Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса (1103428), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Таким образом, γ3не может уйти в −iT ∞, значит она уходит в +iT ∞. Это, в свою очередь,означает, что топологический случай 4 в окрестности точки E ⋆ реализуетсятолько на двух кривых, задающихся в E–плоскости уравнениямиRezZ+ (E)√i cos z − E dz = 0 ,иRez− (E)z+ (E)−2πZ√z− (E)47i cos z − E dz = 0 .Только на этих кривых конечная линия Стокса (соединяющая точку поворотаz− (E) с точкой z+ (E) или точкой z+ (E) − 2π соответственно) однозначнопроецируется на основание S1 = R/T Z цилиндра C/T Z.
При k ∈ Z\{0, 1},любая кривая, соединяющая точки z− (E) и z+ (E) − 2πk не проецируетсяоднозначно на основание цилиндра — «обматывает» его.В дальнейшем ограничимся рассмотрением числового образа оператораD, то есть E ∈ Img D = [0, +∞) + i(min V, max V ).Лемма 17. На кривых ηk и на луче (0, +∞) смена топологического видаграфа Стокса может происходить только в точке E ⋆ .Доказательство. Так как z± и линии Стокса непрерывны по параметруE, а различные топологические случаи определяются попаданием или непопаданием линий Стокса в различные точки поворота, то:(1) топологический случай 5 (случай общего положения) реализуется наоткрытом подмножестве E–плоскости;(2) топологические случаи 3 и 4 реализуются на открытых подмножествах кривых, для которых Re ξ(z− + kT, z+ ) = 0 (при каждом фиксированном k ∈ Z);(3) случай 1 реализуется на открытом подмножестве множества, на котором Re ξ(z+ , z+ + T ) = 0 (как мы знаем, последнее множество —луч (0, +∞));(4) случай 2 реализуется на открытом подмножестве множества, на котором одновременно Re ξ(z− , z+ ) = 0 и Re ξ(z− + T, z+ ) = 0 (как мызнаем, указанные множество и его подмножество — это {E ⋆ }).Таким образом, вдоль кривых в E–плоскости, которые задаются условиемRe ξ(z− + kT, z+ ) = 0, топологический вид графа Стокса может изменитьсятолько в точке E ⋆ .
Действительно, рассмотрим любою точку E0 ∈ ηk \{E ⋆ }.Связная окрестности этой точки на кривой U(E0 ) ∩ ηk разбивается на тримножества — множества Uj , на каждом из которых реализуется топологический случай j ∈ {3, 4, 5} (по леммам 14 и 15 случаи 1 и 2 не достигаются вдостаточно малой окрестности любой точки E0 ∈ ηk \{E ⋆ }).
Каждое из множеств Uj является открытым на ηk (U5 является открытым на ηk , так какявляется пересечением открытого в C множества с ηk ). Другими словами мыимеем разбиение множества U(E0 ) ∩ ηk на три открытые в нем компонентыU(E0 ) = U3 ∪ U4 ∪ U5 . Так как множество U(E0 ) ∩ ηk связно, то две из этихтрех компонент должны быть пусты. Другими словами в U(E0 ) ∩ ηk реализуется только один топологический случай, значит вдоль кривой ηk сменатопологического случая может происходить только в точке E ⋆ .Аналогично доказывается, что на луче (0, +∞) смена топологическогослучая может произойти только в точке E ⋆ .Следствие 2. На интервале (0, E ⋆ ) реализуется топологический случай5, а на луче (E ⋆ , +∞) — топологический случай 1.48Доказательство.
Заметим, что на каждом из указанных множеств реализуется либо топологический случай 1, либо топологический случай 5. Этоследует из того, что топологический случай 2 реализуется только в точке E ⋆ ,а топологические случаи 3 и 4 — на кривых ηk , пересекающих ось Re E только в точке E ⋆ . Кроме того, из леммы 17 следует, что на каждом из множеств(0, E ⋆ ) и (E ⋆ , +∞) реализуется только один топологический случай.Нетрудно заметить, что какой именно случай (1 или 5) реализуется, зависит от знака sign Re J(E) = sign Re ξ(z− , z+ ). Действительно, в окрестноститочки E ⋆ точки поворота z± (E) близки к точкам z± (E ⋆ ), а линии Стокса,выходящие из точки z+ близки (в окрестности этой точки) к линиям Стоксадля топологического случая 2, выходящим из точки z+ (E ⋆ ).
В самой точкеE ⋆ , действительная чать интеграла ξ(z− , z+ ) равна нулю, а мнимая часть интеграла ξ(z− , z) монотонна при движении z по линии Стокса, соединяющейточку z− с точкой z+ .Зафиксируем ветвь корня, как и в лемме 10:√: C\[0, +∞) → {z ∈ C | Im z > 0} .Тогда при E = E ⋆ мнимая часть интеграла ξ(z− , z) монотонно возрастаетпри движении z от точки z− по конечной линии Стокса, соединяющей точкиz− (E ⋆ ) и z+ (E ⋆ ). При E ∈ U(E ⋆ ), имеется линия Стокса, близкая (на своемначальном отрезке) к этой конечной линии Стокса.
По непрерывности ξ наней мнимая часть интеграла ξ(z− , z) также возрастает при движении z от z− .Для топологического случая 1 это должна быть линия Стокса, выходящаяиз точки z− вправо в точку z− + T , а для случая 5 — линия Стокса, выходящая из точки z− вправо в +i∞. При выбранной ветви корня эта линияСтокса задает положительное направление на оси Im ξ(z− , z), значит по нему,из взаимного расположения этой линии Стокса и отрезка [z− , z+ ], однозначноопределяется знак Re ξ(z− , z+ ). Для топологического случая 2 этот знак — 0,для случая 1 этот знак — −1, для случая 5 — 1.
Причем, как мы знаем (леммы 10 и 17) и смена знака действительной части интеграла ξ(z− , z+ ) и сменатопологического случая на луче (0, +∞) происходит только в точке E ⋆ .Таким образом, на всем луче (0, +∞), а не только в окрестности точки E ⋆ , топологические случаи однозначно соответствуют значениям знакаRe ξ(z− , z+ ). В конце леммы 10 (где ветвь корня выбиралась такой же какздесь) проведены оценки на этот знак, из которых следует, что на (E ⋆ , +∞)реализуется топологический случай 1, а на интервале (0, E ⋆ ) — топологический случай 5.Следствие 3.
Топологический случай 4 может реализоваться толькона кривых η = η0 и η = η1 .Доказательство. Из лемм 16, 17 и 15 следует, что топологический случай 4 при k ∈ Z\{0, 1} не реализуется ни при каком E ∈ C. Следовательнотопологический случай 4 может реализоваться только на кривой η0 или насопряженной ей кривой η1 .49Остается только проверить, какой случай реализуется на каждой из четырех связных компонент множества (η ∪ η) \{E ⋆ }.Лемма 18. Случай 4 реализуется на интервале кривой η (η), лежащеммежду точкой E ⋆ и точкой i (соответственно −i). Вне замыкания указанных интервалов на кривых η и η реализуется топологический случай 3.Доказательство.
Аналогично следствию 2, какой имеено случай реализуется на той или иной компоненте связности, зависит от знака Re ξ(0, 2π)на этой компоненте связности и от того, какие именно точки поворота соединены конечной линией Стокса на этой компоненте связности. Для определенности будем рассматривать η, на η все аналогично. На η конечной линией Стокса соединены точки z− и z+ . Если фиксировать ветвь корня также,как в следствии 2, то топологическому случаю 3 будет соответствовать знакsign Re ξ(z+ , z− + 2π) = sign Re ξ(z− , z− + 2π) = sign Re(0, 2π) = +1, а случаю4 — знак sign Re ξ(z+ , z− + 2π) = sign Re ξ(z+ , z+ + 2π) = sign Re(0, 2π) = −1.Так как гладкая кривая η пересекает Re z, причем только в одной точке E ⋆ , то разные компоненты связности множества η\{E ⋆ } лежат по разныестороны от Re z. То есть, на компоненте связности, содержащей точку i, мнимая часть всех точек положительна, а на второй компоненте связности —отрицательна.Для любой точки E0 ∈ η имеемsign Re ξ(0, 2π)|E=E0 = sign I(E0 ) = − sign Im E0 ,так как I(E) строго монотонно убывает по Im E при любом фиксированномRe E и I(E) = 0 на (0, +∞) (см.
лемму 9). Таким образом, так как на интервале кривой η, лежащем между точками E ⋆ и i имеем Im E0 > 0, то на этоминтервале sign Re ξ(0, 2π) < 0, а значит на нем реализуется топологическийслучай 4. На второй компоненте связности множества η\{E ⋆}, соответственно, реализуется случай 3.Замечание 7. Аналогично доказывается, что на кривых ηk при k ∈Z\{0, −1} топологический случай 3 реализуется правее точки E ⋆ , а левеенее на них реализуется случай 5 общего положения. Однако, как будет видно в дальнейшем, случаи 3 и 5 не вносят вклад в спектр рассматриваемогооператора D, а значит нам не имеет смысла их различать.Лемма 19. Топологический случай 1) графа Стокса реализуется на открытом луче (E ⋆ , +∞).
Случай 4) — на интервале кривой η, соединяющемточки i и E ⋆ (при этом в графе Стокса конечной линией Стокса соединены точки z− и z+ ) и на интервале кривой η, соединяющем точки −i и E ⋆(при этом в графе Стокса конечной линией Стокса соединены точки z− иz+ − 2π). Случай 2) реализуется в точке E ⋆ . В остальных точках полуполосы [0, +∞) + i[−1, 1], кроме точек ±i, реализуются случаи 3) и 5).Доказательство. Это вытекает из лемм 14 и 18 и следствий 2 и 3.50В полуполосе [0, +∞) + i[−1, 1] кривые ηk выглядят так:Im E+iη1η2η3η4η5Re E−iη0η−1η−2η−3η−4Правее точки E ⋆ на ηk реализуется топологический случай 3).
Левее точкиE ⋆ на η0 и η1 реализуется случай 4), а на остальных кривых — случай 5).3.6. Матрица монодромии и условие на спектрОбозначим A(C) — пространство целых аналитических функций. Крометого, как и раньше, A(C/T Z) ⊂ A(C) — пространство периодичных с периодом T целых аналитических функций.Вопрос принадлежности точки E дискретному спектру оператора D эквивалентен вопросу существования нетривиального периодичного (с периодомT ) решения ψ0 (z) уравнения(DS1 − E)ψ0 = −h2 ψ0′′ + (iV (z) − E)ψ0 = 0 ,ψ0 (z + T ) = ψ0 (z) .Для того, чтобы найти условия существования такого решения, построимпару фундаментальных решений ψ1 (z) ∈ A(C), ψ2 (z) ∈ A(C) уравнения(DS1 − E)ψ = 0.
Для удобства введем обозначение DC для (периодичного)оператора на A(C), порожденного дифференциальным выражением DS1 (приэтом V рассматривается как фунция на комплексной плоскости C, а не нафакторе C/T Z, как раньше). Тогда, так как пространство решений линейногооднородного уравнения второй степени с целыми коэффициентами являетсядвумерным подпространством в пространстве целых функций:ker(DC − E) = L ,L = hψ1 , ψ2 i ⊂ A(C) ,dim L = 2 .Выясним, существует ли нетривиальная ψ0 ∈ L ∩ A(C/T Z). Для этого построим оператор монодромии M : L → A(C) — оператор, отвечающий сдвигуаргумента в функциях из пространства L на период T .
То есть, этот операторотображает функцию ψ в функцию ψ T :M : ψ 7→ ψ T ,ψ T (z) = ψ(z + T ) .51Так как оператор DC − E периодичен с периодом T , то он коммутирует соператором монодромии M, а значит M отображает решение ψ ∈ L в решениеψ T ∈ L:(DC − E) ◦ Mψ = M ◦ (DC − E)ψ = M(0) = 0 .Другими словами, M : L → L, а значит оператор M представим матрицей2 × 2 в некотором базисе двумерного линейного пространства L — матрицеймонодромии M ∈ M2×2 (C). Нам будет не важно, в каком именно базисе мыпостроим матрицу M. Смена базиса в L отвечает сопряжению матрицы M, асопряжение не меняет инвариантов det M и tr M, через которые мы выразимусловие нетривиальности пересечения L ∩ A(C/T Z).Пересечение L∩A(C/T Z) нетривиально тогда и только тогда, когда оператор монодромии M имеет собственную функцию ψ0 с собственным значением1:M : ψ0 7→ ψ0T = ψ0 , ψ0 ∈ L ∩ A(C/T Z)\{0} .Это эквивалентно наличию собственного вектора с собственным значением1 у матрицы монодромии M — это вектор координат функции ψ0 в том жебазисе пространства L, в котором строилась матрица M.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
