Автореферат (1103503), страница 2
Текст из файла (страница 2)
L. New formalism for two-photon quantum optics. II.Mathematical foundation and compact notation / B. L. Shumaker, C. M. Caves // Phys.Rev. A – 1985. – V. 31. – P. 3093-3111.7вычислена нормально упорядоченная форма оператора двухмодового сжатия. В квантовой оптике этот оператор описывает невырожденное параметрическое преобразование частоты вниз и играет важную роль в задачах генерации сцепленных состояний.Следующие два раздела посвящены различным формам и нормировкесжатых состояний, а также о координатному и импульсному представлениямсжатого состояния | , ⟩(︀ )︀||2√ ,(− )−1 (− √ ) − 1 (, )−−222 2√︀, () =, /4 det (Φ − Ψ ))︀(︀ (8)||2√ ,(+ )−1 (+ √ ) − 1 (, )−+2222√︀,̃︀, () = /4 det(Φ + Ψ )где = + и ветвь корня в знаменателе выбирается в правой полуплоскости, так как Φ > и |Ψ | 6 Φ .Формулы (8), в частности, позволяют вычислить скалярное произведениедвух сжатых состояний√︀(︀)︀4det( − ||2 )( − ||2 ) Im (,)+ 12 (ℎ,Ω−1ℎ)−,√︁⟨ , | , ⟩ =,(9)det( − )где = th || = Φ−1 = + , = th || = Φ−1 Ψ , Ψ , = + , Ω, = ( − )−1 + ( − )−1 − = Ω, .В заключение главы описана процедура построения ортонормированныхсистем сжатых состояний с помощью формулы скалярного произведения (9).В разделе 1.9 приведена процедура диагонализации многомодовых сжатий,основанная на факторизация Такаги симметричных матриц: = Λ ,1 = ( * ) 2 ,где Λ ≥ 0—диагональная матрица, а и унитарные матрицы такие , что = Λ *— разложение матрицы по сингулярным числам (т.
н. singular value decomposition или SVD). Показано, что если известна факторизация Такаги симметричной матрицы , то многомодовый оператор сжатия унитарно эквивалентен суперпозиции коммутирующих сжатий:−(† ,)11 †††2 (,)+(ℎ,)− 2 ( , )−(ℎ, )(† ,)=∏︁=1812† 2 2 ( −( ))Λ + −† ,(10)где = − ℎ.
= ,Во второй главе рассматриваются многомодовые гамильтонианы видаℋ = († , † ) + († , ) − (, ) + († , ℎ) − (, ℎ).22(11)Канонические преобразования в этом случае имеют вид(︂)︂(︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂ − ℎ− def−1=,= † = +,† ℎ†(︂ )︂ (12)(︂)︂(︂ )︂ ∫︁ (︂)︂(︂ )︂−ℎℎℎΦΨΦ Ψ=.== ,Ψ ΦΨ Φℎℎℎ0В лемме 4 доказана формула нормального упорядоченного разложенияоператора = ℋ выражается через Φ , Ψ , ℎ и ℎ :1†††† = − 2 ( , )−( , ) : ( ,(−))1: 2 (, )+(, ) ,(13)гдеΨ = − , = − = Ψ Φ−1Φ = − ,= , = Φ−1 Ψ = , = Φ−1 ℎ , = ℎ − ℎ .Скалярная функция , определяющая нормировку и фазу, вычислена тремя разными способами.
Первый способ – дифференцирование нормальнойупорядоченной формы ℋ и вывод матричных уравнений Риккати для матриц , , :˙ = + + − ,− ˙ − = ,˙ = ( − ) + ℎ − ℎ, −ℎ = − − ˙ ,}︂)︂∫︁ (︂ {︂1 = −Tr + ( , ) + ( , ℎ) .20(14)Трудности, связанные с выводом обыкновенных дифференциальных уравнений для матриц возникают в следствии некоммутативности операторов(† , ) и († , ˙ ) в случае ̸= 0, что является существенным отличиемформулы (13) от формулы (5), что отражено в доказательстве теоремы 6.В разделе 2.4 рассмотрены обратные канонические преобразования, задаваемые оператором − = −ℋ(︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂(︂)︂ (︂ )︂ (︂ )︂− defℎ−Φ− Ψ−→=− † =,(15)††† +Ψ− Φ−ℎ−−9которые связанны с каноническими преобразованиями (12) следующим образомΦ− = Φ* , Ψ− = −Ψ .Для них приведены формулы нормального упорядоченных разложений аналогичные формулам (13) и (14).В разделе 2.5 обоснованы два альтернативных способа построения скалярного члена в разложении (13).
Первый способ основывается на равенстве = ⟨0|ℋ |0⟩ и приводит к равенству, согласующемуся с (14).Недостатком формулы (14) в многомерном случае является низкая скорость численного интегрирования следа при компьютерных вычислениях,поэтому в диссертации уделено внимание выводу алгебраических формул,быстро исполняемых для матриц общего вида.В случае ℎ = 0 выражение для может быть записано в упрощеннойформе∫︁ ∫︁ Tr = Tr ( − ),(16)Tr =00−∫︀ 10 2Tr − 2 Tr √=.(±) det Φ(17)−111 †− 2 Tr ††√ |ℎ=0 = =− 2 ( , ) : ( ,(Φ −)) : 2 (, ) ,(±) det Φ(18)̂︀ 2 = († , † ) + († , ) − (, ).22Знак (±) выбирается с учетом непрерывности выражений (17)-(18) по . Дляэтой цели введено определение индекса нормальной формы сжатия.def ∑︀Определим () = 12 () ∈ (−, ], где () аргументы собственныхзначений () матрицы .
Пусть { } : 0 < 1 < 2 < · · · < () < моменты времени 2-скачков величины () из одной части (−, ] в другую завремя . Если () уменьшается, то скачок из − в положителен, если ()увеличивается, то скачок аргумента отрицателен. Тогда целесообразно ввестипонятие индекса и переписать выражение для нормально упорядоченной̂︀формы оператора 2 ℋ̂︀ 2 defInd(, ) = −∑︁sign(( + 0) − ( − 0)),(19) ∈(,)1− 2 Tr +Ind(0,) − 1 († , † ) († ,(Φ−1 −)) : 2 (, ) .√ 2:(20)=det ΦТаким образом, обеспечивается непрерывность скалярного члена разложения (20). Примеры непрерывной реконструкции функции фазы показаны наРис.
1.̂︀ 2 10Phase HMod 2ΠLExact phaseReconstructed phase2032015215101105050-1-40-2-5-20246-3-4-5-20246-4-2Phase HMod 2ΠLExact phase0246Reconstructed phase103105251000-5-5-1-10-2-15-4-3-4-3-2-10123-10-3-2-10123-15-4-3-2-10123Рис.1: Рисунки демонстрируют реконструкцию непрерывной фазовой функции методом,основанным на условии непрерывности по (mod2) (см. (19) и реализацию алгоритма вhttp://statphys.nm.ru/biblioteka/Demo/FactorS.nb).В разделе 2.6 при условии det ̸= 0 и ℎ ̸= 0, выведен алгебраический вариант формулы (14), позволяющий сократить время вычисления в тысячираз:̂︀ = ⟨0|−|0⟩ = ∫︀012 Tr +− 2 Tr += √,det Φ11 = (, ( − )) − (, ( − )) + (, (Φ−1 − − ))|(ℎ,ℎ) ,22(︂)︂(︂ )︂ℎ(ℎ, ℎ)−1=.ℎ(ℎ, ℎ)Раздел 2.7 посвящен аналитическому вычислению для вырожденных в общем случае матриц матричных экспонент, входящих в (12) , − и −−, с помощью Жорданова разложения.2В разделе 2.8 вычислен явный вид ковариационной матрицы в терминахматриц канонических преобразований1 = ⟨{ , }⟩ − ⟨ ⟩⟨ ⟩,2(︂)︂*1(Φ + Ψ )(Φ + Ψ )[(Φ + Ψ )(Φ* − Ψ ) − ] =,(Ψ − Φ )(Ψ − Φ* )2 [(Ψ − Φ )(Ψ + Φ* ) + ](21)(22)где = (1 , 2 , .
. . , , 1 , 2 , . . . ) , а средние берутся в состояниях −ℋ .Основываясь на теореме Вилльямсона, построено симплектическое разложе-11ние ковариационной матрицы )︂)︂(︂(︂ 1/21 1−− 1/2= 2 2 , 2 =, =0 −1/22 − + −12 = (Φ + Ψ )(Φ* + Ψ ), = [ −1 − (Φ* + Ψ )−1 (Φ* − Ψ )].(23)Симплектичность матриц 2 понимается в обычном смысле(︂)︂0 2 2 = , =.− 0Эти формулы в дальнейшем играют существенную роль при вычислении энтропии и других характеристик, позволяющих анализировать сцепленностьсостояний, генерируемых в нелинейных оптических параметрических процессах, рассматриваемых в Главе 3 диссертации.По аналогии с первой главой в разделе 2.9 введено понятие приведенногосжатого состояния†1††ℋ |⟩ = −( , )− 2 ( , ) |0⟩,(24)2||1где = − Φ−1 , = + ( , ) + 2 (, ) − 2 , и вычислено скалярноепроизведение, нормальные символы композиций обобщенных сжатых состояний:)︀(︀−11∫︁ − (+ √1 Ω−1√),Ω(+Ω)122 122 1212√︁ = √︁,⟨1 , 2 ⟩|ℒ2 = 12 2 det( − 1 ) det( − 2 )det( − 1 2 )Ω12 = Ω12 = ( − 1 )−1 + ( − 2 )−1 − = ( − 1 )−1 ( − 1 2 )( − 2 )−1 ,1 (︀1 (︀112 = 1 + 2 − (1 , ( − 1 )−1 1 ) − (2 , ( − 2 )−1 2 ) + (, Ω12 ),222где Ω12 = Ω12 (), 12 = 12 (), а = (), = () являются элементамиприведенных форм (24), соответствующим сжатым состояниям 1 и 2 , атакже введены матрицы = − Φ−1 .В последнем разделе главы 2 в случае, когда матрица = − 2 невырождена и выполнено коммутационное соотношение = , построены точные аналитические выражения матриц канонических преобразованийΦ , Ψ через спектральное разложение эрмитовой матрицы .Глава 3 посвящена задачам квантовой оптики, связанным с оптическимипараметрическими процессами и допускающим точные решения с помощьюметода канонических преобразований.
На базе метода канонических преобразований, описанного в предыдущих главах, вычисляется вектор состоянияв представлении взаимодействия квантовых оптических взаимодействий, ихстатистические, энтропийные и информационные характеристики, которые12дают возможность проанализировать свойства сцепленности (перепутанности) состояний, генерируемых в этих процессах.Первое взаимодействие описывает два процесса параметрического преобразования частоты вниз и один процесс смешение частот = 1 + 2 ,2 = 2 = 2 + 3 ,1 + = 3 ,(25)где , 2 – частоты накачки, а частоты 1 , 2 , 3 генерируются в ходе взаимодействия. Этот процесс может быть, в частности, реализован в нелинейномфотонном кристалле.В приближении медленно-меняющихся амплитуд полей и предположенииклассической накачки, гамильтониан взаимодействия рассматриваемой системы, может быть записан в виде2 = ~[1 (†1 †2 − 1 2 ) + 2 (†2 †3 − 2 3 ) + (1 †3 − †1 3 )],(26)где † , , ( = 1, 2, 3) операторы рождения и уничтожения фотонов с частотами ; 1,2 – нелинейные коэффициенты связи соответствующие процессампреобразования частоты вниз, – нелинейный коэффициент связи соответствующий преобразованию частоты вверх.Предполагая, что в начальный момент система находилась в вакуумномсостоянии |(0)⟩ = |0⟩1 ⊗ |0⟩2 ⊗ |0⟩3 , вычислен явный вид компонент волновойфункции взаимодействия |()⟩ ∈ ℓ⊗32 в зависимости от времени(︁ th )︁ √︀∑︁12 |⟩ ⊗|+⟩ ⊗|⟩ ,+(th 1 ) −|()⟩ = √︀12322cosh1cosh 1 cosh 2 ,где параметры = () выражаются аналитически через канонические преобразования, порождаемые гамильтонианом (26), которые из-за громоздко!.сти опущены в автореферате, а = !(−)!Второе взаимодействие рассмотрено в разделе 3.2.2 и включает в себя одинпараметрический процесс преобразования частоты вниз и два процесса смешения частот: = 1 + 2 , 1 + = 3 , 2 + = 4 .(27)Аналогично взаимодействию (25) гамильтониан, описывающий процессы (27),можно записать в виде3 = ~[(†1 †2 − 1 2 ) + 1 (†3 1 − †1 3 ) + 2 (†4 2 − †2 4 )].2(28)Chirkin, A.
S. Statistic and information characterization of tripartite entangled states /A. S. Chirkin, M. Yu. Saigin // J. Russian Laser Research – 2007. – V. 28. – P. 505-515.3Chirkin, A. S. Parametric amplification at low-frequency pumping and generation of fourmode entangled states / A. S. Chirkin, M. Yu. Saigin, I.V. Shutov // J. Russian Laser Research– 2008. – V. 29. – P.
336-346.13Аналитическим образом вычислены матрицы канонических преобразованийи показано, что эффективный энергетический обмен между взаимодействующими волнами в (27) существуют при условии ≥ 1 + 2 .(29)Аналогично разделу 3.2.1 вычислена зависимость волновой функции отвремени, при условии начального вакуумного состояния:4−|()⟩ = ⨂︁1− 12 († ,− † )|(0)⟩ = √︀|0⟩det Φ*=1(30)∑︁1 (, , , )| + ⟩1 ⊗ | + ⟩2 ⊗ | + ⟩3 ⊗ | + ⟩4 ,= √︀det Φ* ,,,где√︁ .
(, , , ) = (12 ()) (34 ()) (14 ()) (23 ()) ++ + +В конце этого раздела приведены вычисления информационно-этропийных характеристик процесса (27), следующие из симплектических раложенийковариационных матриц. Графики зависимости энтропий (1), (2), (3), (4),(12 ) = (34 ), (13 ) = (24 ), (14 ) = (23 ) от времени приведенына Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
