Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса (1103428), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Таким образом, подынтегральноевыражение строго монотонно убывает по E на (0, +∞) для любого r ∈ (0, 1).А значит (так как интегрирование ведется по множеству положительной меры) и сам интеграл J(E) монотонно убывает по E на (0, +∞). Отсюда следует, что уравнение J(E) = 0 на параметр E ∈ (0, +∞) может иметь не болееодного решения.Оценим J(0) (здесь учтено, что z+ (0) = π/2):J(0) = 2 RezZ+ (0)√Zπ/2√i cos z dz = 2 Re0i cos z dz > 0 ,0√+∞) на интервале z ∈так как подынтегральныя функция i cos z ∈ (1+i)·(0,√(0, π/2) (по выбору ветви корня), а значит Re i cos z > 0 на всем (имеющемположительную меру) интервале интегрирования.√При E = sh π2 имеем z+ = π2 + i ln 1 + E 2 + E = π2 + i π2 , и arg z+ =π/4.
Кроме того, как уже было показано, arg η(r) ∈ π2 , π . Значит (с учетомвыбора ветви корня): pπ 3ππ π π 1=.,arg z+ i cos(z+ r) − E = arg z+ + arg η(r) ∈ + ,244 22 4E=sh π2То есть, pRe z+ i cos(z+ r) − E E=shπ2<0при любом r ∈ (0, 1), следовательно и весь интеграл J sh π2 < 0.37непрерывно по E,Таким образом, J(0) > 0, J sh π2 < 0. Так как J(E)то отсюда следует, что существует точка E ⋆ ∈ 0, sh π2 при котором рассматриваемый интеграл равен нулю: J(E ⋆ ) = 0. Кроме того, по уже доказанномуэта точка единственная.3.4.
Линии СтоксаВ зависимости от значения E, взаимное расположение линий Стокса, тоесть, линий γ, выходящих из точек поворота z± и удовлетворяющих условиюZz pRe ξ(z± , z)|γ = 0 ,гдеξ(z± , z) =iV (w) − E dw ,z±меняется. Выясним возможное взаимное расположение линий Стокса (то естьвозможные виды графа Стокса) для V (z) = cos z при различных E на основеследующих свойств линий Стокса в случае целой функции V (z) (см. [4]):1Sc ) линия Стокса начинается в точке поворота и заканчивается либо вточке поворота, либо в бесконечности;Sc2 ) линия Стокса не может содержать точку поворота внутри себя;3Sc ) линия Стокса не может пересекать себя или другую линию Стокса;4Sc ) из точки поворота кратности d выходят d + 2 линии Стокса;5Sc ) граф линий Стокса (на плоскости C) не может содержать топологическую окружность;Sc6 ) линии Стокса разбивают плоскость C на области типа полуплоскости и полосы (то есть, на области, имееющие в качестве границы однутопологическую прямую или дизъюнктное объединение двух топологических прямых).Случай кратных точек поворота (E = ±i) рассматривать не будем.Отметим, что так как V (z) периодична с периодом T , то и граф линийСтокса периодичен с тем же периодом.
Кроме того, так как косинус четен(cos(−z) = cos z), то в случае V (z) = cos z граф линий Стокса симметриченотносительно нуля. Также отметим, что бесконечностей на цилиндре C/T Zдве — ±iT ∞ (при T ∈ R: ±i∞).В дальнейшем, для построения спектра, мы будем выписывать матрицы монодромии, которые строятся по-разному для топологически различныхграфов Стокса, и одинаково (по модулю конкретных значений констант) длятопологически одинаковых графов Стокса.
Поэтому топологически эквивалентные графы Стокса мы будем относить к одному случаю.Лемма 11. В случае iV (z) = i cos z имеется пять топологически различных случаев взаимного расположения линий Стокса.Доказательство. Для удобства дальнейших построений будем рассматривать период [−T /2, T /2], симметричный относительно нуля.
На периодеимеются две однократных точки поворота (при E 6= ±i) и из каждой из них38выходит по три линии Стокса. Причем точки поворота, вместе с выходящимииз них линиями Стокса, симметричны относительно нуля. Обозначим линииℓ, ℓ ∈ {1, 2, 3}, а симметричные имСтокса, выходящие из точки z+ , через γ+ℓотносительно нуля линии Стокса, выходящие из точки z− , через γ−соответℓℓственно, так чтобы γ− = −γ+ (как множества).ℓПредположим, что какая-нибудь из линий γ+(без ограничения общности1это γ+ ) заканчивается в точке поворота. Это не может быть точка z+ , иначе1, кограф линий Стокса содержит топологическую окружность — линию γ+торая и начинается и заканчивается в одной точке.
Это не может быть точка11z+ +kT при k ∈ N\{1}, так как тогда линии Стокса γ+и γ++T пересекаются —Scпротиворечие с 3 ).Re zАналогично, это не может быть точка z+ −kT при k ∈ N\{1}. Таким образом,1γ+может заканчиваться только в одной из точек z+ ± T , z− + T Z.13.4.1. Случай 1. Если γ+заканчивается в точке z+ − T , то линия Сток1са γ+ + T начинается в точке z+ + T и заканчивается в точке z+ . Другимисловами, одна из оставшихся линий Стокса (без ограничения общности это212и γ−), ведет из точки z+ в точку z+ + T . А симметричные линии Стокса γ−γ+ведут из z− в z− + T и в z− − T соответственно.
Таким образом получается,что в этом случае точки z+ + T Z соеденены последовательно между собой121линиями γ++ T Z = γ+− T + T Z, а точки z− + T Z — линиями γ−+ T Z.3Оставшаяся линия γ+ , в этой ситуации, не может заканчиваться в точке по3ворота, иначе (возможно вместе с γ++ T ) она содержится в топологическойокружности, составленной из линий Стокса — чего не может быть по 5Sc ).3заканчивается в одной из бесконечностей ±i∞, причем это опредеТогда γ+1ленная бесконечность — та, что в (C/T Z)\γ+находится в другой компоненте13связности, нежели точка z− (и вся γ− ). γ+ не может заканчиваться в другой1бесконечности, иначе она пересечет одну из кривых γ−+ T Z.1.γ+3z+γ+1γ−2γ+2z−γ−339γ−113.4.2.
Случай 2. Пусть теперь γ+заканчивается в одной из точек z− +23T Z (обозначим ее z− + kT ). Пусть γ+ или γ+(без ограничения общности,2γ+ ) заканчивается в одной из точек поворота. Если это одна из точек z+ +12). Это некак γ+T Z — этот случай мы уже рассмотрели (переобозначим γ+12может быть точка z− + kT , так как тогда γ+ и γ+ составляют топологическуюокружность (они заканчиваются в одной и той же точке). Это не может бытьодна из точек z− − T − T N или одна из точек z− + T + T N, так как тогда2112γ+пересекается с γ+− T или с γ++ T . То есть, γ+должна заканчиватьсяв 1одной из двухz− +(k±1)T точек 2 .
Тогда множество линий Стокса γ− + T Z ∪21γ− + T Z = γ+ + T Z ∪ γ+ + T Z объединяет все точки поворота. Значит3линия Стокса γ+не может заканчиваться в одной из точек поворота по 5Sc ),3то есть, γ+заканчивается в одной бесконечностей (в какой именно неважно —топологически это один и тот же случай). Тогда по симметрии относительно3нуля γ−заканчивается в противоположной бесконечности. Вне зависимостиот значения k получаем топологически один и тот же случай.2.γ+3z+z− +kTЗамечание 3. Эта схема реализуется только в одной точке (ниже мыдокажем, что это происходит в точке E = E ⋆ ), поэтому существуеттолько один вариант этой схемы — когда конечные линии Стокса связывают точки поворота, находящиеся на одном периоде. То есть, k можновыбирать всего из двух вариантов — точка z+ соединена с левой или с правой из соседних с ней (удовлетворяющих условию | Re(z+ − z− + kT )| < T )двух точек z− + kT .
Причем в обоих возможных случаях, получаем один итот же граф Стокса, который окажется симметричным относительнопрямых z± + kT + Im z.13.4.3. Случай 3. Пусть, как и в предыдущем случае, γ+заканчивает23ся в одной из точек z− + T Z, но теперь γ+ и γ+ должны заканчиваться вбесконечности (иначе получаем предыдущий случай). Они могут либо обезаканчиваться в +i∞, либо обе в −i∞, либо одна из них в +i∞, а другая в23−i∞.
Однако случаи, когда γ+и γ+обе заканчиваются в одной бесконечности, на цилиндре C/T Z топологически эквивалентны. Этот случай выглядиттак (как и выше, граф линий Стокса при разных значениях k получается40топологически один и тот же):3.z+z− +kTЗамечание 4. Эта схема расположения линий Стокса реализуется длялюбого k ∈ Z. В дальнейшем мы укажем кривые в E–плоскости, на которыхэто происходит.Im zRe z13.4.4. Случай 4. Если, как и в предыдущем случае, γ+заканчивается в23одной из точек z− + T Z, а γ+ и γ+ заканчиваются в разных бесконечностях,то получаем топологически новый случай.
(Опять, от значения k граф линий41Стокса топологически не зависит.)4.z+z− +kTЗамечание 5. Такая схема расположения линий Стокса реализуетсятолько если z+ и z− + kT (точки связанные конечной линией Стокса) находятся на одном периоде. То есть, в этом случае, k принимает всего двавозможных значения, а не все из Z (причем при этих значениях k, графы линий Стокса получаются друг из друга симметрией относительно осиRe z). Однако для того, чтобы доказать, что такая картина расположения линий Стокса возможна только при двух значениях k, не достаточносвойств 1Sc )–6Sc ), на которые мы сейчас опираемся.3.4.5.
Случай 5. Выше рассмотрены все возможные случаи, когда хотяℓбы одна из линий γ+заканчивается в точке поворота. Остается рассмотретьслучай, когда все линии Стокса, выходящие из точки z+ заканчиваются вℓбесконечности. Если все три линии γ+заканчиваются в одной бесконечности,то получаем, что одна из областей, на которые граф линий Стокса разбивает плоскость C, имеет границу, состоящую из бесконечного числа связныхкомпонент — противоречие с 6Sc ).Таким образом, остается только один вариант — две из линий Стокса, начинающихся в точке z+ , заканчиваются в одной из двух бесконечностей ±i∞,а третья заканчивается в другой бесконечности.Замечание 6.
Эта схема расположения линий Стокса реализуется длялюбого k ∈ Z. Это случай общего положения, то есть, он реализуетсяво всей E–плоскости, за исключением множества лебеговой меры нуль, а42именно за исключением счетного объединения некоторых гладких кривых.Кривые, на которых реализуется случай 3 при различных k, и кривые, накоторых реализуются случаи 1 и 2, разделяют E–плоскость на области, вкоторых эта схема реализуется при фиксированных k.5.z+z− +kTЛемма 12.
Если точки z+ и z+ + 2π соединены в графе Стокса (то есть,соединены криволинейной ломаной из линий Стокса), тоZ2π√i cos x − E dx = 0 .I(E) = Re0Доказательство. Так как вдоль линий Стокса Re ξ(z0 , z) = 0, то достаточно взять в качестве пути интегрирования в ξ(z+ , z+ + 2π) ломаную излиний Стокса, соединяющую точки z+ и z+ +2π, чтобы убедиться в равенствеRe ξ(z+ , z+ + 2π) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
