Диссертация (1103493), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Выражение для потока насветлом выходе получается заменой плюса на минус в формуле 13.Для круглого зрачка диаметром D коэффициент пропускания T(ρ) светанеосевогоисточника(планеты)на темном (коронографическом) выходевыражается следующим образом:2πψ1 J1 ( λ ρD sin 2 )T(ρ) = −.2πψ2ρD sin2λ(14)Эту зависимость можно получить также путем численного расчета –интегрированием распределения интенсивности света двух копий неосевогоисточника (планеты) на темном выходе коронографа (формула 7). Примерыраспределения амплитуды и интенсивности двух копий изображения планетыприведены на рисунках 35, 36, 37, 38 для различных значений наблюдаемогоуглового расстояния между звездой и планетой ρ0 при угле вращательного сдвигаψ = 45°.
Из рисунков видно, что с увеличением значения ρ0 увеличиваетсяψрасстояние между двумя копиями планеты (2ρ0 sin , см. п. 2.2) и увеличивается2количество планетного света на темном выходе коронографа, достигая максимумав 56% около 2λ/D, а при дальнейшем увеличении колеблется около 50%.Распределения амплитуд (слева на рисунках) для двух копий изображены сразными знаками, чтобы подчеркнуть разность по фазе π между ними.Распределения интенсивности (справа на рисунках) смоделированы без учетавклада звездного света. Пунктирная линия в левой части рисунков соответствуетмодулю суммы амплитудных распределений. Изображения получены в результатемоделирования в MATLAB.59Рисунок 35 – Распределение амплитуды (слева) и интенсивности (справа) света двухкопий планеты на темном выходе коронографа. Вращательный сдвиг 45°.
Угловое расстояниемежду звездой и планетой 0.5λ/D. Количество прошедшего планетного света 8%Рисунок 36 – Распределение амплитуды (слева) и интенсивности (справа) света двухкопий планеты на темном выходе коронографа. Вращательный сдвиг 45°. Угловое расстояниемежду звездой и планетой 1λ/D. Количество прошедшего планетного света 28%Рисунок 37 – Распределение амплитуды (слева) и интенсивности (справа) света двухкопий планеты на темном выходе коронографа. Вращательный сдвиг 45°.
Угловое расстояниемежду звездой и планетой 2λ/D. Количество прошедшего планетного света 56%60Рисунок 38 – Распределение амплитуды (слева) и интенсивности (справа) света двухкопий планеты на темном выходе коронографа. Вращательный сдвиг 45°. Угловое расстояниемежду звездой и планетой 4λ/D. Количество прошедшего планетного света 48%График пропускания свет от неосевого источника T(ρ) изображен на рисунке39 при различных значениях угла поворота изображения ψ. Для темного(коронографического) выхода коэффициент пропускания колеблется околозначения 0.5 после достижения максимального значения 0.566. Следует заметить,что максимальное значение пропускания 56.6%, рассчитываемое по этой формуле,на самом деле соответствует пропусканию 28.3% планетного света (по 14% накаждую из двух копий) в силу особенностей исследованной в работе оптическойсхемы коронографа – на его входе установлены два поляризационныхсветоделителя, так что собираемый телескопом неполяризованный свет планетыполяризуется линейно и при этом дополнительно делится пополам на первом изних.
Оптическая схема подробно описана в главе 3. Для угла вращательного сдвигаψ = π максимум достигается при ρ = 0.81λ/D, наименьший рабочий уголсоставляет 0.38λ/D (пропускание 0.5 отмаксимального значения). Приуменьшении угла ψ кривая растягивается с коэффициентом 1/sin(ψ/2) иувеличиваетсязначениенаименьшегорабочегоугла,которое напрямуюограничивает то, насколько близкие к звезде планеты могут быть обнаруженыкоронографом. Как было сказано в п. 1.4.6, наименьший рабочий угол (innerworking angle, IWA) – это минимальное угловое расстояние между звездой ипланетой, которое возможно разрешить с помощью коронографа, и онопределяется, как угловое расстояние между звездой и планетой, при котором61величина пропускания света планеты уменьшается вдвое от максимальногозначения. На рисунке 40 приведена зависимость значений наименьшего рабочегоугла IWA от угла вращательного сдвига ψ.Рисунок 39 – Зависимость пропускания света неосевого источника (планеты) на темном выходекоронографа от углового расстояния между осевым и неосевым источниками (звездой ипланетой) для значений угла вращательного сдвига 180°, 90°, 45°, 22.5° и 10°Рисунок 40 – Зависимость наименьшего рабочего угла IWA ахроматическогоинтерференционного коронографа с переменным вращательным сдвигом от углавращательного сдвигаИз формулы 14 и рисунков 39, 40 следует, что значение угла поворотаизображения ψ можно подобрать таким образом, чтобы добиться максимальногокоэффициента пропускания планетного света на темном выходе коронографа для62заданного (известного или предполагаемого) углового расстояния между звездой ипланетой.
Например, наблюдается стандартная система Солнце-Земля срасстояния в 10 парсек на длине волны 0.5 мкм с помощью телескопа диаметром2.4 м и целью является обнаружение экзо-Земли. Видимое угловое расстояниемежду планетой и звездой при этом составляет около 2.3λ/D. В этом случаенаибольший коэффициент пропускания света планеты (28%) достигается при углевращательного сдвига ψ ≈ 41°. В случае с экзо-Юпитером, находящимся примернов 5 раз дальше от Солнца (угловое расстояние от звезды 12.1λ/D), условиенаибольшего пропускания света планеты на темном выходе выполняется при углевращательного сдвига ψ ≈ 7.5°.Однако наиболее важное значение применения переменного вращательногосдвига по сравнению с фиксированным поворотом на 180° состоит в том, чтобыуменьшить фоновую засветку остаточным звездным светом, а не максимизироватьколичество собираемого планетного света.2.4 Остаточный звездный свет и увеличение эффективности погашениязвездыДля круглого зрачка в полярных координатах возможно получить простоевыражение для фоновой засветки, порожденной неполным погашением светазвезды конечного наблюдаемого углового диаметра Θ.
Переходя к удельнойвеличине остаточного света (площадь поверхности звезды πΘ2 /4), получаем:πψΘJ0 ( ΘD sin ) − 12412λ−(ρ)dρ = + 2λ2LDark∙ 2π ∫ ρΦψ.ψ (Θ) =2ψπΘ222220π Θ D sin2(15)Полагая, что угловой размер звезды Θ очень мал, разложение в конечный рядБесселя позволяет выразить величину фоновой засветки остаточным светомследующим образом:LDarkψ (Θ)π2 Θ2 2 2 ψ≅D sin .32λ22(16)63Чтобы вывести данную величину, нам понадобится выражение дляинтенсивности, создаваемой в фокальной плоскости точечным источником оченьблизким к оси – направлению на осевой источник (звезду), расположенном в точке(ρ0 , θ0 ). Воспользуемся формулой 10. Полагая, что ω1 ≪ 1 и ω2 ≪ 1, получимsin(ω1 ) e−iω2 ≅ ω1 . Соответственно, амплитуда АDark (r, θ) в плоскости зрачкавыразится следующим образом:2πψρ0 r sin sin(θ − φ0 ).λ2Фурье-преобразование выражения 17,ADark (r, θ) ≅ iP(r, θ)Выполним(17)чтобыполучитьинтенсивность, создаваемую близким к оси точечным источником.
Полагаем, чтоP(r, θ) = P(r), и переходим к полярным координатам:1 ρ̂Dark (ρ, φ) = P̂ ( , φ) ≅Aλ λ2π2π2πψ ∞ 2−i ρr cos(θ−φ))≅ i 2 ρ0 sin ∫ r P(r) ∫ sin(θ − φ0 e λdθdr.λ2 00(18)Следующий шаг – вычисление интеграла с заменой переменных θ′ = θ − φ,при которой sin(θ′ + φ − φ0 ) = cos(θ′) sin(φ − φ0 ) + sin(θ′) cos(φ − φ0 ).̂Dark (ρ, φ) ≅ iAD22π−i∙ ∫ r ∫ cos(θ′ ) e022πψρsinsin(φ − φ0 )λ2 022πρr cos(θ′ ′)λdθ′ dr(19)=0D22πψπDρ= −2π 2 ρ0 sin sin(φ − φ0 ) ∫ r 2 J1 () dr =λ2λ0πD2 ρ0ψπDρ=−sin sin(φ − φ0 )J2 ().2λ ρ2λИспользуем этот результат и выполним интегрирование I Dark (ρ, φ) =̂Dark (ρ, φ)]2 по координатам точечных источников (ρ0 , θ0 ), составляющих звезду[Aконечного углового диаметра Θ. В результате получим остаточный (не полностьюDarkпогашенный из-за конечного физического размера источника) свет IResidualзвездына темном (коронографическом) выходе:64Θ2 2 ψ J22 (πDρ⁄λ)=sin ( ),42ρ2(20)π2 D4 Θ2 2 ψ J22 (πDρ/λ)=sin ( ),64λ22ρ2(21)Dark(ρ, φ)IResidualDark(ρ, φ)IResidualгде функция J2 (x) – функция Бесселя первого рода второго порядка.
Двеформы записи выражения для фоновой засветки соответствуют двум формамзаписи функции рассеяния точки, формулы 5 и 6.Как видно из формулы 20, количество остаточного света пропорциональноквадратусинусаполовинногоуглавращательногосдвигаоптическогоизображения в схеме коронографа. То есть можно эффективно использовать малыезначения угла поворота вместо фиксированного поворота на 180°, чтобы напорядок и более (при углах менее 40°) ослабить фоновую засветку остаточнымзвездным светом.2.5 Коронографическое изображение звезды и планетыПолное математическое выражение для интенсивности изображения звездыи планеты, получаемого на темном (коронографическом) выходе ахроматическогоинтерференционного коронографа с переменным вращательным сдвигом выглядитследующим образом:I(α, β) =Θ2 2 ψ J22 (πDρ⁄λ) εsin+ ×42ρ24ψψ× [A (α − ρ0 cos ( + ) , β − ρ0 sin ( + ))22(22)ψψ 2− A (α − ρ0 cos ( − ) , β − ρ0 sin ( − ))] .22В формуле 22 первое слагаемое соответствует остаточному (не полностьюпогашенному из-за конечного физического размера источника) свету звезды,второе слагаемое – свету от двух копий изображения планеты, функция Aопределена формулой 6.
Параметр определяет положение планеты на орбите иравняется 0…2π (см. рисунок ). Коэффициент ε представляет собой отношениеинтенсивностей излучения звезды и планеты и определяется как:65rplanet 2sin + (π − ) cos ε = Ag ∙ () ∙∙ ().aπ(23)В формуле 23 rplanet – радиус планеты, a – расстояние от планеты до звезды(радиус орбиты, если орбита круговая), – фазовый угол.
Последний множительпредставляет собой фазовую функцию при том допущении, что поверхностьпланеты (атмосферы) изотропно рассеивает по закону Ламберта, и равняется 1/πпри максимальной элонгации, когда = π/2. Ag – геометрическое альбедо планеты,для Земли и Юпитера геометрическое альбедо равняется 0.367 и 0.52соответственно.Рисунок 41. Фаза планеты на орбите и фазовый угол На рисунках 42 и 43 приведены смоделированные по формуле 22коронографические изображения системы Солнце-Юпитер, наблюдаемой срасстояния в 10 парсек телескопом диаметром 2.4 метра на длине волны λ0 = 0.5мкм (рисунок 42) либо в диапазоне длин волн 0.35…0.85 мкм (рисунок 43). Притаких условиях наблюдаемое угловое расстояние между Солнце и Юпитеромсоставляет 0.52 угловой секунды (12.1λ0 /D).
Угол вращательного сдвигасоставляет 7.5°, при котором достигается максимальное пропускание планетногосвета на темном выходе, а именно 28% – по 14% на копию. На рисунке 44приведено смоделированное коронографическое изображение Солнечной системы(Солнце и планеты-гиганты) при тех же параметрах. Наклонение (угол междунормалью к плоскости орбит планет и лучом зрения) равно нулю.66Рисунок 42 – Остаточная засветка от Солнца и две копии Юпитера на темном выходеахроматического интерференционного коронографа с переменным вращательным сдвигом.Удаление 10 парсек, телескоп 2.4 м, λ = 0.5 мкм, вращательный сдвиг 7.5°Рисунок 43 – Остаточная засветка от Солнца и две копии Юпитера на темном выходеахроматического интерференционного коронографа с переменным вращательным сдвигом.Удаление 10 парсек, телескоп 2.4 м, λ = 0.35…0.85 мкм, вращательный сдвиг 7.5°67Рисунок 44 – Остаточная засветка от Солнца и изображения планет-гигантов Солнечнойсистемы (Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун) на темном выходе ахроматическогоинтерференционного коронографа с переменным вращательным сдвигом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
