Диссертация (1103504)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский Государственный Университетимени М.В. Ломоносова.Физический факультетКафедра квантовой статистики и теории поляна правах рукописиТлячев Тимур ВячеславовичМЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ВТЕОРИИ СЖАТЫХ СОСТОЯНИЙСпециальность: 01.04.02 — «теоретическая физика»Диссертацияна соискание учёной степеникандидата физико-математических наук.научный руководитель:д. ф.-м. наук, профессорЧеботарёв Александр МихайловичМосква2014ОглавлениеВведение . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Сжатые состояния и их свойства141.1 Канонические преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Композиция сжатий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 Средние значения квадратурных компонент и их ковариационныематрицы для сжатых состояний . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 Нормальный символ оператора сжатия . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Приведенная форма сжатого состояния . . . . . . . . . . . . . . . 271.6 Нормировка, координатное и импульсное представление сжатыхсостояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7 Скалярное произведение сжатых состояний .

. . . . . . . . . . . . 351.8 Базис сжатых состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9 Диагонализация многомодовых сжатий с помощью факторизацииТакаги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 Нормальная факторизация операторов эволюции квадратичных гамильтонианов и её следствия2.1 Канонические преобразования . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .2.2 Коммутационные соотношения матриц канонических преобразований и формула факторизации унитарного оператора . . . . . .2.3 Матричное уравнение Риккати и канонические преобразования .2.4 Обратные канонические преобразования . . . . . . . . . .

. . . . .2.5 Скалярный член st и проблема индекса . . . . . . . . . . . . . . .2.6 Алгебраическое построение скалярного члена st . . . . . . . . . .2.7 Скалярное произведение и нормальные символы композиции обобщенных сжатых состояний . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .2.8 Жорданова форма сжатия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24344464954566266702.9 Ковариационные матрицы квадратурных компонент, неравенствоШредингера-Робертсона и теорема Вилльямсона . . . . . . . . . .2.10 Класс точно решаемых задач . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .72763 Приложения к физическим моделям793.1 Квантово-оптические взаимодействия . . . . . . . . . . . . . . . . 793.1.1 Трехмодовое фотонное состояние в нелинейномоптическом кристалле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.1.2 Генерация четырех-частотного сцепленного состояния . . . 83Заключение91Приложение92Приложение A: Гауссовы состояния . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 92Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933ВведениеМетоды некоммутативного анализа применяются в современной теоретической физике для классификации уравнений с точки зрения симметрий физических систем, для построения точных решений и обоснования численных иасимптотических приближений. Ряд важных задач некоммутативной квантовой динамики был сформулирован и успешно решен в терминах многомодовыхсжатых состояний [25,50,51,104], которые описываются квадратичными гамильтонианами видаH=X(Aij a†i a†j + Bij a†i aj + Aij ai aj + hi ai + hi a†i ).(1)i,jУдобный метод анализа таких систем, был предложен Н.Н.

Боголюбовым вработе [8], связанной с описанием свойств сверхтекучести гелия-II и получившей продолжение в работе [9]. В статьях была приведена процедура перехода кквазичастицам, преобразующая специальный класс гамильтонианов (1) к диагональному виду, получившая название метода диагонализации Боголюбова.Однако, вопрос связанный с математическим обоснованием и возможностьюдиагонализации квадратичного гамильтониана в общем случае оставался зарамками этих работ. Оказалось, что процедура линейной диагонализации невсегда осуществима [7, 12, 46, 82] и для ее выполнения необходимо накладыватьдополнительные ограничения, которые оказываются существенными для задач,рассматриваемых в представлении взаимодействия. Метод диагонализации Боголюбова получил широкое применение в статистической физике, физике твердого тела и физике конденсированного состояния [1, 7, 10, 14, 76].С точки зрения квантовой оптики, квадратичные гамильтонианы (1) возникают в задачах связанных с изучением состояний света, генерируемых в интерферометрических и оптических системах.

Основополагающие работы в этойобласти были опубликованы Р. Глаубером (R. Glauber) [65], Дж. Клаудером (J.4Klauder) [77,78] и Е. Сударшаном (E. Sudarshan) [100], в которых были рассмотрены когерентные состояния, являющиеся квантовым аналогом монохроматической волны, излучаемой лазером, а также было введено в квантовую оптикуквазиклассическое P-распределение (представление когерентных состояний)оператора плотности.

Обобщение когерентных состояний и изучение их свойствполучили продолжение в монографии И.А. Малкина и В.И. Манько [19] и книгеА.М. Переломова [23], где рассматриваются их физические приложения.Помимо когерентных состояний, состояния, порождаемые оператором eiHt ,интересны в связи с потенциальной возможностью их использования для увеличения чувствительности физических приборов.

Первые теоретические работыпо этому вопросу были опубликованы Д. Холленхорстом (J. Hollenhorst) и К.Кейвсом (C. Caves) [37–39, 69], в которых для так называемых сжатых состояний была указана возможность увеличения чувствительности детекторовгравитационных волн, прямая регистрация которых на сегодняшний день остается не осуществленной (проект LIGO) и является одной из фундаментальныхпроблем современной физики.В середине 80-х годов задача экспериментальной генерации сжатых состояний была успешно решена с использованием четырехволнового смешения ипараметрического преобразования частоты вниз [80, 99, 114].В последние два десятилетия интерес к сжатым состояниям связан с изучением свойств сцепленности (перепутанности) квантовых состояний, необходимых для физической реализации квантовых протоколов передачи данных,квантовой телепортации и коммуникации, а также квантового контроля системнепрерывных переменных [62, 104, 113, 115].

Р. Саймон (R.Simon) [97] предложил обобщение критерия сепарабельности Переса-Городецких (Peres-Horodeckiseparability criterion) [71,72,94] квантовых систем для непрерывных переменных,который может быть применен к гауссовым состояниям. Работа [97] получилапродолжение в статьях [63, 64, 86, 87, 108].Математические и статистические свойства сжатых состояний и их обобщений, способы их приготовлений изучались в большом количестве работ, где, какправило, авторы задавались вопросом изучения небольшого количества мод: одномодовых или двухмодовых систем [21, 33, 40, 45, 48, 89, 96, 105, 114]. Одной изпроблем в многомодовом случае является построение нормально упорядоченной формы операторной экспоненты U = eiHt , которая позволила бы упростить5вычисления и получить факторизованный вид сжатого состояния, удобный длявычисления явного вида оператора плотности системы.Формулы факторизации экспонент от некоммутирующих операторов играют важную роль в задачах квантовой динамики, поскольку позволяют разложить действие операторной экспоненты на более простые составляющие.

Трудности, возникающие на этом пути, состоят в том, что в общем случае уравнениядля операторов, стоящих в экспоненте, нелинейны и нелокальны.Наиболее традиционным подходом факторизации операторных экспонентявляется метод Вея-Нормана [106], который применяется для разложения наmPсоставные части операторов эволюции от гамильтонианов вида H =si (t)hi ,i=1где si (t) являются функциями от переменной t ∈ R.

Операторы hi , не зависящиеот t, входят в подмножество генераторов {hi }nk=1 конечномерной алгебры Ли Lразмерности dimL = n. В этом случае справедлива теорема о локальной разрешимости задачи о факторизации, утверждающая, что существует окрестностьточки t = 0, в которой решение дифференциального операторного уравненияdUdt = H(t)U, U (0) = I, может быть представлено в видеU (t) = exp(g1 (t)h1 ) .

. . exp(gn (t)hn ),(2)при этомs1 (t)g1 (t)ξ11 · · · ξ1n  s2 (t)    g2 (t)  . = . , ..    ..  ξn1 · · · ξnnsn (t)gn (t)dg= ξ −1 s,dtg(0) = 0,(3)где s = (s1 (t), . . . , sn (t))T и g = (g1 (t), . . . , gn (t))T , а ξij являются аналитическими функциями от элементов g. Таким образом, теорема позволяет строитьразложения операторов eiHt в окрестности t = 0.Достоинством метода Вея-Нормана является его применимость для широкого класса гамильтонинанов, включающих в том числе и квадратичные, в томслучае, если система уравнений (3) разрешима. В частности, в работе [75] дляоператора (1) без линейной части по операторам рождения-уничтожения было6построено разложение оператора eiHt на произведение операторов двухмодового сжатия.На основе метода Вея-Нормана было факторизовано большое количествооператоров [95, с.

42-52], [36]. Тем не менее метод имеет два существенных недостатка:• метод не является чисто алгебраическим, хотя задача формулируется валгебраических терминах.• метод не гарантирует существования решения в ’целом’, хотя для квадратичных гамильтонианов таких проблем не должно возникать.Альтернативным подходом, позволяющим упорядочивать операторные экспоненты, является метод интегрирования упорядоченных произведений (integrationwithin ordered products) предложенный Х.-Ю. Фаном (H.-Y. Fan) [53–56].

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации