Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса (1103428), страница 8
Текст из файла (страница 8)
А значитZ2π√Rei cos w − E dw =0= ReZz+√i cos w − E dw + Rez+Z+2π√i cos w − E dw +z+0Z2π+ Re√i cos w − E dw =z+ +2π= Re= ReZz+0Zz+√i cos w − E dw + 0 − Rez+Z+2π√i cos w − E dw =2π√i cos w − E dw − ReZz+0043√i cos w − E dw = 0 ,так как подынтегральная функция периодична с периодом 2π. Интеграл поотрезку [0, 2π] можно записать как интеграл по действительной переменнойxZ2π√Rei cos x − E dx = 0 .0Лемма 13.
Если точки z+ и z− соединены в графе Стокса, тоJ(E) = RezZ+ (E)√i cos x − E dx = ξ(z− , z+ ) = 0 .z− (E)Если соединены точки z+ − 2πk и z− , тоξ(z− , z+ − 2πk) = 0 .В частности, при k = −1 имеем: J E = 0.Доказательство. Эта лемма аналогична предыдущей (с учетом леммы 8).Лемма 14. Случай 1 топологической конфигурации графа Стокса может реализоваться только если E ∈ (0, +∞). Случай 2 топологическойконфигурации графа Стокса может реализоваться только при E = E ⋆ .Доказательство. Эти два случая удовлетворяют условию леммы 12.Объединяя леммы 12 и 9, приходим к выводу, что эти случаи могут реализоваться только при E ∈ (0, +∞).Для 2-го топологического случая дополнительно отметим, что он удовлетворяет еще и условию леммы 13, а значит и леммы 10.
Следовательно этотслучай может реализоваться только при E = E ⋆ .Лемма 15. Случаи 3 и 4 топологической конфигурации графа Стоксамогут реализоваться только на аналитических кривых в E–плоскости, накаждой из которых выполняется условиеRez+ (E)−2πkZ√i cos x − E dx = 0 ,z− (E)для некоторого k ∈ Z. Все эти кривые (обозначим их ηk ) проходят черезточку E ⋆ и пересекают луч (0, +∞) только в этой точке. Кривые ηk иη−k+1 симметричны друг другу относительно оси Re E: η−k+1 = ηk . Криваяη0 проходит через точку i.Доказательство. Возможность реализации топологических случаев 3и 4 только на кривых ηk следует из леммы 13. Симметрия относительно Re Eследует из леммы 8. Все кривые ηk проходят через точку E ⋆ , так как в ней44имеем одновременно ξ(z− , z+ ) = 0 и ξ(0, 2π) = 0, а для периодичного с периодом 2π косинуса, при любом k ∈ Z:Rez+ (E)−2πkZ√i cos x − E dx = Re ξ(z− , z+ − 2πk) =z− (E)= Re ξ(z− , z+ ) − k Re ξ(0, 2π) = 0 .По леммам 13 и 10 кривая η0 пересекает луч (0, +∞) только в точке E ⋆ .Далее, при k ∈ Z\{0} в точках пересечения ηk с (0, +∞) имеем Re ξ(z− , z+ −2πk) = 0 и Re ξ(0, 2π) = 0, значитRe ξ(z− , z+ ) = Re ξ(z− , z+ − 2πk) + Re ξ(0, 2πk) == Re ξ(z− , z+ − 2πk) + k Re ξ(0, 2π) = 0 + k · 0 = 0 .То есть, все точки пересечения кривой ηk с лучом (0, +∞) являются точкамипересечения кривой η0 с лучом (0, +∞), а такая точка только одна — точкаE ⋆.При E = i точки z+ и z− совпадают, значит ξ(z− (i), z+ (i)) = 0.
Следовательно, кривая η0 проходит через точку i.3.5. Реализуемость топологических случаевПо лемме 6 точки z± (E) зависят от параметра E непрерывно. Вне окрестностей точек ±i функции ξ(z0 , z) и ξ ′ (z0 , z) являются непрерывными по тройке независимых переменных (E, z0 , z), так как производная ξ ′ — интеграл,сходящийся равномерно вне окрестностей точек ±i (если хотя бы один изпределов интегрирования совпадает с z± + T Z, иначе ξ ′ — собственный интеграл; пути интегрирования в ξ, как мы уже отмечали, могут содержать точкиповорота только в качестве своих концов).Как мы знаем, спектр принадлежит полуполосе [0, +∞) + i[−1, 1]. Нампредется выкинуть из нее окрестности точек ±i.
Оставшееся множество разбивается на подмножества, на которых достигаются различные топологические случаи, описанные в лемме 11. Нашей целью является построение этогоразбиения. Прежде всего докажем, что топологический случай 4 реализуетсятолько при k = 0 и k = −1.Лемма 16. В окрестности точки E ⋆ топологический случай 4 реализуется только при k = 0 и k = −1.Доказательство. В окрестности точки E ⋆ по непрерывности функции ξлинии уровня Re ξ|E∈U (E ⋆ ) = const близки к линиям уровня Re ξ|E=E ⋆ = const.ξ ∂ Im ξОтметим, что поле grad Im ξ(E, z0 , z) = ∂∂ Imявляется касательным,Re z ∂ Im zдля линий уровня Re ξ(z0 , z) = const при фиксированных E и z0 .При E = E ⋆ в графе Стокса (см. стр. 65) имеется ломаная Γ из линийСтокса, ведущая из точки z+ (E ⋆ )−T в точку z− (E ⋆ )+kT . Обозначим отрезок[z+ (E ⋆ ) − T, z− (E ⋆ )] этой ломаной Γ0 , отрезок Γ0 + T = [z+ (E ⋆ ), z− (E ⋆ ) + T ]45обозначим Γ′0 , а отрезок [z− (E ⋆ ), z+ (E ⋆ )] — Γ1 . Γ0 , Γ′0 и Γ1 — линии Стокса приE = E ⋆ .
Как мы отмечали, линия Стокса γ2 должна быть близка к ломанойΓ, так как это линии уровня ξ при близких значениях параметра E.Im zGγ1γ1′z+ (E0 ) − Tz+ (E0 )γ2γ3◦Γz+ (E ⋆ )z0′U (z0 )z− (E ⋆ )Re zz− (E0 ) + kTПредположим, что в окрестности точки E ⋆ есть такое E0 , что при E = E0имеется конечная линия Стокса, не однозначно проектирующаяся на S1 =R/T Z («обматывающая» цилиндр C/T Z).
Пусть, для определенности, онаначинается в точке z+ (E0 ) − T и идет «вправо», то есть, имеет начальноенаправление, близкое к 11π/6. «Вправо», то есть, она близка к Γ0 в окрестности своей начальной точки z+ (E0 ) − T (здесь и далее мы берем достаточнобольшую окрестность, чтобы Γ0 с ней пересекалась; это то же самое, что говорить о близости начальных векторов γ2 и Γ0 ). Как мы знаем (см.
лемму 11на стр. 38), эта линия не может заканчиваться в точке z+ (E0 ) + kT при k ∈ N.Обозначим точку, в которой она заканчивается — z− (E0 ) + kT для некоторогоk ∈ N. Саму линию Стокса обозначим γ2 .Кроме того, из точки z+ (E0 ) − T и точки z+ (E0 ) должны выходить линии Стокса γ1 и γ1′ = γ1 + T в направлении +iT ∞ на цилиндре C/T Z, таккак они должны идти в бесконечность (по лемме 11), кроме того, они должны быть близки (на произвольном компакте) к уходящим в +iT ∞ из точекz+ (E ⋆ ) − T и z+ (E ⋆ ) линиям Стокса при E = E ⋆ .
Из точки z+ (E0 ) по периодичности должна также выходить линия Стокса γ2 + T , идущая «вправо»(то есть, близкая к Γ′0 в окрестности своей начальной точки). Остается только понять, куда идет третья линия Стокса γ3 , выходящяя из точки z+ (E0 )«влево» (то есть, в окрестности точки z+ (E0 ) близкая к Γ1 ).
По лемме 11,эта линия Стокса уходит в одну из бесконечностей. Если она уходит в +iT ∞,получаем топологический случай 3, если же она уходит в −iT ∞, получаем топологический случай 4. Нашей целью будет показать, что она уходит46в +iT ∞. Тогда в окрестности E ⋆ топологический случай 4 не реализуетсяпри k ∈ N (а значит, и при k ∈ −N − 1), а реализуется только на двух кривых (соответствующих k = 0 и k = −1), так как его конечная линия Стоксаоднозначно проектируется на R/T Z (не «обматывает» цилиндр C/T Z).Линия Стокса γ2 должна проходить ниже точки z+ (E0 ), иначе она пересечет линию Стокса γ1′ . Беря достаточно малую обрестность U(E ⋆ ), можнодобиться того, чтобы кривая γ2 проходила в достаточно малой окрестноститочки z+ (E0 ).
Тогда начальный отрезок (можно добиться, чтобы как минимум до окрестности точки z− (E0 )) линии Стокса γ3 лежит в достаточно малойокрестности линии Стокса γ2 . Выберем точку z0 на линии γ3 вдали от точекповорота, например, точку, в которой γ2 пересекает ось Im z. Можно считать,что окрестность U(E ⋆ ) была выбрана таким образом, что в некоторой окрестности U ′ (z0 ), пересекающейся с γ2 , поле grad Im ξ(z+ (E0 ), z)|E=E0 отклонялосьбы от своего направления в точке z0 на угол, не превышающий (по модулю) α,где α ∈ (0, π/2).
Обозначим γ3◦ — начальный отрезок γ3 , начинающийся в точке z+ (E0 ) и заканчивающийся в точке, в которой γ3 выходит из окрестностиU ′ (z0 ).Предположим, что линия γ3 уходит в −iT ∞. Тогда, она должна выходитьиз области G, ограниченной линиями Стокса γ2 , γ1 , γ1′ , начальным отрезком γ3◦ самой γ3 и частью границы ∂U ′ (z0 ), так как эта область не содержит−iT ∞ (она содержит только +iT ∞).
То есть, γ3 должна пересекать границу ∂G области G, а значит должна пересекать одну из кривых γ2 , γ1 , γ1′ , γ3◦или ∂U ′ (z0 ). Но линия Стокса не может пересекать себя или другую линиюСтокса кроме как в точке поворота, а γ3 , как мы уже выяснили, уходит вбесконечность, и, значит, не может входить в точку z+ − T или точку z+ .Таким образом, γ3 может выйти из области G только если пересет ∂U ′ (z0 ).При этом, для того чтобы выйти из G линия Стокса γ3 должна пройти черезU ′ (z0 ) в направлении, близком к противоположному тому направлению, в котором она проходит через эту окрестность первый раз (когда проходит черезточку z0 ).
Так как в U ′ (z0 ) аргумент поля grad Im ξ(z+ (E0 ), z)|E=E0 отличается (по модулю) от своего значения grad Im ξ|z=z0 в точке z0 не более чемна α < π/2, получаем, что при втором проходе линии γ3 через окрестностьU ′ (z0 ) направление изменения Im ξ вдоль нее должно быть противоположнымнаправлению изменения Im ξ вдоль нее же во время первого прохода черезокрестность U ′ (z0 ).Остается заметить только, что так как Im ξ строго монотонно возрастаетвдоль линии Стокса (см. [4]), мы получили противоречие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
