Автореферат (1103460), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Также приведена общая схема исследования решениясингулярно возмущенной задачи типа реакция-диффузия-адвекция припомощи асимптотического метода дифференциальных неравенств, содержащаяся в работе [22]. Выписаны условия существования и устойчивости поЛяпунову контрастной структуры типа ступеньки и алгоритм определениялокальной области устойчивости решения стационарной задачи, соответствующей уравнению (1).В главах 2–4 иследуется вопрос о существовании и свойствах решенийзадачи для уравнения реакция-диффузия-адвекция вида (1).Глава 2 посвящена исследованию существования и устойчивостистационарных решений с внутренними переходными слоями сингулярно8возмущенной задачи (1).Построено асимптотическое приближение произвольного порядка точности стационарного решения, доказана теорема существования.

Предложенэффективный алгоритм построения асимптотического приближения точкилокализации переходного слоя, указана локальная область влияния стационарного решения. Для обоснования построенной асимптотики используетсяасимптотический метод дифференциальных неравенств.В настоящей работе проведена модификация этого метода применительнок задачам с балансом адвекции.Стационарное решение задачи (1), имеющее внутренний переходный слой,определяется как решение краевой задачиε d2 u2 = A(u, x) du + B(u, x),dxdxu(0) = u(−) , u(1) = u(+) .(2)Здесь ε > 0 — малый параметр.

Считаем, что функции A(u, x) и B(u, x)defдостаточно гладкие в области Ω̄ = [0, 1] × I(u), где I(u) — область значенийфункции u(x, ε). Требуемый порядок гладкости функций A и B связан, какобычно, с порядком строящейся асимптотики и легко устанавливается.Задача решается в предположении, что выполнены следующие условия.Условие A1.du+ B(u, x) = 0 с дополнительнымВырожденное уравнение A(u, x)dxусловием u(0) = u0 имеет решение u = ϕ(−) (x), а с дополнительным условиемu(1) = u1 — решение u = ϕ(+) (x), причем ϕ(−) (x) < ϕ(+) (x), x ∈ [0, 1] иA ϕ(−) (x), x > 0, A ϕ(+) (x), x > 0, x ∈ [0, 1].Условие A2.

(баланс адвекции)ϕ(+)R (x)A(u, x)du ≡ 0, при x ∈ [0, 1].ϕ(−) (x)9Исследуется вопрос о существовании и асимптотическом приближении решения с переходным слоем в окрестности некоторой внутренней точки x∗отрезка [0, 1], где происходит быстрое изменение решения u(x, ε) рассматриваемой задачи от функции ϕ(−) (x) до функции ϕ(+) (x).uϕ(+)6ϕ(−)-xx∗Положение точки локализации внутреннего переходного слоя x∗ заранеенеизвестно и ищется виде рядаx∗ = x0 + εx1 + . . .

,(3)коэффициенты которого находятся при построении асимптотического разложения решения. Считаем, что значение функции u(x, ε) в точке x∗ равно1 (−)(+)u(x∗ , ε) = ϕ(x∗ ) =ϕ (x∗ ) + ϕ (x∗ ) .(4)2Для построения асимптотического разложения решения задачи (2) такженеобходимо выполнения следующего требованияdefУсловиеA3.RsA(u, x)du > 0, для всех s ∈ ϕ(−) (x), ϕ(+) (x) , x ∈ [0, 1].ϕ(−) (x)Для построения формальной асимптотики решения вида контрастнойструктуры отдельно рассматриваем две задачи: слева и справа от точки перехода x∗ . dU (−)ε d2 U (−)(−)(−)=AU,x+BU,x,dxdx2U (−) (0, ε) = u(−) , U (−) (x∗ , ε) = ϕ(x∗ )10x ∈ (0, x∗ ),(5)и dU (+)ε d2 U (+)(+)(+)=AU,x+BU,x,2dxdxU (+) (1, ε) = u(+) , U (+) (x∗ , ε) = ϕ(x∗ ).x ∈ (x∗ , 1),(6)Формальную асимптотику решений каждой из этих задач строим по методу пограничных функций (см. [1]) в виде рядов по степеням ε.Построенные функции U (−) и U (+) гладко сшиваем при x = x∗ (ε).Каждую из функций U (−) и U (+) представляем в виде суммы регулярнойчасти и функции, описывающей поведение решения в окрестности переходx − x∗ (ε):ного слоя, зависящей от растянутой переменной ξ =εU (∓) (x, ε) = UЗдесь U(∓)Функции U(∓)(x, ε) + Q(∓) (ξ, ε).— регулярная часть; Q(∓) — функции переходного слоя.(∓)и Q(∓) строим в виде разложений по степеням ε:U(∓)(∓)(∓)(∓)(∓)(x, ε) = U 0 (x) + εU 1 (x) + .

. .(7)Q(∓) (ξ, ε) = Q0 (ξ) + εQ1 (ξ) + . . .Регулярные части асимптотических разложений — функции Uопределяются как решения уравнений(∓) (∓) dU (∓) (∓) d2 Uε= A U ,x+ B U , x , x ∈ [0, 1]dxdx2с дополнительными условиями U (0) = u(−) и U (1) = u(+) .(8)(∓)(x, ε)(9)Коэффициенты асимптотических разложений функций переходного слоянаходятся путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях εв уравнении dQ1 d2 Q 1dU=AU+Q,x+QA(ξ,ε)+ QB(ξ, ε),ε dξ 2εdξdxгде11(10)QA(ξ, ε) = A U (x∗ + εξ, ε) + Q(ξ, ε), x∗ + εξ − A(U (x∗ + εξ, ε), x∗ + εξ),QB(ξ, ε) = B U (x∗ + εξ, ε) + Q(ξ, ε), x∗ + εξ − B(U (x∗ + εξ, ε), x∗ + εξ).с граничными условиямиQ(∓) (0, ε) + U(∓)(x∗ (ε), ε) = ϕ(x∗ (ε))и условиями на бесконечностиQ(∓) (∓∞, ε) = 0.ОбозначимU (−) (x ) + Q(−) (ξ),∗00ũ(ξ, x∗ ) =(+)U (x∗ ) + Q(+) (ξ),00Φ(ξ, x∗ ) =Ã(ξ) = A (ũ0 (ξ, x∗ ), x∗ ) ,ξ 6 0,(11)ξ > 0,∂ ũ,∂ξ(12)B̃(ξ) = B (ũ0 (ξ, x∗ ), x∗ ) .(13)defВведем функцию H(x∗ ) = H (−) (x∗ ) − H (+) (x∗ ), гдеH (±) (x∗ ) =dϕ(±)(x∗ )+dxZ0+Φ(ξ, x∗ )±∞(±)∂ Ã dϕ∂ Ã(ξ)(x∗ ) · ξ +(ξ) · ξ∂udx∂xdϕ(±)+ Ã(ξ)(x∗ ) + B̃(ξ) dξ−dx(±)!+− U 1 (x∗ )A(±)(x∗ ) .

(14)В главе 2 показано, что условие гладкого сшивания в нулевом порядкеоказывается выполненным, если выполнено следующее требование:12Условие A4.Пусть существует точка x0 ∈ (0, 1) — решение уравнения H(x0 ) = 0.При условиях (А1)–(А4) построено формальное асимптотическое разложение произвольного порядка по ε решения u(x, ε) задачи (2) в виде КСТС свнутренним переходным слоем в окрестности точки x0 и близкое к функцииϕ(−) (x) слева от этой окрестности и к функции ϕ(+) (x) справа от нее.

ПолоPx − Xn+1i. Запишем разложение решения вжим Xn+1 = n+1εxиξ=in+1i=0εвиде суммUn(−) (x, ε)=Un(+) (x, ε) =nXi=0nX (−)(−)ε U i (x) + Qi (ξn+1 ) ,0 6 x 6 Xn+1 , (+)(+)εi U i (x) + Qi (ξn+1 ) ,Xn+1 6 x 6 1,ii=0Un(−) (x, ε),Un (x, ε) =Un(+) (x, ε),0 6 x 6 Xn+1 ,Xn+1 6 x 6 1.Для обоснования асимптотики с помощью асимптотического методадифференциальных неравенств потребуем также выполнения ещё одногоусловия.Условие A5.dHПусть выполняется неравенство(x0 ) < 0.dxОсновным результатом главы 2 является следующая теорема.Теорема 1. При выполнении условий (A1)–(A5) при достаточно маломε > 0 существует решение u(x, ε) задачи, для которого функция Un (x, ε)является равномерным на отрезке [0, 1] асимптотическим приближениемс точностью порядка O εn+1 .

Это решение является устойчивым поЛяпунову стационарным решением задачи (1).13В главе 3 исследуется вопрос о существовании и асимптотическом приближении решения с движущимся внутренним переходным слоем следующейначально-краевой задачи для уравнения реакция-диффузия-адвекция. ∂2u∂uε ∂x2 − ∂t = A(u, x) ∂∂xu + B(u, x),u(0, t, ε) = u(−) , t ∈ (0, T ),def(x, t) ∈ D = {x ∈ (0, 1); t ∈ (0, T )},u(1, t, ε) = u(+) , t ∈ (0, T ),u(x, 0, ε) = u (x, ε), x ∈ (0, 1).init(15)Здесь ε > 0 — малый параметр, T — некоторая положительная величина,defфункции A(u, x) и B(u, x) достаточно гладкие в области Ω̄ = D × I(u), гдеI(u) — область значений функции u(x, t, ε).Построено асимптотическое приближение произвольного порядка точности решения в виде движущегося фронта, доказана теорема существования.Предложен эффективный алгоритм, позволяющий получить уравнениядвижения точки перехода. Для обоснования построенной асимптотикииспользуется и развивается на этот класс задач асимптотический методдифференциальных неравенств.Задача (15) рассматривается в предположении выполнения тех жеусловий (A1)–(A3), что и в главе 2.Положение переходного слоя в зависимости от времени описываетсяфункцией x∗ (t, ε), которая представляется в виде разложения по степеняммалого параметра ε:x∗ (t, ε) = x0 (t) + εx1 (t) + .

. . ,(16)с коэффициентами xk (t), k = 0, 1, . . ., которые определяются в ходе построения асимптотики.14Введем обозначенияD(−)= {(x, t) : 0 6 x 6 x∗ (t, ε); t ∈ [0, T ]} ,(+)= {(x, t) : x∗ (t, ε) 6 x 6 1; t ∈ [0, T ]}.DАсимптотическое разложение U (x, t, ε) решения задачи (15) будем стро(−)(+)ить отдельно в каждой из областей D и D :(−)U (−) (x, t, ε),(x, t) ∈ D ,U (x, t, ε) =(+)U (+) (x, t, ε),(x, t) ∈ D .Построенные функции U (−) и U (+) будем гладко сшивать при x = x∗ (t, ε)для каждого t ∈ [0, T ]. Будем считать, что значение функции u(x, t, ε) в точкеx∗ в каждый момент времени t равно1 (−)(+)ϕ (x∗ ) + ϕ (x∗ ) .(17)u(x∗ , t, ε) = U (x∗ , t, ε) = ϕ(x∗ ) =2Каждую из функций U (−) и U (+) представим в виде суммы регулярной части и функции, описывающей поведение решения в окрестности переходногоx − x∗ (t, ε)слоя, зависящей от растянутой переменной ξ(x, t) =:εdef(∓)U (∓) (x, t, ε) = U(∓)(x, ε) + Q(∓) (ξ, t, ε).(∓)Здесь U— регулярная часть; Q(∓) — функции переходного слоя.(∓)и Q(∓) будем строить в виде разложений по степеням ε:Функции UU(∓)(∓)(∓)(x, ε) = U 0 (x) + εU 1 (x) + .

Характеристики

Список файлов диссертации