Диссертация (1103461), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Âåëè÷èíó δ â âûðàæåíèè (2.44) âûáåðåìÔóíêöèÿ β(x, ε) íå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé. Ïðîèçâîäíàÿòàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñëåäóþùåå óñëîâèå4.dβ (−) dβ (+) −> 0.dx x=xβdx x=xβÒàêîìó íåðàâåíñòâó äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü âåðõíåå ðåøåíèå, åñëèîíî íå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïðè x = xβ (ñì. çàäà÷ó (1.20) èç ãëàâû 1è îïðåäåëåíèå âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé äëÿ ýòîé çàäà÷è).defÂâåäåì ðàñòÿíóòóþ ïåðåìåííóþ ξβ =65x − xβ.εÔóíêöèè β (−) è β (+) áóäåì ñòðîèòü êàê ìîäèôèêàöèè ñóìì(−)(+)Un+2 , Un+2 , îïðåäåëåííûõ â (2.43):(−) (−)(−)β (−) (x, ε) = Un+2 + εn+1 µ(−) (x) + q0 (ξβ ) + εq1 (ξβ ) , (2.46)ξβ0 6 x 6 xβ , ξβ 6 0;(+) (+)(+)β (+) (x, ε) = Un+2 + εn+1 µ(+) (x) + q0 (ξβ ) + εq1 (ξβ ) ,ξβxβ 6 x 6 1,(∓) Çäåñü Un+2 ξβξβ > 0.
ýòî ñóììû (2.43) ïðè k = n + 2, â êîòîðûõàðãóìåíòû ξn+3 è Xn+3 çàìåíåíû, ñîîòâåòñòâåííî, íà ξβ è xβ .(∓)(∓)Ôóíêöèè µ(∓) (x), q0 (ξβ ) è q1 (ξβ ) âûáèðàþòñÿ òàêèì îáðàçîì,÷òîáû âûïîëíÿëèñü äèôôåðåíöèàëüíûå íåðàâåíñòâà 14.Ôóíêöèè µ(∓) (x) îïðåäåëèì êàê ðåøåíèÿ çàäà÷−1 dµ(∓) + W (∓) (x)µ(∓) = R · A(∓) (x)dxµ(−) (0) = R(−) ;(2.47)µ(+) (1) = R(+) ,ãäå R, R(−) , R(+) íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå âåëè÷èíû, à ôóíêöèÿ W (∓) (x) îïðåäåëåíà âûðàæåíèåì (2.29).Ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ ìîæíî âûïèñàòü â ÿâíîì âèäå−S (−) (x)µ(−) (x) = R(−) eZx −S (−) (x)+R·e(−)A(s)−1eS(−) (s)eS(+) (s)ds; (2.48)0µ(+) (x) = R(+) e−S(+) (x)+ R · e−SZx (+) (x)166(+)A(s)−1ds.ÇäåñüS(−)Zx(x) =(2.49)W (−) (x0 )dx0 ,0S (+) (x) =ZxW (+) (x0 )dx0 .1Ôóíêöèè µ(∓) (x) ïðèíèìàþò ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðè x ∈ [0, 1]â ñèëó íåðàâåíñòâ èç óñëîâèÿ (A1): A(−)(+)(x) > 0, A(x) < 0, âû-ïîëíåííûõ íà ýòîì îòðåçêå.(∓)Ôóíêöèè q0 (ξβ ) ñëóæàò äëÿ óñòðàíåíèÿ íåâÿçîê ïîðÿäêà εn â âûðàæåíèè L[β] è ïîðÿäêà εn+1 â óñëîâèè íåïðåðûâíîãî ñøèâàíèÿâåðõíåãî ðåøåíèÿ (2.45), âîçíèêàþùèõ â ðåçóëüòàòå ìîäèôèêàöèèðåãóëÿðíîé ÷àñòè äîáàâêè µ(∓) (x).
Îïðåäåëèì èõ êàê ðåøåíèÿçàäà÷ 2 (∓)(∓) d q0 2 − à (ξβ ) dq0 − ∂ à (ξβ )Φ (ξβ , xβ ) q (∓) = Φ (ξβ , xβ ) ∂ à (ξβ ) µ(∓) (xβ ) ,0dξβ∂u∂udξβq (∓) (0) + µ(∓) (x ) = 0.β0(2.50)(∓)Ôóíêöèè q0 (ξβ ) ìîæíî âûïèñàòü â ÿâíîì âèäå:(−)q0 (ξβ ) =Φ(ξβ , xβ )= −µ(−) (xβ )+Φ(ξβ , xβ )Φ(0, xβ )Zξβ Φ(s, xβ )0−1ZsΦ (η, xβ )!∂ à (−)µ (xβ ) dηds,∂u−∞ξβ 6 0;(2.51)67(+)q0 (ξβ ) == −µ(+)Φ(ξβ , xβ )+Φ(ξβ , xβ )(xβ )Φ(0, xβ )Zξβ Φ(s, xβ )0−1Zs!∂ à (+)µ (xβ ) dηds,∂uΦ (η, xβ )+∞ξβ > 0.(∓)Äëÿ ôóíêöèé q0 (ξβ ) ñïðàâåäëèâû ýêñïîíåíöèàëüíûå îöåíêèòèïà (2.22).(∓)Ôóíêöèè q1 (ξβ ) óñòðàíÿþò íåâÿçêè ïîðÿäêà εn+1 â âûðàæåíèèL[β], âîçíèêàþùèå â ðåçóëüòàòå äîáàâëåíèÿ â âåðõíåå ðåøåíèå(∓)ôóíêöèé µ(∓) (x) è q0 (ξβ ), è îïðåäåëÿþòñÿ èç çàäà÷(∓)(∓)∂ 2 q1∂ Ã∂q1(∓)(ξβ )Φ(ξβ , xβ )·q1 = q1 f (∓) (ξβ ),−2 −Ã(ξβ )∂ξβ∂u∂ξβ(∓)q1 (0) = 0;(∓)q1 (∓∞) = 0,(2.52)ãäå q1 f (∓) (ξβ ) îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìèq1 f (∓) (ξβ ) =" (∓)∂ à dµ(∓)∂ 2 à (∓)dϕ(∓)(∓)(∓)=ξβ +µ + q0U 1 + Q1 +ξβ +∂u dxdx∂u2#∂ 2 à (∓)(∓)ξβ µ + q0Φ++∂u∂x!(∓)(∓)dϕ(∓)∂q0∂ Ã∂ Ã∂ à ∂Q1 (∓)(∓)(∓)(∓)+U 1 + Q1 +ξβ +ξβ +µ + q0+∂ξβ∂udx∂x∂u ∂ξβ ∂ B̃ dµ(∓) ∂ à dϕ(∓) (∓)(∓)(∓)+ Ã+µ + q0+µ(∓) + q0−dx∂u dx∂udµ(∓) ∂A dϕ(∓) (∓) ∂B (∓)−A−µ −µ .dx∂u dx∂u68Çäåñü A = A(xβ (ε)), à = Ã(ξβ ) è àíàëîãè÷íûé ñìûñë èìåþòîáîçíà÷åíèÿ B , B̃ è ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé A, à è B, B̃ .
Ôóíêöèè(∓)(∓)U 1 , U 2 , ϕ(∓) áåðóòñÿ ïðè çíà÷åíèè x = x∗ .Ôóíêöèè q1 f (∓) (ξβ ) èìåþò ýêñïîíåíöèàëüíûå îöåíêè òèïà (2.22).(∓)Àíàëîãè÷íûå îöåíêè ñïðàâåäëèâû è äëÿ ôóíêöèé q1 (ξβ ).Íèæíåå ðåøåíèå α(x, ε) çàäà÷è (2.2) ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî âåðõíåìó.Îïðåäåëèì òî÷êó ïåðåõîäà äëÿ íèæíåãî ðåøåíèÿ xα ñëåäóþùèìîáðàçîìxα = Xn + εn δ,ãäå δ òà æå âåëè÷èíà, ÷òî è äëÿ âåðõíåãî ðåøåíèÿ. Îïðåäåëèì ðàñx − xαòÿíóòóþ ïåðåìåííóþ ξα =.εÒî÷íî òàê æå, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ âåðõíåãî ðåøåíèÿ, íèæíååðåøåíèå çàäà÷è (2.2) áóäåì ñòðîèòü îòäåëüíî íà êàæäîì îòðåçêå,íà êîòîðûå òî÷êà xα ðàçáèâàåò îòðåçîê [0, 1].Ôóíêöèè α(−) (x, ε) è α(+) (x, ε) áóäåì ñøèâàòü â òî÷êå xα òàêèìîáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî α(−) (xα , ε) = α(+) (xα , ε) =ϕ(xα ).Íèæíåå ðåøåíèå áóäåì ñòðîèòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî äëÿ ðàçíîñòè ïðîèçâîäíûõ íèæíåãîðåøåíèÿ:4.∂α(−) ∂α(+) −6 0.∂x x=xα∂x x=xαÔóíêöèè α(∓) áóäåì ñòðîèòü êàê ìîäèôèêàöèþ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé (2.43) ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.1):69(−) α(−) (x, ε) = Un+2 ξα(−)(−)− εn+1 µ(−) (x) + q0 (ξα ) + εq1 (ξα ) ,0 6 x 6 xα ,(+) α(+) (x, ε) = Un+2 (2.53)ξα 6 0;ξα(+)(+)− εn+1 µ(+) (x) + q0 (ξα ) + εq1 (ξα ) ,xα 6 x 6 1,ξα > 0.Çäåñü ôóíêöèè µ(∓) (x) îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè (2.48), à ôóíêöèè(∓)(∓)q0 (ξα ) è q1 (ξα ) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè òåõ æå çàäà÷, ÷òî è äëÿ âåðõíåãîðåøåíèÿ, â êîòîðûõ ïåðåìåííûå ξβ , xβ çàìåíåíû íà ξα , xα .Ëåììà.
Ôóíêöèè β(x, ε) è α(x, ε), îïðåäåëåííûå (2.46) è (2.53),óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 14 îïðåäåëåíèé âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû ñîñòîèò â ïðîâåðêå óñëîâèé 14.Óñëîâèå 1 óïîðÿäî÷åííîñòè âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé.Ðàññìîòðèì òðè èíòåðâàëà, íà êîòîðûõ ðàçíîñòü âåðõíåãî è íèæíåãîðåøåíèé âûðàæàåòñÿ ðàçëè÷íûì îáðàçîì:β (−) (x, ε) − α(−) (x, ε),β(x, ε) − α(x, ε) = β (+) (x, ε) − α(−) (x, ε),β (+) (x, ε) − α(+) (x, ε),0 6 x < xβ ;xβ 6 x 6 xα ;xα < x 6 1.Ðàññìîòðèì îòäåëüíî êàæäûé èç èíòåðâàëîâ.Íà îòðåçêå [xβ , xα ] âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà |x − Xn | 6 εn δ , −2εn−1 δ 6ξα 6 0, 0 6 ξβ 6 2εn−1 δ è ξβ − ξα = 2εn−1 δ .70β (+) −α(−) =n−1Xn−1 (+) X (−)(+)(−)εi U i (x) + Qi (ξβ ) −εi U i (x) + Qi (ξα ) +O (εn )i=0i=0(2.54)Âñå ôóíêöèè â âûðàæåíèè (2.54) ìîãóò áûòü ðàçëîæåíû â ðÿäûÒåéëîðà â òî÷êå x = Xn , ξα,β = 0.Ðåãóëÿðíûå ôóíêöèè:(+)(+)U i (x) = U i (Xn ) + O (εn ) ;(−)(−)U i (x) = U i (Xn ) + O (εn ) , i = 0, 1, .
. .Ôóíêöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ:(+)(+)(−)(−)Q0 (ξβ ) = Q0 (0) + Φ(0, Xn ) · ξβ + O (εn ) ;Q0 (ξα ) = Q0 (0) + Φ(0, Xn ) · ξα + O (εn ) .(+)(+)Qi (ξβ ) = Qi (0) + O εn−1 ,(−)(−)Qi (ξα ) = Qi (0) + O εn−1 , i = 1, 2, . . . .Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ðàçëîæåíèÿ â âûðàæåíèå (2.54), ïîëó÷àåì ðàâåíñòâîβ (+) − α(−) = Φ (0, Xn ) (ξβ − ξα ) + O (εn ) = 2εn−1 δΦ(0, Xn ) + O (εn ) .(2.55)Èç óñëîâèÿ (A2), à òàêæå èç âûðàæåíèé (2.24) è (2.25), ñëåäóåò, ÷òîΦ(0, Xn ) > 0. Òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâî β (+) − α(−) > 0 ñïðàâåäëèâîíà èíòåðâàëå [xβ , xα ] äëÿ δ > 0 è äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε.Ðàññìîòðèì èíòåðâàë xα 6 x 6 1.  ýòîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà ξα > 0 è ξβ > 2εn−1 δ .71Äëÿ ðàçíîñòè ìåæäó âåðõíèì è íèæíèì ðåøåíèÿìè ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèåβ (+) − α(+) = (+)(+)(+)(+)(+)(+)2= Q0 (ξβ ) − Q0 (ξα ) +ε Q1 (ξβ ) − Q1 (ξα ) +ε Q2 (ξβ ) − Q2 (ξα ) +(+)(+)+ εn+1 2µ(+) (x) + q0 (ξβ ) + q0 (ξα ) + O εn+2 =(+)∂Q1= 2ε δΦ(ξα , xα ) + 2ε δ(ξα )+∂ξα!(+)∂Q(+)22µ(+) (x) + 2q0 (ξα ) + 2δ(ξα ) + O εn+2 .
(2.56)∂ξαn−1+ εn+1nÄëÿ ôóíêöèé ïåðåõîäíîãî ñëîÿ íóëåâîãî ïîðÿäêà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îöåíêè [36].C0 eãäå ξ > 0, A(+)(+)A −σ+ ξ(+)=A6(+)|Q0 (ξ)|(+)A +σ− ξ6 C0 e,(xα ) è C0 , σ+ , σ− ïîëîæèòåëüíûå âåëè÷èíû. Íà(+)ïîìíèì, ÷òî â ñèëó óñëîâèÿ (A1) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî A< 0.Àíàëîãè÷íûå îöåíêè ñïðàâåäëèâû äëÿ ôóíöèé Φ(ξ, xα ).defÑíà÷àëà ðàññìîòðèì èíòåðâàë xα 6 x 6 x1 = xα + εN . Íà ýòîì ïðî(+)∂Q1ìåæóòêå ñïðàâåäëèâû îöåíêè Φ(ξα , xα ) > C0 e= O(1),;∂ξαïîýòîìó íåðàâåíñòâî β (+) − α(+) > 0 (ñì. (2.56))âûïîëíåíî äëÿ äîñòàòî÷A(+)−σ+ Níî ìàëûõ ε è δ > 0 çà ñ÷åò ïåðâîãî ñëàãàåìîãî.Ïîêàæåì óïîðÿäî÷åííîñòü âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé íà îòðåçêå x1 6 x 6 1. ýòîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ξα > N .
Âûáåðåì N äîñòàòî÷íîáîëüøèì, ÷òîáû íà ðàññìàòðèâàåìîì îòðåçêå âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâàC0 e(+)A −σ ξα(+) (+) A +σ ξα6 Q0 (ξ) 6 C0 e,72ξα > 0,4 (+) A .35Èñïîëüçóÿ ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé, âõîäÿùèõ â (2.56),äëÿ σ <íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå îöåíêè ∂Q(+) (ξ ) (+) 1A +3σ ξαα ;6Cξe1 α ∂ξα(+) (+)A +3σ ξα(+);q0 (ξα ) 6 max µ (x) C̃1 ex∈(0,1) ∂Q(+) (ξ ) (+) 2α 2 A +5σ ξα. 6 P1 ξ e∂ξ(2.57)Áëàãîäàðÿ âûïèñàííûì îöåíêàì ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâîäëÿ ðàçíîñòè âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé íà ïðîìåæóòêå x1 6 x 6 1.(+)(+)n−1A(+)−σ ξαA(+) +3σ ξα− εC1 ξα e−α >ε+C0 e (+)(+)A +3σ ξαn+1(+)(+)2 A +5σ ξα+ε2µ (x) − max µ (Xn ) C̃1 e− P1 ξα e.βt∈RÐàññìîòðèì îòäåëüíî îòðåçîê x1 6 x 6 xα + ε ln(εp ), ãäå p = 7 .
(+) 4A defÍà ýòîì îòðåçêå N 6 ξα 6 ξ2 = |ln εp |,Èñïîëüçóÿ ýëåìåíòàðíûé àíàëèç, ìîæíî ïîêàçàòü,÷òî ñóùåñòâóåòòî÷êà ξmin , â êîòîðîé ôóíêöèÿ S (ξ) = C0 eA(+)−σ ξ− εC1 ξα eA(+)+3σ ξäîñòèãàåò îòðèöàòåëüíîãî ìèíèìóìà, à íà ïðîìåæóòêå, íà êîòîðîìS(ξ) > 0, îíà ìîíîòîííî óáûâàåò.ÏîñêîëüêóS(ξ2 ) = C0 ε(+)− A −σ pp− εC1 | ln ε |ε(+)− A +3σ p3943> C0 ε 20 − C1 | ln εp |ε 20 > 0äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε, òî ôóíêöèÿ S(ξα ) ìîíîòîííî óáûâàåò íàîòðåçêå ξα ∈ [N, ξ2 ], òî åñòü S(ξα ) > S(ξ2 ) ïðè N 6 ξα 6 ξ2 .73Èñïîëüçóÿ óêàçàííîå ñâîéñòâî ôóíêöèè S(ξ) èç (2.56) è îöåíêè (2.57),ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâàβ (+) − α(+) > (+)(+)A +3σ ξα22 A +5σ ξα(+)n−12S(ξα ) − ε P1 ξα e>ε− ε max µ (Xn ) C̃1 e+t∈R+ εn+1 2µ(+) (x) >n−1>ε (+)(+)3943A +5σ NA +3σ Np2p22(+)C0 ε 20 − C1 | ln ε |ε 20 − ε P1 | ln ε | e− ε max µ (x) C̃1 e+x∈(0,1)+ εn+1 2 min µ(+) (x) > 0x∈(0,1)äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε.Òåïåðü ðàññìîòðèì îòðåçîê x2 6 x 6 1.
 ýòîì ñëó÷àå ξα > ξ2 , èñïðàâäåëèâû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà1ξα eε(+)A +3σ ξα1< ξ2 eεA(+)(+)2 A +5σ ξαξα ee(+)A +3σ ξα+3σ ξ221−p= | ln εp |εε(+)A +5σ ξ2< ξ2 e<eA(+)+3σ ξ2=εA(+)+3σ3< | ln εp |ε 20 ,3< | ln εp |2 ε 4 ,(+)−p A +3σ23< ε 20 .Òîãäà(+)(+)n−1(+)A −σ ξα+− α > ε C0 e(+)(+)1A +3σ ξαA +3σ ξαn+1(+)(+)+ε2µ (x) − C1 ξα e− max µ (x) C̃1 e−x∈(0,1)ε (+)2 A +5σ ξα>− P1 ξα e323n+1(+)p 20(+)p 2 4320>ε2 min µ (x) − C1 | ln ε |ε − max µ (x) C̃1 ε − P1 | ln ε | ε>0βx∈(0,1)x∈(0,1)74Äëÿminx∈(0,1)äîñòàòî÷íîµ(+) (x) .ìàëîãîε è äîñòàòî÷íî áîëüøîãî çíà÷åíèÿÒàêèì îáðàçîì, óïîðÿäî÷åííîñòü âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé íàîòðåçêå [xα , 1] äîêàçàíà. Ïðîâîäÿ òå æå ðàññóæäåíèÿ, íåòðóäíî äîêàçàòüñïðàâåäëèâîñòü äèôôåðåíöèàëüíîãî íåðàâåíñòâà 1) íà îòðåçêå [0, xβ ].Âûïîëíåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ 2) ñëåäóåò èç ñïîñîáà ïîñòðîåíèÿ âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé. Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèè β (∓) â âû(∓)ðàæåíèå L[β] (ñì.
äèô. íåð-âî 2)) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ôóíêöèè µ(∓) , q0(∓)è q1ÿâëÿþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ðåøåíèÿìè çàäà÷ (2.47), (2.50), (2.52),ïîëó÷èìL[β] = −εn+1 R + O(εn+2 ) < 0,L[α] = εn+1 R + O(εn+2 ) > 0,(2.58)ãäå R > 0 ïîñòîÿííàÿ â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèé (2.47).Óñëîâèÿ 3) îêàçûâàþòñÿ âûïîëíåííûìè ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íîáîëüøèõ ïîëîæèòåëüíûõ âåëè÷èí R(−) è R(+) â íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõçàäà÷è (2.47).Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíà δ , òàêàÿ÷òî âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà 4. Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèè β (−) è β (+) â íåðàâåíñòâî 4 äëÿ âåðõíåãî ðåøåíèÿ, ïîëó÷àåì:∂β (−) ∂β (+) −= εn∂x∂x x=xβ! !∂H · (−δ) + G̃n + O εn+1 > 0,∂x∗ x0(2.59)ãäå G̃n èçâåñòíàÿ âåëè÷èíà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
