Диссертация (1103504), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Исключения составляют те важные случаи, в которых задача о приведении матрицы G к жордановой формеили разложению Шура допускает аналитическое решение. Примеры будут обсуждаться в следующей главе.Перепишем полученные коммутационные соотношения в виде тождества:Φ ΨΨ Φ!Φ∗ −ΨT−Ψ∗ ΦT!=I 00 I!.Поскольку в алгебре матриц левый и правый обратные элементы совпадают, то∗TΦ −Ψ−Ψ∗ ΦT!Φ ΨΨ Φ!=I 00 I!.Отсюда следует цепочка матричных коммутационных соотношений для канонических преобразований, порождаемых оператором UA,B :ΦΦ∗ − ΨΨ∗ = ΦΦT − ΨΨT = Φ∗ Φ − ΨT Ψ = ΦT Φ − Ψ∗ Ψ = I,ΦΨT − ΨΦT = ΦΨ∗ − ΨΦ∗ = Φ∗ Ψ − ΨT Φ = ΦT Ψ − Ψ∗ Φ = 0.(1.13)В случае B = 0 выполняются соотношения Φ∗ = Φ, ΦT = Φ.Из первого равенства (1.13) следует, что матрицы ΦΦ∗ и Φ∗ Φ всегда имеют1обратные, и поскольку справедливо полярное разложение Φ = V (Φ∗ Φ) 2 , где V1– унитарный оператор, то существует матрица Φ−1 = (Φ∗ Φ)− 2 V −1 .В свою очередь, второе равенство (1.13) приводит к тому, что в случае B = 0матрицы вида R = Φ−1 Ψ симметричны.

Действительно, умножая коммутационное соотношение ΦΨT −ΨΦT = 0 слева и справа на Φ−1 и (Φ−1 )T соответственно,получим равенство Φ−1 Ψ = ΨT (Φ−1 )T . ПоэтомуR = RT , R = R∗ , I − RR∗ = I − Φ−1 Ψ(Φ−1 Ψ)∗ = |Φ|−2 ,det(I − |R|2 ) = det |Φ|−2 .(1.14)Поскольку композиция унитарных преобразований сохраняет ККС, то композиция канонических преобразований, соответствующих матрицам {Φk , Ψk }2k=1 ,19является каноническим преобразованиемUA2 A1 aUA∗ 2 A1 = SA2 (Φ1 a + Ψ1 a† )SA∗ 2 = (Φ1 Φ2 + Ψ1 Ψ2 )a + (Φ1 Ψ2 + Ψ1 Φ2 )a† ,UA2 A1 a† UA∗ 2 A1 = SA2 (Φ1 a† + Ψ1 a)SA∗ 2 = (Φ1 Φ2 + Ψ1 Ψ2 )a† + (Φ1 Ψ2 + Ψ1 Φ2 )a.При этом оператор UA2 A1 = SA2 SA1 порождает новые матрицы каноническихпреобразованийΦ = Φ1 Φ2 + Ψ1 Ψ2 ,Ψ = Φ1 Ψ2 + Ψ1 Φ2 ,которые удовлетворяют ККС (1.13).

В таком случае матрица Φ уже не обязанабыть эрмитовой, а Ψ — симметричной, даже если этими свойствами обладалнабор {Φk , Ψk }2k=1 . Отсюда следует, что композиция сжатий, вообще говоря, неявляется сжатием в смысле общепринятого определения, указанного в началеглавы.Вид операторов вида UA,B с учетом линейной части по операторам рожденияи уничтожения рассматривается в следующей главе.1.3Средние значения квадратурных компонент и их ковариационные матрицы для сжатых состояний− 2t (a† ,Aa† )−(a,Aa)Пусть, как и в предыдущем параграфе, SA = e— операторnN†| gk i = Tg | 0 i — когерентсжатия, Tg = e(a ,g)−(a,g) — оператор сдвига, | g i =k=1defное состояние, а | g, A i = Tg SA | 0 i — сжатое состояние. ТогдаT−g aTg = a + g,T−g a† Tg = a† + g,что объясняет смысл сдвига g ∈ Cn .

Формулы (1.4) позволяют выразить среднее и дисперсию операторов координаты и импульса через параметры сжатогосостояния:defh a ig,A = h g, A | a | g, A i = g,†def†h a ig,A = h g, A | a | g, A i = g,def√def√hxb ig,A = h g, A | xb | g, A i =h pb ig,A = h g, A | pb | g, A i =202 Re g,2 Im g,(1.15)††))√√ . Учии pb = (a−aгде введены обозначения квадратурных компонент xb = (a+a2i 2тывая равенства ΦA = Φ∗A и ΨA = ΨTA , вычисляются ковариационные матрицы1hxb⊗xb ig,A = (ΦA − ΨA )∗ (ΦA − ΨA ) + 2Re g ⊗ Re g,21h pb ⊗ pb ig,A = (ΦA + ΨA )∗ (ΦA + ΨA ) + 2Im g ⊗ Im g,21hxb ⊗ pb ig,A = (ΨA − ΦA )∗ (ΨA + ΦA ) + 2Re g ⊗ Im g,2i1h pb ⊗ xb ig,A = (ΦA + ΨA )∗ (ΦA − ΨA ) + 2Im g ⊗ Re g.2i(1.16)Величины 1+Tr h xb⊗bx ig,A и 1+Tr h pb⊗bp ig,A являются W21 (Rn )-нормами сжатыхсостояний в импульсном и координатном представлениях.

Этот факт важен дляупорядочения по гладкости элементов линейной оболочки множества сжатыхсостояний.Сжатое состояние может быть задано различными способами. Например,используя лемму 1, можно двумя способами прокоммутировать сжатие и сдвиг(см. [25]):def| g, A i = Tg SA | 0 i = SA SA∗ Tg SA | 0 i = SA Tf | 0 i = | A, f i,(1.17)где новый сдвиг имеет видf = Φ∗A g + ΨTA g = ΦA g + ΨA g.Аналогичным образом доказывается, что| g, A i = Tg SA T−g Tg | 0 i = e− 21 (a† −g,Aa† −g)−(a−g,Aa−g)Tg | 0 i.В следующем параграфе будет рассмотрено многомерное обобщение формулы нормального упорядочения оператора сжатия, которая позволяет связатьразличные представления сжатых состояний.1.4Нормальный символ оператора сжатияПусть A = AT = UA |A| – симметричная матрица и SA – унитарное сжатие,определенные выше.

Тогда справедлива следующая лемма, которую можно рас21сматривать как вариант формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа.Лемма 2. (О нормальном упорядочение сжатий)tt††defПусть SA = e− 2 (a ,Aa )+ 2 (a,Aa) – оператор сжатия. Тогда справедливы следующие утверждения:1. Оператор сжатия может быть приведен к нормально упорядоченнойформе1†††11†††SA = e− 2 (a ,Rt a ) e(a ,Ct a) e 2 (a,Rt a) est = e− 2 (a ,Rt a ) : e(a ,(eCt−I)a)1: e 2 (a,Rt a) est .(1.18)Матрицы, входящие в разложение (1.18), выражаются через матрицыканонических преобразований, определенные в (1.4) и (1.5) и порождаемые оператором сжатия SA :TRt = UA th |A|t = Φ−1A ΨA = Rt ,∗Ct = ln Φ−1A = Ct ,|Rt | < I,(1.19)а скалярная функция st определяется по формулеX p1− 21ln cosh λk t,st = − Tr ln cosh |A|t = Tr ln ΦA = −2(1.20)kгде {λ2k } – спектр матрицы A∗ A > 0, {cosh λk t} – спектр матрицы ΦA ,скобки : : устанавливают нормальный порядок операторов рожденияуничтожения (операторы рождения действуют после операторов уничтожения).2.

Матрицы Ct , Ċt , Cs , Ċs коммутируют при любых t, s ∈ R.3. Нормальный символ оператора сжатия равенdefSymb SA (ξ, χ) =−1111hξ |SA | χi=√e− 2 (ξ,Rt ξ)+(ξ,(ΦA −I)χ)+ 2 (χ,Rt χ) ,hξ | χidet ΦA(1.21)где состояния |ξi = Tξ |0i, |χi = Tχ |0i – произвольные когерентные состояния.Доказательство.22В одномерном случае утверждение леммы совпадает с известным результатом ( [15, см. формулы (Б.9)–(Б.10)] и [25, формула (3.5.10)]), поскольку в этомслучае унитарные обкладки в формуле для матрицы ΦA пропадают, так какстановятся скалярными множителями и сокращаются.Перейдем к доказательству общего случая.

Рассмотрим справедливость первого утверждения леммы и покажем, что существует решение, для которого Ctи Ċt коммутируют. В этом случае[(a† , Ċt a), (a† , Ct a)] = 0,и поэтомуd (a† ,Ct a)††e= e(a ,Ct a) (a† , Ċt a) = (a† , Ċt a)e(a ,Ct a) .dtДалее рассмотрим производную семейства экспонент (1.18): 1 † † 1d − 1 (a† ,Aa† )t+ 1 (a,Aa)t2e 2= (a, Aa) − (a† , Aa† ) e− 2 (a ,Aa )t+ 2 (a,Aa)tdt11 †1 †††††= −(a† , Ṙt a† )e− 2 (a ,Rt a ) e(a ,Ct a) e 2 (a,Rt a) est + e− 2 (a ,Rt a ) e(a ,Ct a) †11 †1†× (a, R˙ a)e 2 (a,Rt a) est + 2e− 2 (a ,Rt a ) (a† , Ċ a) + ṡ e(a ,Ct a) e 2 (a,Rt a) est .2tt(1.22)tИспользуя следующие коммутационные соотношения для произвольных симметричных матриц R и эрмитовых матриц C, зависящих от параметра tXT[(a† , Ċa), (a† , Ra† )] =a†α a†j Ċα,β (Rβ,j + Rβ,j) = 2(a† , ĊRa† ),X[(a† , Ca), (a, Ṙa)] = −aα aj Cα,j (Ṙα,k + Ṙk,α ) = − a, (C T Ṙ + ṘC)a ,X †XT[(a, Ṙa), (a† , Ra† )] = 2aj aα (Rk,j + Rk,jRk,j Ṙj,k)Ṙα,k + 2= 4(a† , RṘa) + 2Tr RṘ,23получаем замкнутую систему формул выпутывания для операторов Rt :††Te(a ,Ct a) (a, Ṙt a)e−(a ,Ct a) = (a, e−Ct Ṙt e−Ct a),t††t††e− 2 (a ,Rt a ) (a† , Ċt a)e 2 (a ,Rt a ) = (a† , Ċt a) + t(a† , Ċt Rt a† ), t † †ttd − t (a† ,Rt a† )††††e 2(a, Ṙt a)e 2 (a ,Rt a ) = Tr Rt Ṙt + 2e− 2 (a ,Rt a ) a† , Rt Ṙt a e 2 (a ,Rt a )dt= Tr Rt Ṙt + 2 a† , Rt Ṙt a + 2t a† , Rt Ṙt Rt a† ,1 †1 †††e− 2 (a ,Rt a ) (a, Ṙt a)e 2 (a ,Rt a ) = (a, Ṙt a) + Tr Rt Ṙt + 2 a† , Rt Ṙt a+ a† , Rt Ṙt Rt a† .Подставляя в правую часть (1.22) полученные коммутационные соотношения исобирая матрицы билинейных форм операторов рождения-уничтожения одногои того же типа, получим замкнутую систему нелинейных уравнений относительно матриц Rt , Ct и скалярной функции st :T−A = −Ṙt + 2Ċt Rt + Rt e−Ct Ṙt e−Ct Rt ,TĊt + Rt e−Ct Ṙt e−Ct = 0,TA = e−Ct Ṙt e−Ct ,T2ṡt + Tr Rt e−Ct Ṙt e−Ct = 0,(1.23)которая расщепляется на независимые уравнения с нулевыми начальными условиями:1ṡt = − Tr Rt A,2R0 = C0 = 0, s0 = 0.AṘt = AA − ARt ARt , Ċt = −Rt A,Первое уравнение удобно решить в базисе, диагонализующем неотрицательный эрмитов оператор∗AA = A A =Xλ2k πbk > 0,kгде λ2k > 0 — его собственные значения, а πbk -ортогональные проекторы на собственные векторы.

Если оператор A вырожден, то доказательство проводитсядля регуляризованного обратимого оператора A = UA (|A| + I), > 0, также как и при доказательстве Леммы 1, переходя по непрерывности к пределупри → 0. Операция обращения оператора A = |A|UA ∗ используется ниже длявычисления оператора Rt .24Пусть O – ортогональная матрица, приводящая оператор A∗ A к диагональному виду, то есть O∗ A∗ A O = Λ, где Λ — диагональная вещественная матрица, состоящая из неотрицательных собственных значений {λ2k } оператора A∗ A.defПолученная система O∗ AṘt O = ṙ(t) = Λ − r(t)2 состоит из не зацепляющихся скалярных уравнений Риккати ṙk (t) = λ2k − rk2 (t) с начальными условиямиrk (0) = 0, решением которых являются функции rk (t) = λk th tλk .

Из равенстваA = A∗ = |A| UA ∗ и спектрального представления функций от самосопряженного оператора следуют формулы для факторизации сжатия (1.18):ARt =Xλk th (tλk ) πbk = |A| th |A|t,kZCt = −UA0t1th |A|τ dτ |A|UA ∗ = −UA ln cosh |A|t UA ∗ = − ln cosh (AA∗ ) 2 t,1a† ,UA (sech |A|t−I) UA ∗ a(a† ,Ct a)=: e:,st = − Tr ln cosh |A|t, e21> 0,det ΦA = det cosh |A|t, est = pdet cosh |A|t(1.24)где функция sech x = (cosh x)−1 , а значит UA sech |At| UA ∗ = Φ−1A . Здесь выполнены неравенства cosh |A|t ≥ I и det cosh |A|t ≥ 1, поэтому st ≤ 0, так чтопроблема выбора ветви корня отсутствует. В свою очередь эрмитовы матрицы Ct , Ċt , Cs , Ċs являются функциями одного и того же оператора (AA∗ )1/2 ипоэтому коммутируют.При выводе (1.18) использовались известные свойства следа и нормальногоупорядочения (см.

[6]):eTr ln Ct = det Ct ,††Cte(a ,Ct a) = : e(a ,(e−I) a):Для симметричных матриц A = AT = UA |A| эрмитовость Ct следует из(1.24), а симметричность Rt следует из симметричности матриц A(A A)n . ДейTствительно, A(AA)n= (AA)n A = A(A A)n . Поскольку операторы A и Aсимметричны, то из (1.24) следует, чтоCtTXTX (A∗ At)n(AA∗ t)n= − ln= − ln= − ln cosh |A|t.2n!2n!nn25TПоэтому избыточное уравнение A = e−Ct Ṙt e−Ct (второе уравнение в системе(1.23)) согласуется с полученными выражениями для Rt и Ct . В самом деле,подставляя полученное решение (1.24) в уравнения Ṙt = A − Rt ARt , имеемṘt = |A|(cosh |A|t)−2 UA ∗ ,Te−Ct = UA cosh |A|t UA ∗ ,e−Ct = cosh |A|t.Таким образом,Te−Ct Ṙt e−Ct = (cosh |A|t)|A|(cosh |A|t)−2 UA ∗ UA cosh |A|t UA ∗ = A,что и требовалось доказать.В качестве примера использования леммы 2 рассмотрим важное следствие— двухмодовый оператор сжатия.

Характеристики

Список файлов диссертации