Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса (1103428), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Для определенности возьмем S(x0 ) = 0. Для того, чтобы норма ψN была единична,в конце процедуры построения,просто поделим ψN на ее норму. Условие на√′′S (x0 ) уже есть: S (x0 ) = ± Re E.Функцию V (x) представим в виде степенного ряда в точке x0 (это можносделать, так как V (x) является аналитичной):X(x − x0 )kV (k) (x0 )V (x) =,k!k∈Z+причем, как мы уже выяснили, Im E = V (x0 ). Тогда условие (S ′ (x))2 +iV (x)−E ≡ 0 можно записать в виде (бесконечной) системы на S k (x0 ), k ∈ N: (0)S (x0 )= 0√= ± Re E S (1) (x0 )P(j) (x )S (m) (x )S00= 0iV k−1 (x0 ) +(j−1)!(m−1)!j,m∈Nj+m=k+1k ∈ N\{1}23Хоть эта система и бесконечна, нас интересует лишь конечная ее часть. Действительно, для того чтобы удовлетворить первое уравнение системы (9), нетребуется точного (S ′ )2 + iV − E ≡ 0, а достаточно чтобы Re (iS ′ (x0 )) = 0 (этоуже выполняется по второму уравнению полученной системы), Re (iS ′′ (x0 )) <0 (это требование придется добавить к системе) и2(S ′ ) + iV − E = O (x − x0 )2N .Покажем это:eiS(x)hiS(x)O (x − x0 )2N = eRe h ei Im(...) O (x − x0 )2N =Re(iS ′′ (x0 ))=e(x−x0 )2+Oh3((x−x0 )3 ) O (x − x )2N ,0(10)так как eO((x−x0 ) ) = O ((x − x0 )∞ ), а в некоторой окрестности U(x0 ) точки x0имеем2(x−x)0=+ O (x − x0 )3sign Re (iS ′′ (x))h2(x−x)0= −1 ,= sign Re (iS ′′ (x))hто в этой окрестности U(x0 ):e(x−x0 )2′′O (x − x0 )2N = eRe(iS (x0 )) h O (x − x0 )2N =2N !“”x−x0 2′′x−xRe(iS (x0 )) √h√ 0=e=O hNh!∞ !√2N !x−xh√ 0=O hN=o2(x − x0 )h!2N √2N !x−xh0NN O hN O√= O.=Oh=O(1)Oh(x − x0 )2hiS(x)hА вне окрестности U(x0 ):eiS(x)hO (x − x0 )2NRe(iS ′′ (x0 ))=e((x−x0 )3 ) O (x − x )2N =0= O(h∞ )O (x − x0 )2N = O(h∞ ) = O(hN ) .(x−x0 )2+ h1 OhiS(x)Таким образом e h O (x − x0 )2N = O hN , значит, для выполнения первого равенства системы (9), нам нужно (S ′ )2 + iV − E = O (x − x0 )2N и, такимобразом, нас интересует лишь следующая конечная часть выписанной ранее24системы на S (k) (x0 ) (с небольшой добавкой в виде неравенства):Re (iS ′′ (x0 ))< 0(0)S (x0 )= 0√ S (1) (x )= ± Re E0P S (j) (x0 )S (m) (x0 )k−1iV(x0 ) += 0(j−1)!(m−1)!j,m∈Nj+m=k+1k ∈ N ∩ [2, 2N − 1](11)Последнее уравнение этой системы можно переписать:2S (1) (x0 )S (k) (x0 ) = −iV (k−1) (x0 ) −(k − 1)!Xj,m∈N\{1}j+m=k+1S (j) (x0 )S (m) (x0 ),(j − 1)!(m − 1)!√значит (так как S (1) (x0 ) = ± Re E 6= 0) из этой системы однозначно (прификсированном знаке S ′ (x0 )) находятся все S (k) , таким образом находитсяS.

Остается только выполнить добавочное требование Re (iS ′′ (x0 )) < 0. ИзV ′ (x0 )последнего уравнения системы при k = 2: S ′′ (x0 ) = −i 2S′ (x ) , значит добавоч0ное требование можно удовлетворить подходящим выбором (произвольногодо этого момента) знака S ′ (x0 ), если только V ′ (x0 ) 6= 0. Именно для этого итребовалось вводить множество AV и выбирать x0 с оглядкой на V ′ (x0 ) 6= 0.Итак, мы определились со знаком S ′ (x0 ):√′′S (x0 ) = − sign (V (x0 )) Re E .Таким образом, найдя из системы (11) S (k) при k < 2N и полагая S (k) (x0 ) = 0при k > 2N, мы однозначно построили S в виде многочлена по (x − x0 ). Приэтом мы удовлетворили и первое и второе уравнение системы (9).Теперь займемся построением χℓ (x). Для того, чтобы выполнялись третьеи четвертое уравнение системы (9), достаточно (по построению S) выполнения= 0 −2iS ′ χ′0 − iS ′′ χ0′ ′′′−2iS χℓ − iS χℓ= χ′′ℓ−1ℓ ∈ {1, .

. . , N − 1}в некоторой окрестности U ′ (x0 ) точки x0 . Так как, по построению, S ′ (x0 ) 6= 0,то окрестность U ′ (x0 ) можно выбрать таким образом, что на ней S ′ отделенаот нуля. Тогда находим χ0 :2S ′ χ′0 + S ′′ χ0 = 0χ0 = const (S ′ )⇐⇒− 21.Мультипликативную константу в формуле для χ0 можно выбирать произвольно среди ненулевых чисел. Для определенности положим ее равной единице:χ0 = (S ′ )25− 21.Затем, из уравнения2S ′ χ′1′′+ S χ1 =iχ′′0=i3S ′′ − 2S ′ S ′′′54 (S ′ ) 2,находим χ1 , и так далее.Так как S ′ отделена от нуля на U ′ (x0 ), функциязначит решение уравнения−S ′′ χℓ +iχ′′ℓ−12S ′липшицева.

А−S ′′ χℓ + iχ′′ℓ−1=2S ′в окрестности U ′ (x0 ) существует.Построенная таким образом ψN обладает лишь одним недостатком — онане периодична. Но это легко устранить. Домножим ее на гладкую срезающуюфункцию, равную единице в некоторой окрестности точки x0 и нулю внедругой окрестности этой точки. Теперь можно просто переопределить ψN так,чтобы она была периодичнаP— просто возьмем вместо нее сумму (эта суммав каждой точке x конечна) k∈Z ψN (x + kT ).

Осталось только поделить ψNна ее ненулевую (так как ψN непрерывна и ψN 6≡ 0) норму в L2 (S1 ) и мызавершим доказательство.χ′ℓ22.3. Псевдоспектр −h2 ddx2 + iV (x)Теорема 1. В случае непостоянной V (x) для любого N из натурального2ряда hN –псевдоспектр оператора −h2 ddx2 + iV (x), заданного на окружности,равен полуполосе [0, +∞) + i[min V, max V ].Доказательство.

Как уже отмечалось, замыкание фигурируещего влемме 3 множества (0, +∞) + iAV — это полуполоса [0, +∞) + i[min V, max V ](в случае непостоянного V ). Значит, для доказательства достаточно объединить результаты утверждений (1), (3) и следствия (1).26Асимптотика спектра.3.1. План нахождения спектра в частном случае iV (z) = i cos(z)Для того чтобы найти спектр оператора (5), воспользуемся ВКБ–приближением. Для этого, прежде всего, выясним как может выглядеть граф Стоксадля интересующего нас потенциала iV (z) = i cos z. Этот граф зависит от параметра E и при изменении E может перестраиваться.

Другими словами, взависимости от E возможны топологически различные случаи реализацийграфа Стокса. После того как все возможные случаи будут найдены, в каждом из них вычислим матрицу монодромии (сдвига аргумента на период)оператора (5). Эта матрица позволит найти при каких E у исследуемого оператора есть периодичное решение; точнее из условия на матрицу монодромии мы получим условие на спектр оператора (5). С учетом известной связимежду спектрами операторов (2) и (5), мы получим искомую асимптотикуспектра оператора (2).Отметим следующее свойство дискретного спектра оператора D в рассматриваемом частном случае.Лемма 4.

При любом h > 0 собственные значения оператора D с потенциалом iV (z) = i cos z симметричны относительно оси Re.Доказательство. Действительно, пусть E ∈ C — собственное значениеоператора D с потенциалом iV (z) = i cos z. Значит, существует функция ψ ∈A(C/T Z), такая что−h2d2 ψ+ iψ(z) cos z = Eψ(z) .dz 2Тогда−h2то есть,d2 ψ(z)+ iψ(z) cos z = Eψ(z) ,d z2d2ψ(z) −i ψ(z) cos z = E ψ(z) .dz 2Так как cos z = cos z и − cos z = cos(z + π), то имеем−h2−h2d2ψ(z +π) +i ψ(z +π) cos z = E ψ(z +π) .dz 2Таким образом, функция ψ(z +π) ∈ A(C/T Z) является собственной для оператора D (с потенциалом iV (z) = i cos z) с собственным значением E.273.2.

Точки поворотаТочки поворота, то есть, точки, являющиеся решением уравнения iV (z) =E относительно z, переодичны с периодом T .Лемма 5. В случае V (z) = cos z на периоде (на цилиндре C/T Z) этихточек две (они совпадают при E = ±i). Это точки z± = ± arccos(−iE),равныеRe E 6= 0 :z± (E) = ± arccos"sign Im E√2rr|E|2 + 1 −q(|E|2 + 1)2 − 4 (Im E)2#+q√22± 2 Re E + 1 − |E| + 2 (Re E) + (|E|2 + 1)2 − 4 (Im E)2r+ i ln;q1 − |E|2 +(|E|2 + 1)2 − 4 (Im E)2Re E = 0 , | Im E| > 1 :z± (E) =π(12ihp2− sign Im E) + i ln | Im E| ± (Im E) − 1 ;Re E = 0 , | Im E| = 1 :z± (E) = π2 (1 − sign Im E) ;Re E = 0 , | Im E| < 1 :z± (E) = ± arccos Im E .(12)Доказательство.

Действительно, пусть i cos z = E. Так какeiz + e−ize− Im z+i Re z + eIm z−i Re z==22e− Im z (cos Re z + i sin Re z) + eIm z (cos Re z − i sin Re z)==211 − Im ze+ eIm z cos Re z + i e− Im z − eIm z sin Re z ==22= cos Re z ch Im z − i sin Re z sh Im z ,получаем системуcos Re z ch Im z = Im Esin Re z sh Im z = Re E .cos z =(13)Так как sign ch(R) = {1}, то из первого уравнения системы (13) для знака cos Re z имеем: sign cos Re z = sign Im E. Так как (sign sh − sign)(R) = {0},то из второго уравнения системы (13) следует, что sign sin Re z · sign Im z =sign Re E. Значит, при Re E 6= 0 имеем sin Re z 6= 0. Рассмотрим второе уравнение системы (13)sin Re z sh Im z = Re E28и сделаем в нем замену переменной t = eIm z > 0, получим1sin Re z t −= 2 Re E .tЭто уравнение — квадратное по t при sin Re z 6= 0 (а, значит, при Re E 6= 0):sin(Re z)t2 − 2(Re E)t − sin Re z = 0 .При Re E 6= 0 его решениями являютсяs(Re E)2Re E±+1.t=sin Re z(sin Re z)2Так как t > 0, то решение при нижнем знаке нам не подходит.

Таким образомпри Re E 6= 0 получаем, чтоs!Re E(Re E)2Im z = ln++1 .sin Re z(sin Re z)2Тогда из первого уравнения системы (13):s(Re E)2+ 1 = Im E ,cos Re z(sin Re z)2⇐⇒(cos Re z)4 − (|E|2 + 1)(cos Re z)2 + (Im E)2 = 0 .Произведя замену s = (cos Re z)2 ∈ [0, 1] приходим к квадратичному уравнениюs2 − (|E|2 + 1)s + (Im E)2 = 0 ,решениями которого являютсяp|E|2 + 1 ± (|E|2 + 1)2 − 4(Im E)2s± => 0.2Ноp|E|2 + 1 + (|E|2 + 1)2 − 4(Im E)2>s+ =2p|E|2 + 1 + (|E|2 − 1)2|E|2 + 1 + ||E|2 − 1|>=>22> 1,p|E|2 + 1 − (|E|2 + 1)2 − 4(Im E)26s− =2p|E|2 + 1 − (|E|2 − 1)2|E|2 + 1 − ||E|2 − 1|6=6226 1,причем равенства достигаются только если и Re E = 0 и |E| 6 1. В рассматриваемом случае как раз Re E 6= 0. Значит, в качестве решения, нам подходиттолько s− .29Таким образом,(cos Re z)2 = s− =|E|2 + 1 −p(|E|2 + 1)2 − 4(Im E)2,2кроме того, как мы отмечали, sign cos Re z = sign Im E, значитqpsign Im E√|E|2 + 1 − (|E|2 + 1)2 − 4(Im E)2 ,cos Re z =2соответственноsign Im E√Re z = ± arccos2С учетом того, чтоsqp|E|2 + 1 − (|E|2 + 1)2 − 4(Im E)2 .!(Re E)2Re E++1 =sin Re z(sin Re z)2qp√± 2 Re E + 1 − |E|2 + 2(Re E)2 + (|E|2 + 1)2 − 4(Im E)2q,= lnp22221 − |E| + (|E| + 1) − 4(Im E)Im z = lnполучаем формулы (12) при Re E 6= 0.Теперь рассмотрим случай Re E = 0.

Характеристики

Список файлов диссертации