применить следствие формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа†1†e±(a ,g)∓(a,g) | 0 i = e− 2 (g,g) e±(a ,g) | 0 i.Отметим, что нелинейная связь между параметрами ft и g(ft ) выглядитдостаточно нетривиально.
Используя тождество g + Rt g = ft , комплексно сопряженное равенство Rt g + Rt Rt∗ g = Rt f t и их разность, находим∗∗ −1g = g(ft ) = (I − Rt Rt∗ )−1 (ft − Rt f t ) = I − Φ−1A ΨA ΨA (ΦA )−1Φ−1A× (ΦA ft − ΨA f t ) = Φ∗A (ΦA Φ∗A − ΨA ΨA ∗ )−1 (ΦA ft − ΨA f t )= ΦA (ΦA ft − ΨA f t ).Учитывая, что ΦTA = ΦA , ΨA ∗ = ΨA для сжатий и Rt = RtT , в силу (1.13),получаем−1I − |Rt |2 = ΦA (ΦA ΦTA − ΨA ΨTA )(ΦTA )−1 = (ΦTA ΦA )−1 = (ΦTA )−2 ,det(I − |Rt |2 ) = (det ΦA )−2 < ∞.(1.27)Следующая лемма описывает связь параметров канонических преобразований и нормировки приведенных сжатых состояний.defЛемма 3.
Пусть r = Re (I − Rt )−1 ft и ΩR – эрмитова матрица такая, чтоdefΩR = (I − Rt∗ )−1 (I − Rt∗ Rt )(I − Rt )−1 = (I − Rt )−1 (I − RRt∗ )(I − Rt∗ )−1= (ΦA − Ψ∗A )−1 (ΦA − ΨA )−1 .†1††Норма вектора ψ = e− 2 (a ,Ra )+(f,a ) | 0 i равна c−1R,f , где11−1cR,f = det(I − |Rt |2 ) 4 e 2 Re (ft ,(I−Rt )ft )−(r,ΩR −1 r)28=√11e− 2 Re (g,ft ) > 0, (1.28)det ΦAiтак что с точностью до скалярного унитарного множителя e− 2 Im (g,ft ) приведенному сжатому состоянию ψR,f = cf,R ψ соответствует состояние | g, A i =ie− 2 Im (g,ft ) ψR,f и справедливо равенствоRe (g, ft ) = 2(r, ΩR −1 r) − Re (ft , (I − Rt )−1 ft ).(1.29)Доказательство.
Поскольку ft = g + Rt g, то справедливо следующее равенство(g, ft ) = |g|2 + Re (g, Rt g) + iIm (g, Rt g) = |g|2 + Re (g, Rt∗ g) − iIm (g, Rt∗ g)в силу симметричности матрицы Rt . Покажем далее, что11|g|2 + Re (g, Rt∗ g) .(r, ΩR −1 r) − Re (ft , (I − Rt )−1 ft ) =22Для этого выразим r и ΩR через Rt и g:1(I − Rt )−1 (g + g − (I − Rt )g)2∗ −1+(I − Rt ) (g + g − (I − Rt∗ )g) = ΩR Re g,r = Re (I − Rt )−1 ft =(1.30)а также и билинейную форму1(g + g − (I − Rt )g), (I − Rt )−1 (g + g − (I − Rt )g)2+ (g + g − (I − Rt∗ )g), (I − Rt∗ )−1 (g + g − (I − Rt∗ )g)Re (ft , (I − Rt )−1 ft ) == 2(Re g, (ΩR + I)Re g) + Re (g, (I − Rt∗ )g) − 4(Re g, Re g).(1.31)Из разности тождества (1.30) и выражения (1.31), умноженной на 12 , следуетформула (1.29) и становится ясным смысл нормировки (1.28):1(r, ΩR −1 r) − Re (ft , (I − Rt )−1 ft ) = (Re g, ΩR Re g) + 2(Re g, Re g)21− (Re g, (ΩR + I)Re g) − Re (g, (I − Rt∗ )g)2 111=(Re g, Re g) − Re (g, (I − Rt∗ )g) = |g|2 + Re (g, Rt∗ g) = Re (g, ft ).222291†††Таким образом || | g, A i|| = || cR,f e− 2 (a ,Rt a )+(a ,ft ) | 0 i||.1.6Нормировка, координатное и импульсное представление сжатых состоянийВоспользуемся изометрическим изоморфизмом F`2 →L2 между пространствами ⊗n1 `2 и L2 (Rn ) [41, c.
29], устанавливающим соответствие между единичнымивекторами из H и L2 и операторами рождения-уничтожения:⊗n1 `2 3 | 0 i ↔1π n/4e2− |x|2{a† , a} ↔∈ L2 (Rn ),x − ∂x x + ∂x√ , √. (1.32)221†††В частности, изометрический образ в L2 (Rn ) вектора e− 2 (a ,Rt a )+(ft ,a ) | 0 i ∈ Hравенψ(x) =1π− 14 (∂x −x,Rt (∂x −x))− √12 (ft ,(∂x −x))en/4|x|21e 2= n/4nπ(2π) 2Zeft)i(p,x− √2− 14 (p,(I−R)p)eRn12e− 2 |x| =dn p =|x|22e− 14 (∂x ,Rt ∂x )− √12 (ft ,∂x ) −|x|2eeπ n/4e|x|22 −ftftx− √,(I−Rt )−1 (x− √)22π n/4pdet (I − Rt ),(1.33)где |det (I − Rt )| > 0 (см.
(1.19) и (1.27)). При выводе последнего равенстваиспользовалось коммутационное соотношение [20]:ddc(x)c(x)0Fe f (x) = e F+ c (x) f (x).dxdxЗдесь следует отметить, что согласно (1.27) знаменатель в (1.33) не обращается в 0 и поскольку |Rt |2 = I − |Φt |−2 < I, то интеграл в (1.33) сходится ипредэкспонента содержит ветвь корня с фазой φ/2, если φ ∈ [0, π2 ], либо −φ/2,если φ ∈ [− π2 , 0], где φ фаза det(I − Rt ) (см. Рис. 1.1).Использование данного изоморфизма в дальнейшем позволит вычислитьскалярное произведение сжатых состояний в многомерном случае.30Imλ1I − Rt012Reλ-1Рис. 1.1: Схематическое изображение спектра матрицы I − Rt , лежащего внутри круга|Rt | < I.Учитывая, что Im x = 0 и полагая r = Re (I − Rt )−1 ft в (1.33), получаем√|ψ(x)| =e2(x,r)− 21 (x,ΩR x)− 12 Re (ft ,(I−Rt )−1 ft )π n/4q4det (I − Rt ) det (I − Rt )(1.34)√(r,ΩR −1 r)− 12 Re (ft ,(I−Rt )−1 ft )− 12 |ΩR 1/2 x− 2ΩR −1/2 r|2=eπ n/4,p|det (I − Rt )|где, как и в предыдущем параграфе, введено обозначениеdefΩR = ΩR ∗ = (I − Rt )−1 + (I − Rt )−1 − I = (I − Rt )−1 (I − Rt Rt∗ )(I − Rt∗ )−1 > 0.Из определения матрицы ΩR следует справедливость равенства для произведений следующих определителейdet (I − Rt ) det (I − Rt∗ ) det ΩR = det (I − |Rt |2 ) = det (I − Rt Rt∗ ) = det Φ−2A .Поэтому можно воспользоваться формулой (1.29) и вычислить норму ψ в L2 :Z||ψ||L2 =2|ψ(x)| dxRn 21−11e(r,ΩR r)− 2 Re (ft ,(I−Rt )p=4det (I − |Rt |2 )def−1ft )=p1det ΦA e 2 Re (g,ft )что дает нормировку (1.28), поскольку ||ψ||L2 = c−1ft ,Rt .
Остается заметить, чтопоскольку из равенства Rt = Φ−1A ΨA следует ΦA (I − Rt ) = (ΦA − ΨA ), то31det ΦA det(I − Rt ) = det(ΦA − ΨA ). Таким образом, построен изометрический1 †††образ в L2 (Rn ) приведенного нормированного состояния cf,R e− 2 (a ,Rt a )+(ft ,a ) | 0 i:ψf,R (x) = cf,R ψ(x) =e|x|22 −ftx− √f2 ,(I−Rt )−1 (x− √) − 12 Re (g,ft )2π n/4pdet (ΦA − ΨA )∈ L2 (Rn ).(1.35)Теорема 2. (О координатном и импульсном представлениях сжатого состояния)Пусть A = AT – генератор сжатия и A = U |A| его полярное разложение,ft = g + Rt g, Rt = Φ−1A ΨA = U th |A|t, ψf,R (x) = cf,R ψ(x), и Fx→p – преобразо√√вание Фурье, при котором i∂x → p.
Тогда hxif,R = 2 Re g, hpif,R = 2 Im g исправедливы формулы для вычисления образов сжатого состояния соответствующих преобразованийiF`2 →L2 | g, A i = e− 2 Im (g,ft ) ψf,R (x) =e eidefψef,R (p) = Fx→p e− 2 Im (g,ft ) ψf,R (x) =|x|22 −ftftx− √,(I−Rt )−1 (x− √) − 12 (g,ft )22pdet (ΦA − ΨA )ififπ n/4|p|22 −,(1.36)p+ √2t ,(I+Rt )−1 (p+ √2t ) − 21 (g,ft )π n/4pdet(ΦA + ΨA ).Ковариационные матрицы случайных величин с распределениями |ψf,R (x)|2 и|ψef,R (p)|2 совпадают с соответствующими величинами (1.16), вычисленнымиnNl2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
