Диссертация (1103493), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Центр этойсистемы координат совпадает с положением звезды, ее координаты (0, 0). Планетарасположена в координатах (α0, β0) на угловом расстоянии ρ0 = (α20 + β20 )1/2 отзвезды. Наблюдения выполняются с помощью телескопа диаметром D,представляемого в последующем дифракционном анализе круглым зрачком.Оптическая ось схемы телескоп-интерферометр направлена на звезду, поэтомузвезду считаем осевым источником, планету – неосевым.51Обозначим оси координат в плоскости зрачка через ξ и η.
Апертурнаяфункция P(ξ, η) описывает дифракцию на конечной апертуре – круглом зрачкетелескопа. Обозначим через x и y оси декартовой системы координат в фокальнойплоскости, тогда позиционные углы (координаты на небесной сфере) выражаютсяследующим образом:α = x/F,β = y/F,(1)где F – фокусное расстояние телескопа. Для плоской волны единичнойнапряженности, распространяющейся перпендикулярно к плоскости зрачка,амплитуда в плоскости изображения A(α, β) – это отклик телескопа на осевойточечный источник, и она может быть записана следующим образом:1 α β̂ ( , ),A(α, β) = Pλ λ λ(2)̂ обозначает двумерный Фурье-образ функции P, λ – длина волны.где PПри вращении волнового фронта в плоскости зрачка на угол ψ координатыамплитуды в плоскости изображения претерпят изменения, описываемыеαcos ψ sin ψдействием матрицы поворота () на вектор (β).
После выполнения− sin ψ cos ψвращения на угол ψ, изменим обозначение A(α, β) на Aψ (α, β):Aψ (α, β) = A(α cos ψ + β sin ψ , −α sin ψ + β cos ψ).(3)Неосевой точечный источник, расположенный в точке с кооординатами(α0 , β0 ), после вращения волнового фронта на угол ψ создает отклик Aψ (α −α0 , β − β0 ) в фокальной плоскости.Как следует из принципа действия ахроматического интерференционногокоронографа с переменным вращательным сдвигом, вращение на угол ψ состоит издвух полувращений на ψ/2 в обоих плечах в разных направлениях, что несколькоупрощает математические выкладки. Положим, что оптика идеальна, так что длякаждого делителя света коэффициенты отражения и пропускания по амплитудеравны. Так как каждый луч испытывает по два отражения и преломления, тоамплитуды светлого и темного (коронографического) выходов определяются52прохождением половины света.
Амплитуды на двух выходах интерферометразапишутся следующим образом:Bright/DarkAψ1(α, β) = (Aψ (α − α0 , β − β0 ) ± A ψ (α − α0 , β − β0 )),−2 22(4)где индексы ψ/2 и −ψ/2 означают вращение на угол ψ/2 в каждом из плеч,плюс и минус внутри скобок в формуле – это плюс для светлого выходаBrightAψ(α, β), на котором волны складываются синфазно, и минус для темного(α, β), на котором волны складываются в(коронографического) выхода ADarkψпротивофазе. Интенсивность излучения на выходах коронографа получаютсявозведением в квадрат соответствующего выражения для амплитуды.Для осевого источника распределения амплитуд Aψ/2 (α, β) и A−ψ/2 (α, β) вовремявращения остаются геометрически совмещеныв силу вращениясимметричного амплитудного распределения вокруг центра симметрии.
Приидеальных условиях, определенных нами в начале изложения, эти функцииидентичны и свет звезды погашается на темном выходе.Как описано в начале главы, звезду и планету мы считаем пространственнонеразрешимыми световыми источниками, расстояние между которыми оптическиразрешимо с помощью используемого телескопа диаметром . В этом случаеотклик телескопа на точечный источник (формула 2) имеет вид [114]:2 (α,2J1 (πDρ/λ) 2β) = () ,πDρ/λ(5)2 (α,DJ1 (πDρ/λ) 2β) = () ,2ρ(6)AAгде ρ = (α2 + β2 )1/2 , функция 1 () – функция Бесселя первого рода первогопорядка. Данные формы записи функции рассеяния точки (функции Эйри)отличаютсямножителем(4/)2 ,которыйостанетсяпостояннымкоэффициентом в дальнейшем анализе. Ниже будет использоваться вторая формазаписи функции рассеяния точки (формула 6), так как при этом на различныхэтапах анализа становится удобнее интерпретировать получаемые формулы через53ψэффективный диаметр телескопа Dsin , а также сравнивать результаты,2полученные с различным набором параметров, между собой в терминахэффективной площади объектива (главного зеркала телескопа) D2 sin2ψ2.Интенсивность света в плоскости изображения на светлом и темном(коронографическом) выходах для двух копий изображения неосевого источника(планеты) выразятся следующим образом:Bright/Dark(α, β)Iψ=Bright/Dark(α, β))(Aψ2=21= (Aψ (α − α0 , β − β0 ) ± A ψ (α − α0 , β − β0 )) =−4 22(7)1ψψ= |A (α − ρ0 cos , β − ρ0 sin )422ψψ 2± A (α − ρ0 cos , β + ρ0 sin )| ,22где аналогично формуле 4 плюс и минус внутри скобок в формуле – это плюсBrightдля светлого выхода Iψ(α, β), на котором волны складываются синфазно, иDark(α, β), на котором волныминус для темного (коронографического) выхода Iψскладываются в противофазе.Для двух копий изображения неосевого источника (планеты) вращение всхеме коронографа сдвигает центры изображений по круговым траекториямрадиуса ρ0 = (α20 + β20 )1/2 .
Чем больше значение ρ0 , тем более разнесеныизображения при том же угле поворота. Расстояние между их центрами составляетψ2ρ0 sin . Центры двух копий изображения планеты имеют декартовы координаты2α = ρ0 cosψ2ψи β = ±ρ0 sin . А так как в оптической схеме происходят два2вращения на ψ/2 в разных направлениях, то перемещение изображенийпроисходит перпендикулярно (симметрично) направлению из центра на неосевойисточник (планету). Наблюдаемые интенсивности двух копий изображениянеосевого источника (планеты) на темном и светлом выходах различаютсянезначительно, отличия становятся заметны при малом угле вращательного сдвига,54как это можно видеть из примера на рисунках 31, 32, 33, 34 для планеты нарасстоянии 12λ/D от звезды, что соответствует наблюдаемому угловомурасстоянию между Солнцем и Юпитером, удаленным на расстояние 10 парсек инаблюдаемым с помощью 2.4-метрового телескопа на длине волны 0.5 мкм.Следует отметить, что и темный, и светлый выходы содержат также звездный свет,при этом светлый выход (справа на рисунках) засвечен непогашенным излучениемзвезды, яркость которой на много порядков превосходит яркость планеты, что непоказано на этих рисунках.
Белым плюсом обозначено положение звезды. Каждаяиз копий изображения планеты на темном выходе исследованного в работекоронографа содержит максимум 14% планетного света, собранного телескопом, очем подробнее см. п. 2.3. Изображения получены в результате моделирования вMATLAB.Рисунок 31 – Изображение двух копий неосевого источника (планеты) на темном (слева) исветлом (справа) выходах ахроматического интерференционного коронографа с переменнымвращательным сдвигом.
Угловое расстояние между звездой и планетой 12λ/D. Уголвращательного сдвига 180°55Рисунок 32 – Изображение двух копий неосевого источника (планеты) на темном (слева) исветлом (справа) выходах ахроматического интерференционного коронографа с переменнымвращательным сдвигом. Угловое расстояние между звездой и планетой 12λ/D. Уголвращательного сдвига 90°Рисунок 33 – Изображение двух копий неосевого источника (планеты) на темном (слева) исветлом (справа) выходах ахроматического интерференционного коронографа с переменнымвращательным сдвигом. Угловое расстояние между звездой и планетой 12λ/D. Уголвращательного сдвига 45°56Рисунок 34 – Изображение двух копий неосевого источника (планеты) на темном (слева) исветлом (справа) выходах ахроматического интерференционного коронографа с переменнымвращательным сдвигом.
Угловое расстояние между звездой и планетой 12λ/D. Уголвращательного сдвига 10°2.3 Пропускание света планетыДля описания и расчета амплитуд волн в плоскости зрачка интерферометраудобнее использовать не декартовы, а полярные координаты (r, θ), в которых ξ =r cos θ, η = r sin θ. Для точечного источника, расположенного в координатах α0 =ρ0 cos φ0 и β0 = ρ0 sin φ0 на небесной сфере, множитель ехр(−2iπλ(α0 ξ + β0 η)) вформуле напряженности плоской монохроматической волны, отвечающий занаклонный входящий волновой фронт, запишется в виде ехр(−2iπλρ0 r cos(θ − φ0 ))в соответствующих полярных координатах (r, θ).При вращении волновых фронтов вокруг оптической оси на угол ±ψ/2 вψзависимости от плеча необходимо изменить cos(θ − φ0 ) на cos(θ − φ0 ± ) и2ψP(r, θ) на P(r, θ ± ).
Обозначим через A1 и A2 волны в плечах интерферометра:21ψ −i2πρ r cos(θ−φ0 −ψ/2)A1 = P (r, θ − ) e λ 0,22(8)571ψ −i2πρ r cos(θ−φ0 +ψ/2)A2 = P (r, θ + ) e λ 0.22ψψ22Причем P(r, θ − ) ≡ P(r, θ + ) в силу сделанных нами допущений. Тогдараспределение амплитуды волн на светлом и темном выходах можно записатьследующим образом:A+ = A2 + A1 = P(r, θ) cos(ω1 )e−iω2 ,−A = A2 − A1 = iP(r, θ) sin(ω1)e−iω2,2πψρ0 r sin sin(θ − φ0 ),λ22πψω2 =ρ0 r cos cos(θ − φ0 ).λ2(9)ω1 =(10)DarkТеперь можно переписать выражение для функции Iψв полярныхкоординатах:2πψDark(r, θ, ρ0 , φ0 ) = |P(r, θ)|2 sin2 [ ρ0 r sin sin(θ − φ0 )] =Iψλ214πψ= |P(r, θ)|2 (1 − cos [ ρ0 r sin sin(θ − φ0 )]).2λ2(11)Для осевого точечного источника (звезды) интенсивность будет нулевойнезависимо от величины угла вращения оптического изображения ψ, все егоизлучение попадает в светлый выход, тогда как неосевой источник (планета) будетвиден на темном выходе (в виде двух копий) при ненулевом угле ψ.Свет от неосевого источника (планеты) разделяется на выходе на две части.Часть этого света в темном выходе получена интегрированием интерференционнойкартины в плоскости зрачка.
Переходя к потоку (площадь зрачка обозначается S) ииспользуя вторую из форм записи формулы 11, получаем:Dark(ρ0 , φ0 ) =Φψ=1{∬|P(r, θ)|2 rdrdθ2S− ∬|P(r, θ)|2 cos [(12)4πψρ0 r sin sin(θ − φ0 )] rdrdθ}.λ258Полагаем, что зрачок неаподизованный, то есть не используются ниамплитудные, ни фазовые маски, тогда |P(r, θ)|2 = P(r, θ). После интегрированияполучаем:112ρψπDark̂ ( 0 sin , φ0 + )]}.(ρ0 , φ0 ) = {1 − Re [PΦψ2Sλ22Аргументφ0 +π2показывает,чтоинтерференционные(13)полосыперпендикулярны к направлению на неосевой источник.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
