Диссертация (1103504), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Методсостоит в следующем: оператор переписывается в представлении когерентныхсостояний, вследствие чего, он приобретает форму 2n мерного интеграла, содержащего члены вида |zihz| (|zi – когерентное состояние). Далее, использу2††ется тождество |zihz| =: e−|z| +za +za−a a : и берется интеграл. Данный подходпозволил построить нормальную факторизацию одномодового и двухмодовых12Pai Aij aj −a†i Aij a†jсжатий, а также оператора многомодового сжатия e, которыйрассматривается в Главе 1 в общем случае. В главе 1 также описан метод факторизации многомодовых сжатий в композицию коммутирующих одномодовыхоператоров с помощью разложения Такаги.Одним из подходов к рассмотрению многочастичных и многомодовых систем (1) в терминах операторов координат и импульсов, является метод функций Грина, который наиболее полно и обобщенно разработан для задач связанных с квантовыми квадратичными системами в работах И.А.
Малкина, В.И.Манько и В.В. Додонова [5, 13, 19, 49]. Авторами было получено явное выражение пропагатора уравнения Шредингера многомодовой квадратичной квантовой системы в координатном представлении и вытекающие из него выражениядля оператора плотности в координатном, импульсном представлениях, в представлениях функций Вигнера и когерентных состояний и изучена их связь схарактеристическими функциями. Полученные формулы были применены дляописания движения частицы или систем частиц в магнитном поле.
Помимо7i,jбозонных систем, в работах авторов рассматривались ферми частицы. В квантовой оптике данный подход был применен, в частности, для описания оптического параметрического преобразования частоты вверх [67].Квазиклассические распределения (представление когерентных состояний(P-распределение), характеристические функции и функции Вигнера) являются, пожалуй, основными методами описания гауссовых (квадратичных) системв современной квантовой оптике и квантовой теории информации [25,26,65,104].В работе [109] Е.
Вигнер (E. Wigner) впервые ввел квазиклассическое распределение, позволившее построить квантовую аналогию функций распределенийклассической теории вероятностей, и получившее в дальнейшем название функции Вигнера. Функция Вигнера была получена позднее Мойалем (J.E. Moyal)из характеристических функций [92]. Стоит отметить, что функция Вигнера неявляется функцией распределения в полном смысле этого слова, поскольку может быть отрицательной. В работах Г.С. Агарвала (G.S. Agarwal) и Е.
Вольфа(E. Wolf) [30, 31] были построены многомодовые обобщения квазиклассическихпредставлений, их свойства для некоторых операторов плотности и нормально упорядоченные корреляционные функции операторов поля. Основываясь напредставлении Вейля, исследование математических свойств характеристических функций и их вида в случае гауссовых состояний изложено в монографииА.С.
Холево [26, Глава V]. Важную роль в методе характеристических функцийиграет ковариационная матрица системы и ее симплектический спектр, который позволяет вычислить энтропию фон Неймана системы и проанализироватьее сцепленность [34,68]. Тем не менее, вопрос о приведении оператора эволюциик нормально упорядоченной форме оказывается за рамками метода характеристических функций.Метод канонических преобразований, рассматривавшийся К.
Фридрихсом[61] и получивший продолжение в монографии Ф.А. Березина [6], с нашей точки зрения, является наиболее естественным инструментом для описания эволюции системы (1). Несмотря на то, что в монографии [6] рассматривалисьбесконечномерные системы, полученные результаты могут быть использованыв конечномерном случае. Метод позволяет обойти трудности связанные с поиском нормальной факторизации оператора эволюции, обладает устойчивостьюпри численных оценках, позволяет переходить к различным представленияммногомерных сжатых состояний, вычислять их композиции и скалярные произ8ведения, а также средние значения и дисперсии явным образом исключительночерез матрицы канонических преобразований.Цель диссертационной работыОсновной целью диссертационной работы является описание динамики ианализа свойств многомодовых сжатых состояний с использованием в качествематематического аппарата метода канонических преобразований для конечного числа взаимодействующих бозе-частиц как между собой, так и с внешними полями, а также анализ многомодовых связанных квантово-оптических параметрических взаимодействий: построение явного вида волновой функции впредставление взаимодействия, ковариационных матриц, моментов и их энтропийных характеристик.Научная новизна• Построено корректное нормально упорядоченное разложение оператораэволюции многочастичной квадратичной бозе-системы с использованиемматриц канонических преобразований.• Уточнены алгебраические выражения амплитуды и фазы нормальной факторизации для случаев вырожденной и невырожденной матрицы, задающей каноническое преобразование.• Введено понятие индекса, корректно определяющего скалярный член нормально упорядоченного разложения оператора эволюции квадратичнойсистемы – аналог индекса Маслова в квазиклассической теории.• Получены алгебраические выражения для скалярного произведения сжатых состояний и нормального символа сжатия.• Указан класс задач, точно решаемых для произвольного числа мод.• Вычислены энтропийные и информационные характеристики четырехмодового состояния света, генерируемого в апериодическом нелинейном фотонном кристалле.Защищаемые положенияОсновные результаты работы формулируются в терминах матриц канонических преобразований (2.2) состоят в многомерном обобщении формулы Киржница9Боголюбова (Леммы 2, 4), вычислении скалярного произведения сжатых состояний (Теорема 4) и матриц ковариации наблюдаемых в сжатых состояниях.На основе метода канонических преобразований в приближении поля классической накачки проведен анализ нелинейных оптических параметрическихпроцессов, происходящих в апериодическом нелинейном фотонном кристалле.Построен явный вид волновых функций в случае генерации трех и четырех модв кристалле.Вычислены энтропийные и информационные характеристики оптическихпараметрических процессов и на их основе проведен анализ сцепленности (перепутанности) генерируемых в процессах многомодовых состояний.Теоретическая и практическая значимость работыПолученные в диссертации результаты могут быть использованы в различных практических приложениях таких, как описание динамики многомодовыхоптических параметрических процессов, построения нормально упорядоченнойформы оператора, построения ортонормированного базиса сжатых состояний.Структура и объем работыДиссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения исписка литературы.
Объем диссертации 103 страницы, включая 5 рисунков.Библиография содержит 117 наименований, в том числе 5 авторских публикаций.Содержание работыВо Введении дан обзор литературы и история вопросов, рассматриваемыхв диссертационной работе, обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели диссертационной работы, перечислены основные защищаемыеположения, приведены ее структура и краткое содержание.В первой главе рассматривается теория сжатых состояний, описываемых гамильтонианом (1) при отсутствие операторов числа частиц.
Представлены явное аналитическое выражение для матриц канонических преобразований, нормально упорядоченная форма оператора сжатия, скалярное произведение сжатых состояний, представлена процедура построения базиса сжатых состояний.Описана процедура диагонализации многомодовых сжатий, основанная на факторизации Такаги симметричных матриц.В главе 2 представлены некоторые обобщения результатов из первой главы,учитывающие вклад оператора числа частиц и линейной части по операторам10рождения-уничтожения. Рассмотрена нормально упорядоченная форма унитарного оператора эволюции и введено понятие индекса нормальной факторизациисжатий, аналогичного индекса Маслова.Глава 3 посвящена физическим применениям математического аппарата, изложенного в первых двух главах.
Рассмотрены два примера связанных оптических параметрических взаимодействия. Первое взаимодействие включает всебя два процесса преобразования частоты вниз и один процесс смешения частот, протекающие в классическом поле двух волн накачки, которое может бытьрассмотрено в качестве источника трех-частотного сцепленного (перепутанного) состояния. Для этого процесса построен явный вид волновой функции иприведены некоторые статистические характеристики.Второе взаимодействие, состоит из одного процесса преобразования частоты вниз и одного процесса смешения частот и генерирует четырех-частотноесцепленное состояние.
Вычислена волновая функция процесса, в предположении того, что система в начальный момент времени находилась в вакуумномсостоянии. С помощью вычисления жордановой формы получены матрицы канонических преобразований, из которых следует выражение для ковариационных матриц, на основе которых вычисляются энтропийные и информационныехарактеристики взаимодействия, построены соответствующие графики.В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.В приложении приведены краткие сведения о гауссовых состояниях.Апробация работыРезультаты диссертационной работы обсуждались и отражены в тезисах идокладах следующих конференций:• "The Second International Conference on Mathematical Physics and Its Applications Samara, Russia, August 29 - September 4, 2010 //A.M.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
