Диссертация (1103461), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ δ â ñèëó óñëîâèÿ (A4). Àíàëîãè÷íî ìîæíîïîêàçàòü, ÷òî íåðàâåíñòâî 4) äëÿ íèæíåãî ðåøåíèÿ âûïîëíåíî ïðè òîìæå ñàìîì δ .75Êàê èçâåñòíî (ñì. [4345]), ñóùåñòâîâàíèå âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé ãàðàíòèðóþò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ u(x, ε) çàäà÷è (2.2), êîòîðîåóäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì:x ∈ [0, 1].α(x, ε) 6 u(x, ε) 6 β(x, ε),Ïîñêîëüêóβ (x, ε) − α (x, ε)u(x, ε) = α (x, ε) + O (εn−1=O (εn−1 )) = Un−2 (x, ε) + O (εn−1(ñì.(2.60)(2.55)),òî).
Çàìåíÿÿ n − 2íà n â ðàâåíñòâå u(x, ε) = Un−2 (x, ε) + O (εn−1 ), ïîëó÷èì îöåíêó|u(x, ε) − Un (x, ε)| 6 Cn εn+1 .Óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíûì ñëåäñòâèåì îáùèõòåîðåì, ñôîðìóëèðîâàííûõ â [22] è [23].  ñòàòüå [22] äîêàçàíà òåîðåìà îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (Î.ñ. 1)(Î.ñ. 2) (ñì.
ãëàâó 1). Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, ïðèâåäåííûå â ñòàòüå [23],ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò, ñïðàâåäëèâûé äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àÿ. Ïðè äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòè ôóíêöèé A(u, x)è B(u, x) è â ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ|u(x)| + |α(x)| + |β(x)| 6 k1 ,p+1|β(x) − u(x)| + |α(x) − u(x)| 6 k2 ε 2 , ∂β(x) ∂u(x) ∂α(x) ∂u(x) p−12 ∂x − ∂x + ∂x − ∂x 6 c2 ε ,ãäå uε (x) ðåøåíèå çàäà÷è (2.2), α(x), β(x) ñîîòâåòñâåííî, íèæíååè âåðõíåå ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.2), k1 , k2 , c2 êîíñòàíòû, ðåøåíèå u(x)ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíîâó, åñëè p > q , ãäå q ïîðÿäîê àñèìïòîòè÷åñêèõ íèæíåãî è âåðõíåãî ðåøåíèé.Ïðèìåíÿÿ ðåçóëüòàòû [22, 23], ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿíåðàâåíñòâà76|β(x, ε) − u(x, ε)| + |α(x, ε) − u(x, ε)| 6 εp+12= O(εn−1 ) (ñì.
(2.55)).(2.61)è ∂β(x, ε) ∂u(x, ε) ∂α(x, ε) ∂u(x, ε) 6 ε p−12−= O(εn ) (ñì. (2.46) è (2.53)). ∂x − ∂x + ∂x∂x (2.62)Èç äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ (2.58) ïîëó÷àåì, ÷òî âûðàæåíèåäëÿ âåëè÷èíû q , ïîðÿäêà âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé èç îïðåäåëåíèÿâ ãë. 1: q = n + 1.Èç (2.61) è (2.62) ñëåäóåò, ÷òî íóæíî ïîëîæèòü p = 2n−3. Ñîãëàñíî óñëîâèþ (Î.ñ. 3), äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿòðåáóåòñÿ âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà p > q , êîòîðîå â íàøåì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ ïðè n > 4.
Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó äîêàçàííîãî â [23], ïîñòðîåííîåðåøåíèå çàäà÷è (2.2) ñ âíóòðåííèì ïåðåõîäíûì ñëîåì àñèìïòîòè÷åñêèóñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî ε ñ îáëàñòüþ ïðèòÿæåíèÿ α5 (x, ε) 6 u(x, ε) 6 β5 (x, ε).77Ãëàâà 3Ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ â âèäåäâèæóùåãîñÿ ôðîíòà ó çàäà÷èòèïàðåàêöèÿ-àäâåêöèÿ-äèôôóçèÿ âñëó÷àå ñáàëàíñèðîâàííîéàäâåêöèè.3.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Îñíîâíûå óñëîâèÿ äàííîé ãëàâå èññëåäóåòñÿ âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè è àñèìïòîòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ðåøåíèÿ ñ äâèæóùèìñÿ âíóòðåííèì ïåðåõîäíûì ñëîåì ñëåäóþùåé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ ðåàêöèÿäèôôóçèÿ-àäâåêöèÿ78 ε ∂ 2 u2 −∂x∂u∂t= A(u, x) ∂∂xu + B(u, x),u(0, t, ε) = u(−) ,u(1, t, ε) = u(+) ,def(x, t) ∈ D = {x ∈ (0, 1); t ∈ (0, T )}u(x, 0, ε) = uinit (x).(3.1)Çäåñü ε > 0 ìàëûé ïàðàìåòð, T íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíà.
Ñ÷èòàåì, ÷òî ôóíêöèè A(u, x) è B(u, x) äîñòàòî÷íî ãëàäêèå â îáëàdefñòè Ω̄ = D̄ × I(u), ãäå I(u) îáëàñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè u(x, t, ε). Òðåáóåìûé ïîðÿäîê ãëàäêîñòè ôóíêöèé A(u, x) è B(u, x) ñâÿçàí, êàê îáû÷íî,ñ ïîðÿäêîì ñòðîÿùåéñÿ àñèìïòîòèêè è ëåãêî óñòàíàâëèâàåòñÿ.Ðåøåíèÿ ñ âíóòðåííèìè ïåðåõîäíûìè ñëîÿìè äëÿ óðàâíåíèÿ ðåàêöèÿäèôôóçèÿ-àäâåêöèÿ ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ, íàïðèìåð, â ýêîëîãèè ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû èëèêîíöåíòðàöèè ãàçîâ â ïðèïîâåðõíîñòíûõ ñëîÿõ àòìîñôåðû, à òàêæå âõèìè÷åñêîé êèíåòèêå (ïîäðîáíåå ñì.
ãë. 1).Òåîðåòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷, èìåþùèõ ðåøåíèÿ òàêîãî âèäà ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç àêòóàëüíûõ ïðîáëåì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäøåñòâóåò ñåðèÿ ïóáëèêàöèé, êàñàþùèõñÿèññëåäîâàíèÿ ðåøåíèé ñ âíóòðåííèì ïåðåõîäíûì ñëîåì â íà÷àëüíîêðàåâûõ çàäà÷àõ òèïà ðåàêöèÿ-äèôôóçèÿ-àäâåêöèÿ.  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ [46,47] áûëè ðàññìîòðåíû ðåøåíèÿ â âèäå ñòàöèîíàðíûõ âíóòðåííèõïåðåõîäíûõ ñëîåâ ó çàäà÷ òèïà ðåàêöèÿ-äèôôóçèÿ-àäâåêöèÿ.
Èññëåäîâàíèÿ äâèæóùèõñÿ ôðîíòîâ â çàäà÷àõ ðåàêöèÿ-äèôôóçèÿ ñîäåðæàòñÿ âðàáîòàõ [4, 6]. Ðàáîòà [8] ïîñâÿùåíà äâèæåíèþ ôðîíòà â çàäà÷å ðåàêöèÿäèôôóçèÿ-àäâåêöèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ó êðàåâûõ çàäà÷ ðåøåíèé ñ âíóòðåííèìè ïåðåõîäíûìè ñëîÿìè îñíîâàíî íà ïðèíöèïå ñðàâíåíèÿ [22] èïðîâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ àñèìïòîòè÷åñêîãî ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõíåðàâåíñòâ. Ðàçâèòèå ýòîãî ìåòîäà íà øèðîêèé êëàññ ñèíãóëÿðíîâîçìóùåííûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ ñîäåðæèòñÿ â ðàáîòàõ [21, 23].Îñîáåííîñòüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå äâèæóùåãîñÿ79ôðîíòà â ñëó÷àå áàëàíñà àäâåêöèè.Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè óæå ñóùåñòâóåò ñôîðìèðîâàííûé ôðîíò, òî åñòü ôóíêöèÿ uinit (x, ε) èìååò âíóòðåííèé ïåðåõîäíûé ñëîé â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé âíóòðåííåé òî÷êè x00 èíòåðâàëà (0, 1).
 äàííîé ãëàâå ïîñòðîåíî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèåè äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ó çàäà÷è (3.1) ðåøåíèÿ â âèäå äâèæóùåãîñÿôðîíòà, òî åñòü ðåøåíèÿ, èìåþùåãî âíóòðåííèé ïåðåõîäíûé ñëîé, êîòîðûé â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ëîêàëèçîâàí â îêðåñòíîñòè òî÷êèx∗ (t, ε) ∈ (0, 1). Ñëåâà îò óêàçàííîé îêðåñòíîñòè ðåøåíèå u(x, t, ε) çàäà÷è (3.1) áëèçêî ê ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ∂u+ B(u, x) = 0,(3.2)∂xñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì u(0) = u(−) , à ñïðàâà ê ðåøåíèþ óðàâíåA(u, x)íèÿ (3.2) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì u(1) = u(+) . Ñóùåñòâîâàíèå ýòèõðåøåíèé îáåñïå÷èâàåòñÿ ñëåäóþùèì òðåáîâàíèåì.(B1) Óðàâíåíèå (3.2) ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì u(0) = u(−) èìååòíà îòðåçêå [0, 1] ðåøåíèå u(x) = ϕ(−) (x), à ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì u(1) = u(+) ðåøåíèå u(x) = ϕ(+) (x), è íà âñåì îòðåçêå x ∈ [0, 1]âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâàϕ(−) (x) < ϕ(+) (x),A ϕ(−) (x), x > 0,A ϕ(+) (x), x < 0Óñëîâèå áàëàíñà àäâåêöèè â íàñòîÿùåé ðàáîòå îçíà÷àåò âûïîëíåíèåñëåäóþùåãî òðåáîâàíèÿ:(B2) Ïóñòüϕ(+)Z (x)A(u, x)du ≡ 0,äëÿ âñåõ x ∈ [0, 1].ϕ(−) (x)Ïîòðåáóåì òàêæå âûïîëíåíèÿ ñëåäóþùåãî óñëîâèÿ:80(B3) Ïóñòü äëÿ âñåõ s ∈ ϕ(−) (x), ϕ(+) (x) è êàæäîãî x ∈ (0, 1) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîZsA (u, x) du > 0.ϕ(−) (x)Ôóíêöèÿ x∗ (t, ε) îïèñûâàåò èçìåíåíèå ïîëîæåíèÿ ïåðåõîäíîãî ñëîÿ âçàâèñèìîñòè îò âðåìåíè.
Áóäåì èñêàòü åå â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿììàëîãî ïàðàìåòðà ε.(3.3)x∗ (t, ε) = x0 (t) + εx1 (t) + . . . ,ñ êîýôôèöèåíòàìè xk (t), k = 0, 1, . . ., êîòîðûå áóäóò îïðåäåëåíû â õîäåïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòèêè.Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿD(−)= {(x, t) : 0 6 x 6 x∗ (t, ε); t ∈ [0, T ]} ,D(+)= {(x, t) : x∗ (t, ε) 6 x 6 1; t ∈ [0, T ]}.Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå U (x, t, ε) ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.1) áóäåì(−)(+)ñòðîèòü îòäåëüíî â êàæäîé èç îáëàñòåé DèD :(−)U (−) (x, t, ε),(x, t) ∈ D ,U (x, t, ε) =(+)U (+) (x, t, ε),(x, t) ∈ D .Ïîñòðîåííûå ôóíêöèè U (−) è U (+) áóäåì ãëàäêî ñøèâàòü ïðè x =x∗ (t, ε) äëÿ êàæäîãî t ∈ [0, T ].
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèèU (x, t, ε) â òî÷êå x∗ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ðàâíîdefU (x∗ , t, ε) = U (∓) (x∗ , t, ε) = ϕ(x∗ ) =1 (−)ϕ (x∗ ) + ϕ(+) (x∗ ) .2(3.4)Êàæäóþ èç ôóíêöèé U (−) è U (+) ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû ðåãóëÿðíîé ÷àñòè è ôóíêöèè, îïèñûâàþùåé ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ â îêðåñòíîñòè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ, çàâèñÿùåé îò ðàñòÿíóòîé ïåðåìåííîé ξ(x, t) =x − x∗ (t, ε):ε81U (∓) (x, t, ε) = UÇäåñü U(∓)Ôóíêöèè U(∓)(x, ε) + Q(∓) (ξ, t, ε).
ðåãóëÿðíàÿ ÷àñòü; Q(∓) ôóíêöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ.(∓)è Q(∓) áóäåì ñòðîèòü â âèäå ðàçëîæåíèé ïî ñòåïåíÿì ε:U(∓)(∓)(∓)(3.5)(x, ε) = U 0 (x) + εU 1 (x) + . . . ,(∓)(∓)(3.6)Q(∓) (ξ, t, ε) = Q0 (ξ, t) + εQ1 (ξ, t) + . . . .Çàïèøåì óñëîâèå íåïðåðûâíîãî ñøèâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé U (−) è U (+) ïðè x = x∗ (t, ε):U(−)(x∗ (t, ε), ε)+Q(−) (0, t, ε) = U(+)(x∗ (t, ε), ε)+Q(+) (0, t, ε) = ϕ(x∗ (t, ε)) ïðè t ∈ [0, T ].(3.7)Óñëîâèå C -ñøèâàíèÿ çàïèøåì â âèäå1(−)(+)∂U∂Q(−)∂U∂Q(+)ε(x∗ (t, ε), ε)+(0, t, ε) = ε(x∗ (t, ε), ε)+(0, t, ε) ïðè t ∈ [0, T ].∂x∂ξ∂x∂ξ(3.8)Ðåãóëÿðíûå ÷àñòè àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé ôóíêöèè U(∓)(x, ε)îïðåäåëÿþòñÿ êàê ðåøåíèÿ óðàâíåíèé(±)d2 Uεdx2(±)= A(U(∓)dU, x)dx+ B(U(∓), x),x ∈ [0, 1](3.9)ñ äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè U (0) = u(−) è U (1) = u(+) .Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèé ïåðåõîäíîãî ñëîÿ,íóæíî ïåðåïèñàòü äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû â óðàâíåíèè (3.1)∂∂2∂â ïåðåìåííûõ ξ, t.
Îïåðàòîðû ε 2 ,è εâ ýòèõ ïåðåìåííûõ∂x∂x∂t21 ∂ 1 ∂dx∗ ∂∂ïðèíèìàþò âèä,è−+ε.ε ∂ξ 2 ε ∂ξdt ∂ξ∂t82Ôóíêöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþùèõ óðàâíåíèé1 ∂ 2 Q(∓) dx∗ (t, ε) ∂Q(∓)∂Q(∓)+−ε=ε ∂ξ 2dt∂ξ∂t ∂1(∓)(∓)(∓)+=A U (x∗ (t, ε) + εξ, ε) + Q , x∗ (t, ε) + εξQε∂ξ(∓)dU+ QA(x∗ + εξ)(x∗ (t, ε) + εξ, ε) + QB(x∗ + εξ), (3.10)dxãäåQA(x∗ + εξ) = (∓) (∓)= A U (x∗ (t, ε) + εξ, ε) + Q(∓) , x∗ (t, ε) + εξ −A U (x∗ (t, ε) + εξ, ε) , x∗ (t, ε) + εξ ,QB(x∗ + εξ) = (∓) (∓)= B U (x∗ (t, ε) + εξ, ε) + Q(∓) , x∗ (t, ε) + εξ −B U (x∗ (t, ε) + εξ, ε) , x∗ (t, ε) + εξñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèQ(∓) (0, t, ε) + U(∓)(x∗ (t, ε), ε) = ϕ(x∗ (t, ε)).Ïîòðåáóåì òàêæå âûïîëíåíèÿ ñòàíäàðòíîãî äëÿ ôóíêöèé ïåðåõîäíîãî ñëîÿ óñëîâèé óáûâàíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè:Q(∓) (∓∞, t, ε) = 0,3.2t ∈ [0, T ].Ïîñòðîåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ833.2.1Ãëàâíûå ÷ëåíû àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿÐåãóëÿðíàÿ ÷àñòüÃëàâíûå ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû àñèìïòîòèêè îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèåì (B1):ϕ(−) (x),U 0 (x) =ϕ(+) (x),x ∈ [0, x∗ ],x ∈ [x∗ , 1].Ôóíêöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ íóëåâîãî ïîðÿäêà(−)(+)Äëÿ ôóíêöèé ïåðåõîäíîãî ñëîÿ Q0 (ξ, t) ïðè ξ 6 0 è Q0 (ξ, t) ïðè ξ > 0è êàæäîì t ∈ [0, T ] ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå êðàåâûå çàäà÷è 2 (∓) (∓)∂ Q0∂ Q0(∓)(∓),x−Aϕ(x)+Q= 0,2∗∗0∂ξ∂ξ(∓)Q0 (0, t) + ϕ(∓) (x∗ ) = ϕ(x∗ ), (∓)Q0 (∓∞, t) = 0.(3.11)Ïåðåìåííàÿ t âûñòóïàåò çäåñü êàê ïàðàìåòð.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
