Диссертация (1103504), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Chebotarev,T.V. Tlyachev, A.A. Radionov "Squeezed States and Their Applications toQuantum Evolution"• Ломоносовские чтения, 16–25 апреля, 2012, Москва //А.М. Чеботарев,Т.В. Тлячев "Многомерные формулы факторизации некоммутирующихсемейств операторов и их применение в задачах квантовой эволюции"• 8th D. N.
Klyshko Workshop, 20-23 May 2013, Moscow, Russia// T.V. Tlyachev,11A.M. Chebotarev and A.S. Chirkin "A new approach to quantum theory ofmultimode coupled parametric processes"• The 19th Central European Workshop on Quantum Optics (CEWQO-2012),2 - 6 July 2012 , Sinaia, Romania// T.V. Tlyachev, A.S. Chirkin, "Generalapproach to the quantum theory of multipartite coupled parametric processes"• 13th International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations,24-28 June, 2013, Nuremberg, Germany//A.S. Chirkin, A.M.
Chebotarev,T.V. Tlyachev, "Quantum theory of Coupled Three-Frequency Optical ParametricInteractions, Multipartite Entangled States"• 20th Central European Workshop on Quantum Optics (CEWQO-2013), 16-20June 2013, Stocholm, Sweden// T.V. Tlyachev, "Multipartite coupled parametricprocesses and uncertainty relations"• ICONO/LAT, 18-22 June 2013, Moscow, Russia// A.S. Chirkin, A.M. Chebotarev,T.V.
Tlyachev, "Complete quantum theory of nondegenerate optical parametricamplification at low frequency pumping"• 34th International Conference on Quantum Probability and Related Topics,16-20 September, Moscow, Russia// A. S. Chebotarev, T.V. Tlyachev, A.E.Teretenkov, V.Belokurov, "On the normal form of multimode squeezing"ПубликацииОсновные результаты диссертации опубликованы в работах• A.M. Chebotarev, T.V. Tlyachev, Normal Forms, Inner Products, and MaslovIndices of General Multimode Squeezings, Mathematical Notes, 2014, Vol. 95,No. 5, pp. 721–737.• T.V. Tlyachev, A.M. Chebotarev and A.S. Chirkin, Canonical transformationsand multipartite coupled parametric processes, Physica Scripta, T160(2014).• T.V.
Tlyachev, A.M. Chebotarev and A.S. Chirkin, A new approach to quantumtheory of multimode coupled parametric processes, Physica Scripta, T153(2013).• А.М. Чеботарев, Т.В. Тлячев, А.А. Радионов, Обобщенные сжатые состояния и многомерная формула факторизации, Математические Заметки, том 92 (2012), 762-777.12• А.М Чеботарев, Т.В.
Тлячев, А.А. Радионов, Сжатые состояния и ихприменение в задачах квантовой эволюции, Математические Заметки,том 89 (2011), 614-634.Из результатов совместных работ в диссертацию автором включены результаты, полученные им лично.13Глава 1Сжатые состояния и их свойстваСжатые состояния связанны с широким спектром физических задач квантовой оптики, квантовой теории измерений и квантовой теории информации[25, 50, 51, 104, 113]. Теория сжатых состояний необходима для анализа чувствительности приборов, в частности, детекторов гравитационных волн [37–39, 69],а также служит теоретической основой информационных технологий связанных со сцепленными (перепутанными) состояниями [75, 81, 86, 86, 108, 108, 115].Помимо задач квантовой оптики, сжатые состояния в последние два десятилетия используются в работах связанных с физикой конденсированного состояниявещества и космологией [57, 74, 101].Первая глава посвящена задачам, связанным с многомерными сжатымисостояниями.
В ней доказывается лемма о многомерном обобщении формулы Киржница-Боголюбова (Лемма 2, которая является важным обобщениемформулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа), вычисляется скалярное произведение сжатых состояний (Теорема 4), находятся средние значения квадратурныхкомпонент в сжатых состояниях и их ковариационные матрицы. Помимо этого, построен образ сжатого состояния при изоморфизме между пространствоммногомерных фоковских состояний ⊗n1 `2 и пространством L2 (Rn ), на основекоторого получена формула скалярного произведения сжатых состояний, необходимая для построения ортонормированных базисов, состоящих из сжатыхсостояний.1.1Канонические преобразованияОбозначим через a† = (a†1 , . .
. , a†n )T , a = (a1 , . . . , an )T столбцы, состоящие из n бозонных операторов рождения и уничтожения, удовлетворяющих14стандартным каноническим коммутационными соотношениям [ai , a†j ] = δij . ВnPдальнейшем будут использованы следующие обозначения: (x, y) =x k yk –k=1билинейная форма в Cn , черта z ∈ C обозначает комплексное сопряжение, "∗"– эрмитово сопряжение, а индекс "T " – означает транспонирование для матриц.Рассмотрим гильбертово пространство H = ⊗n1 `2 со скалярным полуторалинейным произведениемhλf, µgiH =nXλk µk hfk , gk i`2 ,k=1f = {fk }n1 , g = {gn }n1 ∈ H,fk , gk ∈ `2 ,λk , µk ∈ C.Обозначим через Ut семейство унитарных операторов в H. Операторыdefdefa†t = Ut a† Ut∗at = Ut aUt∗ ,(1.1)являются новыми операторами рождения-уничтожения, удовлетворяющими каноническим коммутационным соотношениям [(at )k , (a†t )j ] = δk,j .
Гамильтониан,который рассматривается для иллюстрации метода канонических преобразований Ut = eiHt , в настоящей главе имеет видi ††H=(a , Aa ) − (a, Aa) .2(1.2)Отметим, что вклад в квадратичную форму (1.2) дает только симметричнаячасть матрицы A, поэтому, не уменьшая общности, можно считать, что A = AT .Полярное разложение матрицы A имеет вид A = UA |A|, где UA – унитарнаяматрица, а |A| – неотрицательно определенная матрица [11, с. 68]. Рассмотримdefмногомерные канонические преобразования (1.1), для которых Ut = SA,t =t††e− 2 ((a ,Aa )−(a,Aa)) . Операторы SA,t называются операторами сжатия.
Для нихсправедлива следующая лемма.∗∗Лемма 1. Операторы at = SAt a SAtи a†t = SAt a† SAtудовлетворяют системеуравненийddtata†!!=Ga,a†15G=!0 A.A 0(1.3)Разрешающий оператор системы (1.3) задает канонические преобразованияоператоров рождения-уничтоженияata†t!= eGtaa†!ΦA (t) ΨA (t)ΨA (t) ΦA (t)=!aa†!,(1.4)сохраняющие канонические коммутационные соотношения (ККС) [at , a†t ] = 1.Матричные коэффициенты (1.4) вычисляются по формуламdefdefΦA (t) = UA cosh |A|t UA∗ = Φ∗A (t),ΨA (t) = UA sinh |A|t = ΨTA (t),ΦA (t) = cosh |A|t,ΨA (t) =sinh |A|t UA∗ .(1.5)Доказательство. Для начала рассмотрим случай, когда оператор A имеет ограниченный обратный оператор. Тогда A также имеет ограниченный обратныйоператор, и в этом случае решение системы уравнений (1.3) имеет видat = (cosh (AA)1/2 t) a + A−1(AA)1/2 (sinh (AA)1/2 t) a† ,a†t = (cosh (AA)1/2 t) a† + A−1 (AA)1/2 (sinh (AA)1/2 t) a.(1.6)Выражения для at , a†t проверяются подстановкой (1.6) в уравнения (1.3).Поскольку A = AT , то A = A∗ и, следовательно, справедливы равенстваA = UA |A| = UA (A A)1/2 ,A = U A (A A)1/2 = A∗ = (A A)1/2 UA∗ .Поэтому справедливы коммутационные соотношенияAA = UA A AUA∗ ,(A A)n = UA (A A)n UA∗ .Используя их, можно получить явный вид матриц канонических преобразований (1.23)ΦA (t) = cosh (A A)1/2 t = UA (cosh |A|t) UA∗ ,A−1= (A∗ )−1 = UA |A|−1 ,A−1 = |A|−1 UA∗ ,ΨA (t) = A−1ΦA (t) = cosh (A A)1/2 t = cosh |A|t,(AA)1/2 (sinh (AA)1/2 t) = UA sinh (|A|t),ΨA (t) = A−1 (AA)1/2 (sinh (AA)1/2 t) = (sinh |A|t) UA∗ .(1.7)16Отсюда следует эквивалентность (1.5) и (1.7) в случае обратимого оператора A.Полезно заметить, что из тождества −A = −UA |A| следует, что U−A = −UA .Эрмитовость и неотрицательность матрицы ΦA (t) = UA (cosh |A|t) UA∗ ≥ IPследуют из (1.5), поэтому ΦA имеет спектральное разложение ΦA = k λk |ξk ihξk | =Pk λk ξ k ⊗ξk , где λk ≥ 0 – это собственные значения, а {ξk } ортонормированнаясистема собственных векторов.−1Симметричность матриц вида A (AA)n вытекает из симметричности мат−1−1−1рицы A и равенства A (AA)n = (AA)n A= (A (AA)n )T .
А посколькуматрица−1ΨA (t) = A (AA)1/2 (sinh (AA)1/2 t)является линейной комбинацией такого вида матриц, то ΨA (t) = ΨA T (t).В случае, когда оператор A имеет нетривиальное ядро ker A ⊃ {0}, заменяя A в системе (1.3) ограниченно обратимым оператором A = U (|A| + I),где > 0 и I единичный оператор, получаем решение в виде (1.4) с обратимым оператором A вместо A.
Поскольку решения эволюционного уравнения сограниченным генератором непрерывны по параметру в нормированной топологии, то решение предельного уравнения в случае = 0, совпадает с пределомрешений (1.4) при → 0. Таким образом, формулы (1.5) остаются верными,если A имеет нетривиальное ядро.Комментарий 1. Для вычисления средних значений и дисперсий операторов всистемах, связанных с гамильтонианом (1.2), полезны формулы каноническихпреобразований обратных к преобразованиям (1.4)∗at = SAta SAt = Φ0A (t)a + Ψ0A (t)a† ,00∗a†t = SAta† SAt = ΦA (t)a + ΨA (t)a† ,(1.8)где новые матрицы канонических преобразований выражаются через матрицы, определенные в (1.4)Φ0A = ΦA ,∗SA,tΨ0A = −ΨA .− 2t (a,Aa)−(a† ,Aa), то доказательство указанного утверждеПоскольку=eния полностью повторяет доказательство леммы 1 с учетом полярного разложения −A = −UA |A|.17Следует отметить, что формулы подобные (1.4) и (1.5) были получены вработах [84] на основе свойств алгебр Ли, в [83] разложением в ряд оператораSA,t , а в работе [54] формулы (1.4) выводятся из метода integration within orderedproducts, предложенного Х.-Ю Фаном.
Однако, связь таких разложений с каноническими преобразованиями [6] авторами указанных работ не обсуждалась.1.2Композиция сжатий− 2t (a† ,Aa† )−(a,Aa)−2i(a† ,Ba)Рассмотрим унитарные операторы UA,B = e, не являющиеся сжатиями в смысле определения данного в п. 1.1. Предполагается,что матрица A = AT симметрична, а матрица B = B ∗ эрмитова. Тогда преобразования∗∗a→ea = UA,B a UA,C, a† → ae† = UA,B a† UA,Cостаются каноническими, сохраняющими стандартные канонические коммутационные соотношения (ККС) для бозонных операторов рождения и уничтожения.
В этом случае гамильтониан, порождающий оператор UA,B , и соответствующая ему матрица G из (1.3) будет иметь видiiH = (a† , Aa† ) + (a† , Ba) − (a, Aa),22G=−iB AA iB!,(1.9)а канонические преобразования запишутся следующим образом:eaae†!def= UA,Baa†!∗UA,B=Φ ΨΨ Φ[eai , eaj ] = [ae† i , ae† j ] = 0,!aa†!,(1.10)[eai , ae† j ] = δij .(1.11)Из подстановки выражения для новых операторов рождения-уничтожения (1.10)в ККС (1.11) следуют коммутационные соотношения для матриц Φ и Ψ:ΦΦ∗ − ΨΨ∗ = I,ΦΨT − ΨΦT = 0(1.12)и соответствующие им комплексно сопряженные равенства.Следует отметить, что выражение матриц Φ, Ψ через элементарные функции в общем случае (n > 2) не известно, так как оно предполагает решение18характеристических уравнений порядка 2n.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
