Диссертация (1103461), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Àðãóìåíòû ôóíêöèèx∗ (t, ε) îïóùåíû äëÿ êðàòêîñòè èçëîæåíèÿ.Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿũ(ξ, x∗ ) =U (−) (x∗ ) + Q(−) (ξ, t)ξ 6 0,t ∈ [0, T ],U (+) (x ) + Q(+) (ξ, t)∗00ξ > 0,t ∈ [0, T ]00èΦ(ξ, x∗ ) =∂ ũ∂ξ(3.12)Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ũ(ξ, x∗ ) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ïðè ξ ∈ R âñèëó êðàåâîãî óñëîâèÿ ïðè ξ = 0 çàäà÷è (3.11). Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òîóñëîâèå (B2) áàëàíñà àäâåêöèè îáåñïå÷èâàåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèèΦ(ξ, x∗ ) ïðè ξ ∈ R.84Ïåðåïèøåì çàäà÷è (3.11) äëÿ ôóíêöèè ũ. ∂ 2 ũ2 = A (ũ, x∗ ) ∂ ũ , −∞ < ξ < +∞, 0 6 t 6 T∂ξ∂ξũ(0, x ) = ϕ(x );ũ (−∞, x ) = ϕ(−) (x ),∗∗∗∗ũ (+∞, x∗ ) = ϕ(+) (x∗ ).(3.13)Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà (3.13) ýêâèâàëåíòíîñèñòåìå äâóõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà (2.4)d ũdΦ= Φ;= A (ũ, x∗ ) Φ.dξdξÐàçäåëèâ âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà ïåðâîå, ïåðåéäåì ê ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ äëÿ ôóíêöèè ΦdΦ= A (ũ, x∗ ) .dũÎòñþäà ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè(ñì.

(3.13)) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãîïîðÿäêà äëÿ ôóíêöèè ũ (ξ, x∗ ):ũ(ξ,xR ∗)A(u, x∗ )du,∂ ũϕ(−) (x∗ )Φ(ξ, x∗ ) ==ũ(ξ,xR ∗)∂ξ (+) A(u, x∗ )du,ϕξ 6 0,(3.14)ξ > 0.(x∗ )Ïðè êàæäîì t ∈ [0, T ] ýòî óðàâíåíèÿ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé íà ïëîñêîñòè (ũ, Φ), îäíà èç êîòîðûõ âûõîäèò èç òî÷êè ϕ(−) , 0 ïðè ξ → −∞, àäðóãàÿ âõîäèò â òî÷êó ϕ(+) , 0 ïðè ξ → +∞.Óñëîâèå (B2) îçíà÷àåò, ÷òî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ∈ [0, T ]äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ x ∈ (0, 1) íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè (ũ, Φ) ñóùåñâóåòêðèâàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè ϕ(−) , 0 è ϕ(+) , 0 .Èç óñëîâèÿ (B2) ñëåäóåò ðàâåíñòâî85(3.15)Φ(−0, x∗ ) = Φ(+0, x∗ ).Îòñþäà, à òàêæå èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé A(u, x∗ ) è ϕ(∓) (x∗ ) ââûðàæåíèÿõ (3.14), ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè Φ(ξ, x∗ ) ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ ïðè ξ ∈ (−∞; +∞), x∗ ∈ (0, 1).Ôóíêöèþ ũ(ξ, x∗ ) íàéäåì, èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèÿ∂ ũ=∂ξũ(ξ,xZ ∗)A(u, x∗ )du,ξ 6 0,∂ ũ=∂ξϕ(−) (x∗ )ũ(ξ,xZ ∗)A(u, x∗ )du,ξ>0(3.16)ϕ(+) (x∗ )ñ óñëîâèåì(3.17)ũ(0, x∗ ) = ϕ(x∗ ). âèäó óñëîâèé (B1) è (B3) çàäà÷è (3.16) (3.17) èìåþò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ýêñïîíåíöèàëüíûåîöåíêè [36]ũ(ξ, x∗ ) − ϕ(−) (x∗ ) 6 Ce−k|ξ|ũ(ξ, x∗ ) − ϕ(+) (x∗ ) 6 Ce−k|ξ|ξ < 0,ξ>0äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ x∗ ∈ (0, 1).

Çäåñü k, C ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû.(∓)Äëÿ ôóíêöèé ïåðåõîäíîãî ñëîÿ Q0 (ξ, t) èìåþò ìåñòî ýêñïîíåíöèàëüíûå îöåíêè (∓)Q0 (ξ, t) 6 Ce−k|ξ| .(3.18)Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.1) â íóëåâîì ïîðÿäêå ïîëíîñòüþ ïîñòðîåíî, ïðè÷åì îíî ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì â ñèëó êðàåâîãîóñëîâèÿ ïðè ξ = 0 çàäà÷è (3.11) è ðàâåíñòâà (3.15).863.2.2×ëåíû àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ïåðâîãîïîðÿäêàÐåãóëÿðíàÿ ÷àñòüÂâåäåì îáîçíà÷åíèå(∓)A(x) = A ϕ(∓) (x), x .(∓)Àíàëîãè÷íûé ñìûñë èìåþò îáîçíà÷åíèÿ B(∓),∂A∂u(∓)è∂B.∂uÏîäñòàâèì ðàçëîæåíèå (3.5) â óðàâíåíèÿ (3.9) è ïðèðàâíèâàåì êîýôôèöèåíòû ïåðâîãî ïîðÿäêà ïîðÿäêà ïî ε.

Ó÷òåì òàêæå óñëîâèÿ ïðèx = 0 è x = 1 â çàäà÷å (3.1) è óñëîâèå (B1). Òîãäà ïîëó÷èì çàäà÷è Êîøè(−)äëÿ ôóíêöèé U 1(+)è U1(∓)A(∓) (x) dU 1 = −W (∓) ϕ(∓) (x), x U (∓) +1dxU (−) (0) = 0, U (+) (1) = 0.11d2 ϕ(∓)(x),dx2x ∈ (0, 1),Ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå∂A(∓) (u, x) dϕ(∓)∂B (∓) (u, x)(x) +.∂udx∂uÐåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ ìîæíî âûïèñàòü â ÿâíîì âèäåW (∓) (u, x) =(−)U1−S (−) (x)Zx =ed2 ϕ(−)dx2d2 ϕ(+)dx2eS(−)A0(+)U1−S (+) (x)Zx =e1ãäå87dx0(−) (x0 )eSdx0(+) (x0 )A(+),(x0 )(x0 ),(3.19)S (−) (x) =ZxW (−) (ϕ(−) , x0 )S (+) (x) =(−)A0Zxdx0W (+) (ϕ(+) , x0 )dx0(+)A1,(x0 )(3.20).(x0 )Ôóíêöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ ïåðâîãî ïîðÿäêàÄëÿ êðàòêîñòè ââåäåì îáîçíà÷åíèÿÃ(ξ) = A ũ(ξ, x∗ ), x∗ , B̃(ξ) = B ũ(ξ, x∗ ), x∗ .Ïîäñòàâèâ ôóíêöèè Q(∓) (ξ, t, ε) â âèäå (3.6) â óðàâíåíèå (3.10) è óñëîâèÿ ñøèâàíèÿ (3.7) è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ε1 , ïîëó÷èì çàäà(∓)÷è äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé ïåðåõîäíîãî ñëîÿ Q1 (ξ, t) (∓)(∓)∂ 2 Q1∂ Q1(∓)(∓)∗−Ã(ξ)− ∂∂uà (ξ)Φ(ξ, x∗ ) · Q1 = − dxΦ(ξ, x∗ ) + f1 (ξ, t),2∂ξdt∂ξ(−)(+)(−)(+)Q1 (0, t) + U 1 (x∗ ) = Q1 (0, t) + U 1 (x∗ ) = 0,Q(±) (±∞, t) = 0,1ãäå(∓)f1 (ξ, t)= Φ(ξ, x∗ )!dϕ(∓)∂ Ãdϕ(∓)∂ Ã(∓)(ξ) U 1 (x∗ ) +(x∗ ) · ξ +(ξ) · ξ +Ã(ξ)(x∗ )+B̃(ξ),∂udx∂xdxçàäà÷è äëÿ ôóíêöèé ñ âåðõíèì èíäåêñîì ¾-¿ ðåøàþòñÿ ïðè ξ < 0, à ñâåðõíèì èíäåêñîì ¾+¿ ïðè ξ > 0 äëÿ âñåõ t ∈ (0, T ].(∓)Ôóíêöèè Q1 (ξ, t) ìîæíî íàéòè â ÿâíîì âèäå88(∓)Q1 (ξ, t) =(∓)= −U 1 (x∗ )Φ(ξ, x∗ )+Φ(ξ, x∗ )Φ(0, x∗ )Zξ(Φ(ξ 0 , x∗ ))−1Zξ0 (∓)f1 (η, t) −dx∗Φ(η, x∗ ) dη  dξ 0 .dt∓∞0(3.21)(∓)Äëÿ ôóíêöèé Q1 (ξ, t) ñïðàâåäëèâû ýêñïîíåíöèàëüíûå îöåíêèòèïà (3.18).(∓)∂Q1Âûïèøåì çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ∂ξ(−) ∂Q1∂ξdx∗(−)(−)ϕ(x∗ ) − ϕ(−) (x∗ ) − U 1 (x∗ )A (x∗ ) +dt!!∂ à dϕ(−)∂ Ãdϕ(−)(ξ)(x∗ )ξ +(ξ)ξ + Ã(ξ)(x∗ ) + B̃(ξ) dξ,∂udx∂xdx=−ξ=0Z0+ïðè ξ = 0:Φ(ξ, x∗ )−∞(+) ∂Q1∂ξξ=0Z0+dx∗(+)(+)ϕ(x∗ ) − ϕ(+) (x∗ ) − U 1 (x∗ )A (x∗ ) +dt!!∂ à dϕ(+)∂ Ãdϕ(+)(ξ)(x∗ )ξ +(ξ)ξ + Ã(ξ)(x∗ ) + B̃(ξ) dξ.∂udx∂xdx=−Φ(ξ, x∗ )+∞(3.22)Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ε1 â óñëîâèè C 1 -ñøèâàíèÿ (3.8) ñó÷åòîì ðàçëîæåíèÿ (3.3) äëÿ x∗ (t, ε), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè x0 (t).dx0 (−)ϕ (x0 ) − ϕ(+) (x0 ) = H(x0 ),dtãäå ââåäåíà ôóíêöèÿ H(x∗ ) = H (+) (x∗ ) − H (−) (x∗ ) è89(3.23)H (±) (x∗ ) =dϕ(±)(x∗ )+dxZ0+Φ(ξ, x∗ )∂ à dϕ(±)∂ Ã(ξ)(x) · ξ +(ξ) · ξ∂udx∂x!!dϕ(±)+ Ã(ξ)(x∗ ) + B̃(ξ) dξ−dx±∞(±)(±)− U 1 (x∗ )A(x∗ ) .

(3.24)Çàäàäèì íà÷àëüíîå óñëîâèåx0 (0) = x00 .(3.25)Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî x00 ýòî òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ôðîíòà, çàäàííîãî âíà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, è êðèâîé ϕ(x), îïðåäåëåííîé â (3.4):uinit (x00 ) = ϕ(x00 ).Ïîòðåáóåì ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è Êîøè äëÿ ôóíêöèè x0 (t):(B4) Ïóñòü çàäà÷à (3.23), (3.25) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x0 (t),êîòîðîå â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ∈ [0, T ] ïðèíèìàåò çíà÷åíèå âíóòðèèíòåðâàëà (0, 1).3.2.3×ëåíû àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ âòîðîãîïîðÿäêàÐåãóëÿðíàÿ ÷àñòüÏîñòðîèì ÷ëåíû àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.1). Ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû îïðåäåëÿþòñÿ èç çàäà÷ Êîøè90(∓)A(∓) dU 2 = −W (∓) U (∓) + f¯(∓) (x),22dxU (−) (0) = 0, U (+) (1) = 0,2(3.26)2ãäå(∓)(∓)(∓) (∓) 2∂AdU 11 ∂W (∓) (∓)d2 U 1(∓)(∓)¯(x)−(x)(x)U 1 (x)−ϕ (x), x · U 1 (x) .f2 (x) =∂udx2 ∂udx2Ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ ìîãóò áûòü âûïèñàíû â ÿâíîì âèäå, òàêæå êàêè ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà÷ äëÿ ðåãóëÿðíûõ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿâ ïåðâîì ïîðÿäêå.Ôóíêöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ âòîðîãî ïîðÿäêà(∓)Äëÿ ôóíêöèé ïåðåõîäíîãî ñëîÿ âòîðîãî ïîðÿäêà Q2 (ξ, t) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå çàäà÷è 2 (∓)(∓)∂ Q2∂ Q2(∓)(∓)−Ã(ξ)− Φ(ξ, x∗ ) ∂∂uà (ξ)Q2 = f2 (ξ, t) −2∂ξ∂ξ(−)(+)(+)(−)Q2 (0, t) + U 2 (x∗ ) = Q2 (0, t) + U 2 (x∗ ) = 0,Q(±) (±∞, t) = 0,2ãäå91(∓)dx∗ ∂ Q1dt∂ξ,!(∓)dU 11 d2 ϕ(∓) 2= Φ (ξ, x∗ )+ξ+ξ +dx2 dx2!2(∓)(∓)221 ∂ 2 Ãdϕdϕ∂Ã1∂Ã(∓)(∓)(∓)(∓)+U 1 + Q1 +U 1 + Q1 +ξ2 +ξ +ξ ξ+2 ∂u2dx∂u∂xdx2 ∂x2!!(∓)(∓)dϕ(∓) ∂Q1∂ Ãdϕ∂Ã(∓)(∓)++U 1 + Q1 +ξ +ξ +dx∂ξ∂udx∂x!(∓)dU 1d2 ϕ(∓)∂ B̃∂ B̃dϕ(∓)(∓)(∓)+ Ã++ξ +ξ−U 1 + Q1 +2 ξdx∂udx∂xdx!!(∓) (∓)(∓)(∓)2 (∓)dϕ(∓) ∂Aϕdϕ∂Ud∂A(∓)(∓)1−U1 +ξ +ξ −A+ξ −dx∂udx∂x∂xdx2(∓) (∓)(∓)∂Bdϕ(∓)∂B∂Q0(∓)−U1 +ξ −ξ+.

(3.27)∂udx∂x∂t∂ Ã∂u(∓)f2 (ξ, t)(∓)U2Çäåñü A = A(x∗ (t, ε)), à = Ã(ξ) è àíàëîãè÷íûé ñìûñë èìåþò(∓)îáîçíà÷åíèÿ B , B̃ è ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé A, à è B, B̃ . Ôóíêöèè U 1 ,(∓)U2è ϕ(∓) áåðóòñÿ â òî÷êå x∗ .(∓)ßâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé Q2 (ξ, t) ìîæíî âûïèñàòü ïî àíàëî(∓)ãèè ñ âûðàæåíèÿìè (3.21) äëÿ ôóíêöèé Q1 (ξ, t).(∓)Q2 (ξ, t) =(∓)= −U 2 (x∗ )Φ(ξ, x∗ )+ Φ(ξ, x∗ )Φ(0, x∗ )Zξ Φ (ξ 0 , x∗ )0−1 Zξ(∓)f2 (η, t) −(∓)dx∗ ∂Q1dt∂ξ!(η, t) dη  dξ 0 ,∓∞0(3.28)(∓)Äëÿ ôóíêöèé Q2 (ξ, t) ñïðàâåäëèâû ýêñïîíåíöèàëüíûå îöåíêèòèïà (3.18).(∓)∂Q2Âûïèøåì çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ∂ξ92â òî÷êå ξ = 0:(∓)∂Q2∂ξ=Z0(∓)−U 2 (x∗ )Ã(∓) (0)!(±)dx∂Q∗(∓)1f2 (η, t) −(η, t) dη.

(3.29)dt ∂η+∓∞Èç óñëîâèÿ C 1 -ñøèâàíèÿ (3.8) âî âòîðîì ïîðÿäêå ñ ó÷åòîì ðàçëîæåíèÿ (3.3) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî(−) (−) 2 (−) 2 (−) ∂Q2 dU 1 ∂ Q1 dϕ ·x1 − dx1 ϕ(x0 ) − ϕ(−) (x0 ) =++ +2∂ξ ξ=0dx ∂x∗ ∂ξ ξ=0 dx x=x0dtx=x0x∗ =x0x∗ =x0(+) (+) 2 (+) 2 (+) ∂Q2 dU 1 ∂ Q1 dϕ ·x1 − dx1 ϕ(x0 ) − ϕ(+) (x0 ) ,=++ +2∂ξ ξ=0dx ∂x∗ ∂ξ ξ=0 dx x=x0dtx=x0x∗ =x0x∗ =x0ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿdx1ôóíêöèè x1 (t).

Ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîäíûåâîçíèêàþò âdtðåçóëüòàòå ïðåäñòàâëåíèÿ x∗ â âèäå (3.3) è âûäåëåíèÿ ÷ëåíîâ ïåðâîãîïîðÿäêà ïî ε â âûðàæåíèÿõ, âõîäÿùèõ â (3.22) äëÿ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèédx∗(∓)Q1 è ñîäåðæàùèõ ïðîèçâîäíóþ.dtÏîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå (3.29), èñïîëüçóÿ (3.22), ïîëó÷èìóðàâíåíèå äëÿ x1 (t).−(−)U 2 (x0 )!Z0(−)dx0 ∂Q1(−)· Ã(0) +f2 (η, t) −(η, t) dη+dt ∂η−∞(−) dx1dU 1 +− ϕ(x0 ) − ϕ(−) (x0 )+dx dtx=x0Z0(+)+ U 2 (x0 ) · Ã(0) −!(+)dx∂Q0(+)1f2 (η, t) −(η, t) dη−dt ∂η+∞−(+)dU 1 dx x=x0∂= x1∂x∗ dx1+ ϕ(x0 ) − ϕ(+) (x0 )=dt(+)∂Q1∂ξ(−)dϕ(+) ∂Q1+−dx∂ξ93dϕ(−)−dx! . (3.30)x∗ =x0Ïðåîáðàçóÿ ýòî âûðàæåíèå, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ x1 (t).Îïðåäåëèì ôóíêöèþ x1 (t) êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè− dx1 ϕ(+) (x0 (t)) − ϕ(−) (x0 (t)) = D(x0 (t))x1 + G1 (x0 (t), t),dtx (0) = 0,1ãäå ôóíêöèÿ D(x0 (t)) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåìdx0 ddH(+)(−)(x0 ) +ϕ (x) − ϕ (x) D(x0 ) =,dx∗dt dxx=x0êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàâåíñòâà(∓)dϕ(∓)dx∗∂Q1(0, t) +(x∗ ) = H (∓) (x∗ ) −ϕ(x∗ ) − ϕ(∓) (x∗ ) ,∂ξdxdt(3.31)(3.32)à âûðàæåíèå G1 (x0 (t), t) âûïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìG1 (x0 (t), t) =Z0=−!!Z0(−)(+)dx∂Qdx∂Q00(−)(+)11f2 (η, t) −(η, t) dη+f2 (η, t) −(η, t) dη−dt ∂ηdt ∂η−∞−+∞(−)dU 1dx(x0 ) +(+)dU 1dx(−)(+)(x0 ) + U 2 (x0 ) · Ã(0) − U 2 (x0 ) · Ã(0).

(3.33)943.2.4×ëåíû àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêàÐåãóëÿðíûå ôóíêöèèÄåéñòâóÿ ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèìè ïóíêòàìè, ìîæíî ïîñòðîèòüàñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.1) âïëîòü äî ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà k = 3, 4, . . .(∓)Ðåãóëÿðíûå ôóíêöèè U kîïðåäåëÿþòñÿ èç çàäà÷ Êîøè(∓)A(∓) (x) dU k = −W (∓) (ϕ(∓) (x), x)U (∓) + f¯(∓) (x),kkdx(−)(+)U (0) = 0, U (1) = 0,kk(∓)ãäå ôóíêöèè W (∓) (u, x) îïðåäåëåíû â (3.19), à f¯k (x) èçâåñòíû.Ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå ïåðåõîäíûé ñëîéÄëÿ ôóíêöèé ïåðåõîäíîãî ñëîÿ k-ãî ïîðÿäêà ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå çàäà÷è 2 (∓)(∓)∂ Qk∂ Qk(∓)(∓)−Ã(ξ)− Φ(ξ, x∗ ) ∂∂uà (ξ)Qk = fk (ξ, t) −2∂ξ ∂ξ(−)(+)(+)(−)Qk (0, t) + U k (x∗ ) = Qk (0, t) + U k (x∗ ) = 0,Q(±) (∓∞, t) = 0,(∓)dx∗ ∂ Qk−1,dt∂ξk(∓)ãäå fk (ξ, t) èçâåñòíûå ôóíêöèè.(∓)Äëÿ ôóíêöèé ïåðåõîäíîãî ñëîÿ Qk (ξ, t) ñïðàâåäëèâû ýêñïîíåíöèàëüíûå îöåíêè òèïà (3.18).Èñïîëüçóÿ óñëîâèå C 1 ñøèâàíèÿ (3.8), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿôóíêöèè xk−1 (t).

Îïðåäåëèì xk−1 (t) êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè95− dxk−1 ϕ(+) (x0 (t)) − ϕ(−) (x0 (t)) = D(x0 (t))xk−1 + Gk−1 (x0 (t), t),dtx (0) = 0,k−1ãäå Gk−1 èçâåñòíîå âûðàæåíèå, à ôóíêöèÿ D(x0 ) îïðåäåëåíà â (3.31).Åñëè ïîòðåáîâàòü äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòè ôóíêöèé A(u, x), B(u, x),òî ìîæíî ïîñòðîèòü ôîðìàëüíóþ àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.1)äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ k .Ïîëîæèì Xk+1 (t) =Pk+1i=0εi xi (t) è ξk+1 =Ñîñòàâèì ñóììû(−)Uk (x, t, ε)(+)Uk (x, t, ε)==kXi=0kXεi(−)U i (x)εi(+)U i (x)x − Xk+1 (t).ε+(−)Qi (ξk+1 , t),(x, t) ∈ Dk ,+(+)Qi (ξk+1 , t),(x, t) ∈ Dk ,(−)(+)(3.34)i=0Dk(∓)(+)D:Dkn(x, t) : Xk+1ïîäîáëàñòè,íàêîòîðûåêðèâàÿ o Xk+1 (t)äåëèòn(−)=(x, t) : 0 6 x 6 Xk+1 , t ∈ [0, T ] ,Dk=o6 x 6 1, t ∈ [0, T ] .ÏîëîæèìU (−) (x, t, ε),kUk (x, t, ε) =U (+) (x, t, ε),k(x, t) ∈ Dk(−)(x, t) ∈ Dk(+),. êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ôóíêöèÿ Uk (x, t, ε) ïî ñâîåìó ïîñòðîåíèþóäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3.1) ñ òî÷íîñòüþ O εk íà èíòåðâàëå (0, 1) çàèñêëþ÷åíèåì òî÷êè Xk+1 , â êîòîðîé îíà è åå ïðîèçâîäíûå èìåþò ðàçðûâû (ñêà÷êè).

Характеристики

Список файлов диссертации