Диссертация (1103461), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Âûáåðåì ôóíêöèþ δ(t) âxβ (t) åå ïðîèçâîäíàÿ∂xâûðàæåíèè (4.27) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñëåäóþùååóñëîâèå5.∂β (−) ∂β (+) −> 0.∂x x=xβ (t)∂x x=xβ (t)Òàêîìó íåðàâåíñòâó äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü âåðõíåå ðåøåíèå, åñëèîíî íå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïðè x = xβ (t). îêðåñòíîñòè êðèâîé xβ (t) ââåäåì ðàñòÿíóòóþ ïåðåìåííóþξβ =x − xβ (t).ε(−)(+)Ôóíêöèè β (−) è β (+) áóäåì ñòðîèòü êàê ìîäèôèêàöèþ ñóìì Un+2 , Un+2 :β(−)(x, t, ε) =(−) Un+2 +εn+1µ(−)(x, t) +ξβ(−)q0(ξβ , t) +(−)εq1(ξβ , t) ,(4.29)0 6 x 6 xβ , ξβ 6 0, t ∈ R;(+) (+)(+)(+)n+1(+)β (x, t, ε) = Un+2 + εµ (x, t) + q0 (ξβ , t) + εq1 (ξβ , t) ,ξβ(4.30)xβ 6 x 6 1,Çäåñü(∓) Un+2 ξβξβ > 0,t ∈ R.ýòî ñóììû (4.26) ïðè k = n + 2, â êîòîðûõ ïåðåìåííûåξn+3 è Xn+3 çàìåíåíû íà ξβ è xβ , ñîîòâåòñòâåííî.129Ôóíêöèè µ(∓) (x, t) è δ(t) âûáèðàþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü äèôôåðåíöèàëüíûå íåðàâåíñòâà 1) 5).Ôóíêöèè µ(∓) (x, t) îïðåäåëèì êàê ðåøåíèÿ çàäà÷−1−1 (∓)(∓) ∂ µ(∓) + W (∓) ϕ(∓) , x, t A(∓) (x, t)A(x,t)µ=R·,∂xµ(−) (0, t) = R(−) ;µ(+) (1, t) = R(+) ,(4.31)ãäå R, R(−) , R(+) íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå âåëè÷èíû, à W (∓) îïðåäåëåíà âûðàæåíèåì (4.18).Ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ ìîæíî âûïèñàòü â ÿâíîì âèäå−S (−) (x,t)µ(−) (x, t) = R(−) e+R·eZx −1 (−)(−)A (s, t)eS (s,t) ds;−S (−) (x,t)0µ(+) (x, t) = R(+) e−S(+) (x,t)+ R · e−SZx (+) (x,t)(+)A−1 (+)(s, t)eS (s,t) ds.1Ýòè ôóíêöèè T ïåðèîäè÷åñêèå ïî ïàðàìåòðó t â ñèëó ïåðèîäè÷íîñòè(∓)ôóíêöèé A (x, t) è W ϕ(∓) , x, t (ôóíêöèè S (∓) (x, t) îïåðåäåëåíûâûðàæåíèÿìè (4.20)). ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ (C1) íåðàâåíñòâà A(−)(+)(x, t) > 0, A(x, t) < 0ñïðàâåäëèâû äëÿ âñåõ x ∈ [0, 1], òàêèì îáðàçîì ôóíêöèè µ(∓) (x, t)ïðèíèìàþò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ â îáëàñòè D.(∓)Ôóíêöèè q0 (ξβ , t) ñëóæàò äëÿ óñòðàíåíèÿ íåâÿçîê ïîðÿäêà εn â âûðàæåíèè L[β] è ïîðÿäêà εn+1 â óñëîâèè íåïðåðûâíîãî ñøèâàíèÿ âåðõíåãîðåøåíèÿ (4.28), âîçíèêàþùèõ â ðåçóëüòàòå ìîäèôèêàöèè ðåãóëÿðíîé ÷àñòè äîáàâêè ôóíêöèé µ(∓) (x, t), è îïðåäåëÿþòñÿ êàê ðåøåíèÿ êðàåâûõçàäà÷:130(∓)(∓)∂ 2 q0∂ q0(∓)− ∂∂uÃ Φ (ξβ , t, xβ ) q0 = Φ (ξβ , t, xβ ) ∂∂uà (ξβ , t) µ(∓) (xβ , t) ,2 − à (ξβ , t) ∂ξ∂ξββ(∓)q (0, t) + µ(∓) (xβ , t) = 0, 0(∓)(∓)q0 (ξβ , t + T ) = q0 (ξβ , t),(−)q0 (ξβ , t) → 0 ïðè ξβ → −∞,q (+) (ξβ , t) → 0 ïðè ξβ → +∞.0Äëÿ ôóíêöèé q0 (ξβ , t) ñïðàâåäëèâû ýêñïîíåíöèàëüíû îöåíêè òèïà (4.16).(∓)Ôóíêöèè q1 (ξβ , t) óñòðàíÿþò íåâÿçêè ïîðÿäêà εn+1 â âûðàæåíèèL[β], âîçíèêàþùèå â ðåçóëüòàòå äîáàâëåíèÿ â âåðõíåå ðåøåíèå ôóíêöèé(±)µ(∓) (x, t) è q0 (ξβ , t).

Ýòè ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ êàê ðåøåíèÿ çàäà÷ 2 (∓)(∓) ∂ q1 2 − à ∂ q1 − ∂ Ã Φ · q (∓) = q1 f (∓) (ξ, t),1∂ξβ∂u∂ξβ(∓)(∓)q (0, t) = 0; q (∓∞, t) = 0; q (∓) (ξ, t + T ) = q (∓) (ξ, t),1111ãäå q1 f (∓) (ξ, t) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì, àíàëîãè÷íûì ôîðìóëå (3.43)èç ãë. 3(∓)Ôóíêöèè q1 (ξβ , t) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ íåïðåðûâíîñòè ïðè ξβ = 0(−)(+)q1 (0, t) = q1 (0, t) = 0è óñëîâèþ óáûâàíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè(∓)q1 (ξβ , t) → 0 ïðè ξβ → ∓∞.Íèæíåå ðåøåíèå α(x, t, ε) çàäà÷è (4.1) ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàêïîñòðîåíî âåðõíåå ðåøåíèå. îêðåñòíîñòè êðèâîé xα (t) îïðåäåëèì ðàñòÿíóòóþ ïåðåìåííóþξα =x − xα (t).ε131Òî÷íî òàêæå, êàê ýòî áûëî ïðîäåëàíî äëÿ âåðõíåãî ðåøåíèÿ,íèæíåå(∓)ðåøåíèå çàäà÷è (4.1) ñòðîèòñÿ â ïîäîáëàñòÿõ Dα , íà êîòîðûå êðèâàÿxα (t) äåëèò îáëàñòü D.Ôóíêöèè α(∓) (x, t, ε) áóäåì ñòðîèòü òàê, ÷òîáû îíè óäîâëåòâîðÿëèóñëîâèÿì íåïðåðûâíîñòè íà êðèâîé xα (t):ϕ(−) (xα , t) + ϕ(+) (xα , t)α (xα , t, ε) = α (xα , t, ε) =.2Äëÿ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé α(∓) (x, t, ε) íà êðèâîé xα (t) äîëæíû âû(−)(+)ïîëíÿòüñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà∂α(−) ∂α(+) −6 0.∂x x=xα (t)∂x x=xα (t)Ôóíêöèè α(∓) áóäåì ñòðîèòü êàê ìîäèôèêàöèþ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé (4.26) ðåøåíèÿ çàäà÷è (4.1):α(−)(x, t, ε) =(−) Un+2 ξα(−)(−)− εn+1 µ(−) (x, t) + q0 (ξα , t) + εq1 (ξα , t) ,(4.32)0 6 x 6 xα ,(+) α(+) (x, t, ε) = Un+2 − εn+1ξαξα 6 0,(+)(+)µ(+) (x, t) + q0 (ξα , t) + εq1 (ξα , t) ,t ∈ R;(4.33)xα 6 x 6 1,ξα > 0,Çäåñü ôóíêöèè µ(∓) (x, t) îïðåäåëÿþòñÿ òåìè æå âûðàæåíèÿìè, ÷òî(∓)(∓)è äëÿ âåðõíåãî ðåøåíèÿ, à ôóíêöèè q0 (ξα , t), q1 (ξα , t) ÿâëÿþòñÿðåøåíèÿìè òåõ æå çàäà÷, ÷òî è äëÿ âåðõíåãî ðåøåíèÿ, â êîòîðûõïåðåìåííûå ξβ , xβ çàìåíåíû íà ξα , xα .Ëåììà.

Ôóíêöèè β(x, t, ε) è α(x, t, ε), îïðåäåëåííûå âûðàæåíèÿ-ìè (4.29) è (4.33), óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1) 5) îïðåäåëåíèé âåðõíåãî132t ∈ R.è íèæíåãî ðåøåíèé çàäà÷è (4.1).Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû ñîñòîèò â ïðîâåðêå óñëîâèé 1) 5).Óñëîâèå 1) óïîðÿäî÷åííîñòè âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé.Ðàññìîòðèì òðè èíòåðâàëà, íà êîòîðûõ ðàçíîñòü âåðõíåãî è íèæíåãîðåøåíèé âûðàæàåòñÿ ðàçëè÷íûì îáðàçîì:β (−) (x, t, ε) − α(−) (x, t, ε),β(x, t, ε) − α(x, t, ε) = β (+) (x, t, ε) − α(−) (x, t, ε),β (+) (x, t, ε) − α(+) (x, t, ε),0 6 x < xβ ;xβ 6 x 6 xα ;xα < x 6 1.Ðàññìàòðèâàÿ îòäåëüíî êàæäûé èç ýòèõ èíòåðâàëîâ è ïðèìåíÿÿïðè êàæäîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà t òå æå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è ïðèäîêàçàòåëüñòâå óïîðÿäî÷åííîñòè âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé èç ãë. 2,ïîëó÷èì ñëåäóþùèå îöåíêè:Íà îòðåçêå [xβ , xα ]β (+) − α(−) = Φ (0, t, Xn ) (ξβ − ξα ) + O (εn ) = 2εn−1 δΦ(0, t, Xn ) + O (εn ) .(4.34)defÍà ïðîìåæóòêàõ xα 6 x 6 x1α è x1β 6 x 6 xβ , ãäå x1α = xα + εN èdefx1β = xβ − εN3943β (+) − α(+) > εn−1 C0 ε 20 − C1 | ln εp |ε 20 + O (ε ln (ε))2 ,defäëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε, ãäå p =74|A(+)|(4.35).defÍàêîíåö, íà èíòåðâàëàõ x2α < x 6 1 è 0 6 x < x2β , ãäå x2α,β =xα,β ± ε |ln εp |.

 ýòîì ñëó÷àåâûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî133β(+)−α(+)n+1>ε2µ(+)p(x, t) − C1 | ln ε |ε320− max µt∈R(+)233(Xn , t) C̃1 ε 20 − P1 | ln εp |2 ε 4(4.36) ñèëó âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ (4.34), (4.35) è (4.36) ñïðàâåäëèâà óïîðÿäî÷åííîñòü âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé çàäà÷è (4.1) íà îòðåçêå [0, 1].Âûïîëíåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ 2) ñëåäóåò èç ñàìîãî ñïîñîáà ïîñòðîåíèÿ âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé. Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèè β (∓)â âûðàæåíèå L[β], ïîëó÷èì:L[β] = −εn+1 R + O(εn+2 ) < 0,L[α] = εn+1 R + O(εn+2 ) > 0,(4.37)ãäå R > 0 êîíñòàíòà â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèé (4.31).Óñëîâèÿ 3) îêàçûâàþòñÿ âûïîëíåííûìè ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íîáîëüøèõ êîíñòàíò R(−) è R(+) â íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ çàäà÷è (4.31).Óñëîâèÿ 4) âûïîëíåíû â ñèëó ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ âåðõíåãî è íèæíåãîðåøåíèé çàäà÷è (4.1).Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 5) äëÿ âåðõíåãî ðåøåíèÿ.

Ðàññìîòðèìðàçíîñòü ìåæäó ïðîèçâîäíûìè âåðõíåãî ðåøåíèÿ ïðè x = xβ (t):∂β (−) ∂β (+) .−∂x∂x x=xβ (t)Âûäåëÿÿ òîëüêî îñíîâíûå êîìïîíåíòû â ðàçíîñòè (4.3), ïîëó÷àåìâûðàæåíèå äëÿ ñêà÷êà ïðîèçâîäíîé âåðõíåãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (4.1) ïðèx = xβ (t) äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ t∂β (−) ∂β (+) n dδ(−)(+)−=−εϕ(x,t)−ϕ(x,t)+ εn δD(t)−00∂x∂xdtx=xβ (t)(−)(+)− εn A (x0 , t)µ(−) (x0 , t) + εn A (x0 , t)µ(+) (x0 , t) + O εn+1 ,134> 0.ãäå D(t) îïðåäåëåíî âûðàæåíèåì (4.25).Îïðåäåëèì ôóíêöèþ δ(t) êàê ðåøåíèå ñëåäóþùåé ïåðèîäè÷åñêîé çàäà÷è−1dδ= δD(t) ϕ(−) (x0 , t) − ϕ(+) (x0 , t) −dt (−)−1(+)(−)(+)− A (x0 , t)µ (x0 , t) − A (x0 , t)µ (x0 , t) ϕ(−) (x0 , t) − ϕ(+) (x0 , t)+ σ,δ(t + T ) = δ(t),êîòîðàÿ èìååò ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå â ñèëó óñëîâèÿ (C5).Âûáîðϕ(+)äîñòàòî÷íî áîëüøîãî çíà÷åíèÿ σ (ó÷èòûâàÿ, ÷òî(x0 , t) − ϕ(−) (x0 , t) > 0) îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâ5):∂β (−) ∂β (+) n(+)(−)n+1−=σεϕ(x,t)−ϕ(x,t)+Oε.00∂x∂xx=xβ (t)Ëåììà äîêàçàíà.Ñóùåñòâîâàíèå âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ u(x, t, ε) çàäà÷è (4.1), êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì:α(x, t, ε) 6 u(x, t, ε) 6 β(x, t, ε),(x, t) ∈ D.Ïîñêîëüêó β (x, t, ε)−α (x, t, ε) = O (εn−1 ) òî u(x, t, ε) = α +O (εn−1 ) =Un−2 (x, t, ε) + O (εn−1 ).

Ïåðåîáîçíà÷àÿ n − 2 íà n, ïîëó÷àåì îöåíêè|u(x, t, ε) − Un (x, t, ε)| 6 Cn εn .Óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíûì ñëåäñòâèåì îáùèõòåîðåì, ñôîðìóëèðîâàííûõ â [22] è [23].  ñòàòüå [22] äîêàçàíà òåîðåìà îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (Î.ñ. 1)(Î.ñ. 2) (ñì. ãëàâó 1).  ñòàòüå [23] äîêàçàíî, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòè ôóíêöèé A(u, x) è B(u, x) è â ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ135|u(x, t)| + |α(x, t)| + |β(x, t)| 6 k1 ,p+1|β(x, t) − u(x, t)| + |α(x, t) − u(x, t)| 6 k2 ε 2 , ∂β(x, t) ∂u(x, t) ∂α(x, t) ∂u(x, t) + 6 c2 ε p−12 ,−− ∂x∂x ∂x∂x ãäå uε (x, t) ðåøåíèå çàäà÷è (4.1), α(x, t), β(x, t) ñîîòâåòñâåííî, íèæíåå è âåðõíåå ðåøåíèÿ çàäà÷è (4.1), k1 , k2 , c2 êîíñòàíòû, ðåøåíèå u(x, t)ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíîâó.Ïî àíàëîãèè ñ [22] ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà|β(x, t, ε) − u(x, t, ε)| + |α(x, t, ε) − u(x, t, ε)| 6 εp+12= O(εn−1 ).(4.38)è ∂β(x, t, ε) ∂u(x, t, ε) ∂α(x, t, ε) ∂u(x, t, ε) 6 ε p−12+= O(εn ).−−∂x∂x∂x∂x(4.39)Èç äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ (4.37) ïîëó÷àåì, ÷òî âûðàæåíèåäëÿ âåëè÷èíû q , ïîðÿäêà âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé èç îïðåäåëåíèÿâ ãë.

Характеристики

Список файлов диссертации