Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса (1103428), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

БлагодарностьАвтор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — доктору физико–математических наук, профессору А. И. Шафаревичу — за постановку задачи и постоянное внимание к работе Автор благодарен всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико–математического факультета МГУ за творческую атмосферу17и доброжелательное отношение. Автор также благодарен руководителям иучастникам семинаров механико–математического факультета, на которыхдокладывались результаты диссертации, за множество полезных замечаний.18Псевдоспектр.2.1.

Определение и основные свойстваКроме спектра, интерес представляет также псевдоспектр оператора D.Он будет, как мы покажем в дальнейшем, гораздо шире самого спектра.Пусть задано пространство функций, снабженное скалярным произведением:Φ = ({ϕ(x)}, (·, ·)) .Обозначим через || · || норму на этом пространстве, порожденную этим скалярным произведением. Кроме того, пусть задан линейный (неограниченный)операторΦ0 = Φ ,A = A(x, ε) : Φ0 → Φ ,зависящий от параметра ε ∈ (0, +∞).Определение 1. Точка λ принадлежит ε–псевдоспектру оператора A,зависящего от параметра ε, тогда и только тогда, когда найдется функцияϕ = ϕ(x, ε), принадлежащая единичной сфере пространства Φ0 (то есть,||ϕ(·, ε)|| = 1) для любого фиксированного ε ∈ (0, +∞), и обладающая свойством||A(x, ε)ϕ(x, ε) − λϕ(x, ε)|| = O(ε) , при ε → 0 + 0 .(6)ε–псевдоспектр оператора A будем обозначать PSPε (A).Замечание 1.

Отметим, что ε–псевдоспектр зависит не от значенияε, а от того, как параметр ε входит в оператор A(x, ε).Лемма 1. ε–псевдоспектр замкнут.Доказательство. Рассмотрим произвольную точку из замыкания псевдоспектра: λ0 ∈ PSPε (A). Тогда по определению замыкания имеем(∀δ > 0)(∃λδ ∈ PSPε (A)) : |λ0 − λδ | < δ .Это верно в том числе для δ = ε.

Кроме того, по определению ε–псевдоспектра(∀δ > 0)∃ϕδ (x, ε) ∈ ϕδ (·, ε) ∈ Φ0 ||ϕδ (·, ε)|| = 1 : ||Aϕδ − λδ ϕδ || = O(ε) .Беря δ = ε и объединяя написанное выше (а также обозначая диагональнуюпоследовательность ϕ⋆ (·, ε) = ϕδ (·, ε)|δ=ε ), получаем0 6 ||Aϕ⋆(·, ε) − λ0 ϕ⋆ (·, ε)|| = ||Aϕ⋆ − λε ϕ⋆ + (λε − λ0 )ϕ⋆ || 66 ||Aϕ⋆ − λε ϕ⋆ || + |λε − λ0 | · ||ϕ⋆|| < O(ε) + ε · 1 = O(ε) .Значит ||Aϕ⋆ − λ0 ϕ⋆ || = O(ε), следовательно λ0 — точка ε–псевдоспектра.Другими словами, PSPε (A) ⊆ PSPε (A), значит ε–псевдоспектр замкнут.

19Определение 2. Числовым образом оператора A называется множествоImg A = (Aψ, ψ) ψ ∈ Φ0 , ||ψ|| = 1 .Лемма 2. ε–псевдоспектр оператора A содержится в замыкании егочислового образа.Доказательство. Действительно, пусть E — точка ε–псевдоспектра,тогда найдется функция ψ, ||ψ|| = 1, удовлетворяющая равенству Aψ =Eψ + O (ε). Умножим скалярно это равенство на ψ:(Aψ, ψ) = (Eψ, ψ) + (O (ε) , ψ) .С учетом того, что (ψ, ψ) = ||ψ|| = 1 и (O (ε) , ψ) = O (ε) получаем(Aψ, ψ) = E + O (ε) .Другими словами, E ∈ {(Aψ, ψ) | ψ ∈ Ψ0 , ||ψ|| = 1} + O (ε).

Устремляя ε кнулю получаем требуемое: E ∈ {(Aψ, ψ) | ψ ∈ Ψ0 , ||ψ|| = 1}.Следствие 1. Пусть ε(h) — непрерывная обратимая функция параметра h и ε(0 + 0) = 0 + 0. Тогда ε(h)–псевдоспектр оператора D содержится вполуполосе [0, +∞) + i[min V, max V ].Доказательство. В нашем случае Φ = L2 (S1 ), Φ0 = W22 (S1 ), A(x, ε) =d21DS1 = −h(ε)2 dx2 + iV (x). Скалярное произведение на пространстве L2 (S )задается формулойZu v dx .(u, v) =S1Распишем выражение (DS1 ψ, ψ):(DS1 ψ, ψ) = (−h2 ψ ′′ + iV ψ, ψ) = −h2 (ψ ′′ , ψ) + i(V ψ, ψ) .Учитывая, что (ψ ′′ , ψ) = −(ψ ′ , ψ ′ ) (так как ψ периодична), получаем(DS1 ψ, ψ) = h2 (ψ ′ , ψ ′ ) + i(V ψ, ψ) .В правой части первое слагаемое действительное и неотрицательное, а второечисто мнимое и для него легко сделать оценку (из теоремы о среднем, таккак функция ψ(x) ψ(x) = |ψ(x)|2 > 0 не меняет знак)ZZ(V ψ, ψ) = V (x)ψ(x) ψ(x) dx = V (x)|x=x0 ∈S1 ψ(x) ψ(x) dx ∈S1S1∈ min1 V (x), max1 V (x) · ||ψ|| = [min V, max V ] .x∈Sx∈SТаким образом получаем, что(DS1 ψ, ψ) | ψ ∈ W22 (S1 ) , ||ψ|| = 1 ⊆ [0, +∞) + i[min V, max V ] ,20следовательноPSPhN2−h2 ddx2+ iV (x)∈ [0, +∞) + i[min V, max V ]= [0, +∞) + i[min V, max V ] .Замечание 2.

Для аналитичной V (x) 6≡ const числовой образ оператораD это полуполоса [0, +∞)+i(min V, max V ). Действительно, в оценке для интеграла (V ψ, ψ) равенство min V реализуется только при V |supp ψ = min V .Так как ψ непрерывна и не равна нулю в некоторой точке, то это означаетпостоянство V на некотором интервале. В этом случае аналитичная Vдолжна быть константой.

То есть, в оценке для интеграла (V ψ, ψ) значение min V не реализуется при V 6≡ const. Аналогично для max V . При этомможно сколь угодно близко приблизиться к min V (аналогично к max V ), беря в качестве ψ функции, сосредоточенные в окрестности точки argmin V(соответственно в окрестности точки argmax V ).2.2. Псевдоспектр плотен в числовом образеУтверждение этого раздела было доказано А. И. Шафаревичем. Аналогичные результаты были получены в [18] и развиты в [22].Обозначим AV = {a ∈ R | ∃x ∈ S1 : V (x) = a, V ′ (x) 6= 0}. Очевидно вложение AV ⊆ (min V, max V ), кроме того множество (min V, max V )\AV конечно.Если бы оно было бесконечно, у аналитичной функции V ′ на компакте S1 было бы бесконечное число нулей.

Тогда V ′ ≡ 0, V = const и [min V, max V ] = {·},но одноточечное множество не может содержать бесконечное подмножество,таким образом AV — это интервал (min V, max V ), из которого выкинуто конечное число точек (или AV = ∅ для V = const). Случай постоянного Vтривиален и мы его уже рассмотрели. В дальнейшем, будем считать чтоV 6≡ const.Im Emax VRe Emin V21Для любого натурального N мы покажем, что hN –псевдоспектр содержит множество (0, +∞) + iAV — набор конечного числа полуполос, замыканием которого (в случае непостоянного V ) является полуполоса [0, +∞) +i[min V, max V ].Лемма 3 (Шафаревич). Для любого E ∈ (0, +∞) + iAV при любом натуральном N существует функция ψN с нормой ||ψN || = 1, удовлетворяющаяравенству (6), в котором ε = hN .Доказательство. Зафиксируем произвольные E ∈ (0, +∞)+iAV и N ∈N. Функцию ψN построим в следующем видеψN (x) = eiS(x)hN−2Xhℓ χℓ (x) .(7)ℓ=0Мы не будем писать индекс N у функций S и χℓ для того чтобы не загромождать запись, кроме того, отметим, что под h0 подразумевается единица.

Приподстановке представления (7) в уравнение (6) получаем следующее условие:′ 2(S ) + iV (x) − E eiS(x)hN−1Xℓ=0′′− iS eℓ′h χℓ (x) − 2iS eiS(x)hN−1Xℓ+1hℓ=0iS(x)hN−1Xℓ=0χℓ (x) − ehℓ+1 χ′ℓ (x) −iS(x)hN−1Xℓ=0hℓ+2 χ′′ℓ (x) = O hN .Это условие можно расписать по (явным) степеням h, тогда получим систему(здесь для сокращения записи обозначено QS = ((S ′ )2 + iV (x) − E)):((S ′ )2 + iV (x) − E) = QSiS(x)= O hNe h χ0 QS iS(x)iS(x)′′′ ′N −1h χ Qhe−iSχ−2iSχ=OheS001 iS(x)iS(x)′′N −ℓ−1′′′′h χheQ−2iSχ=Oh−iSχ+χeSℓ+1ℓℓℓ−1···iS(x)− 2iS ′ χ′N −2 − iS ′′ χN −2 + χ′′N −3 e h= O(h)iS(x)χ′′N −2 e h= O(1)(8)Для удовлетворения системы (8) достаточно (нам необходимо лишь показатьсуществование решения, а не найти их все) того, чтобыiS(x)N′ 2h=Oh((S)+iV(x)−E)eiS(x)= O(1) χℓ (x)e hiS(x)N −1′ ′′′(9)h=Oh−2iSχ−iSχe00iS(x)iS(x)′ ′′′h= χ′′ℓ−1 e h + O hN −ℓ−1 −2iS χℓ − iS χℓ eℓ ∈ {1, .

. . , N − 1} .22Для упрощения дополнительно сузим класс функций среди которых ищемψN , а именно, будем искать их среди функций асимптотически (при h → 0+0)сосредоточенных в одной точке, то есть, функций для которыхпри x 6= x0 ,ψN (x) −−−−→ 0 ,h→0+0при некотором x0 ∈ S1 . Тогда eiS(x)h−−−−→ 0 при x 6= x0 быстрее любойh→0+0kстепени h , то есть:Im S S1 \{x0 } ⊆ R+ ,Im S(x0 ) = 0 .Тогда Im (S ′ (x0 )) = 0 и для выполнения первого условия системы (9) возьмемx0 и S такие, чтоRe E = (S ′ (x0 ))2Im E = V (x0 ) .Это означает, что мы по заданной E фиксируем точку x0 ∈ S1 в которой Vдостигает значения Im E (и при этом, что понадобится нам в дальнейшем,V ′ (x0 ) 6= 0).

Такая точка x0 на окружности существует в силу определениямножества AV и того что Im E ∈ AV . Кроме того, мы также получили одноусловие на функцию S.Займемся построением функции S в виде степенного ряда в точке x0 :X(x − x0 )k.S (k) (x0 )S(x) =k!k∈Z+Так как искомая функция ψN (x) определена условием (6) с точностью доненулевого мультипликативного множителя, то S(x0 ) можно естественнымiS(x0 )образом выбирать произвольно из C при условии что e h 6= 0.

Характеристики

Список файлов диссертации