Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса (1103428), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Апробация диссертации• Работа обсуждались на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений под руководством академика А. Т. Фоменко(2006 г.).• Результаты, полученные в диссертации, докладывались на «XXVIIконференции молодых ученых» (11–22 апреля 2005, Москва).• А также, на международной конференции «Days on Diffraction» (30мая – 2 июня 2006, Санкт–Петербург).• В ходе выполнения работы, получаемые результаты обсуждались насеминаре «Несамосопряженные операторы» под руководством профессора А.
Г. Костюченко и профессора А. А. Шкаликова (2005 г.).• А также, на семинаре «Теория рассеяния» под руководством профессора Р. А. Минлоса (2005, 2008 гг.).1.6. Краткое содержание работыВведение. Во введении приводится обзор ранее полученных результатов,связанных с темой диссертации. Вводится оператоp2d2D = −h+ iV (x) ,(1)dx2заданный на окружности (V (x) — периодичная действительнозначная аналитическая функция) и зависящий от малого параметра h. Дается описаниезадач, приводящих к исследованию спектра оператора такого вида.
Формулируются основные определения и результаты работы.Глава 1. В первой главе находится псевдоспектр рассматриваемой задачи, показывается, что псевдоспектр заполняет полуполосу.В разделе 2.1 приводится определение псевдоспектра и доказываются егоосновные, с точки зрения дальнейшего рассмотрения, свойства.Определение 1. Пусть задано пространство функций, снабженное скалярным произведением:Φ = ({ϕ(x)}, (·, ·)) .Кроме того, пусть задан линейный (неограниченный) операторA = A(x, ε) : Φ0 → Φ ,11Φ0 = Φ ,зависящий от параметра ε ∈ (0, +∞).
Точка λ принадлежит ε–псевдоспектру оператора A = A(x, ε) тогда и только тогда, когда найдется функция ϕ = ϕ(x, ε), принадлежащая единичной сфере пространства Φ0 (тоесть, ||ϕ(·, ε)|| = 1) для любого фиксированного ε ∈ (0, +∞), и обладающаясвойством||A(x, ε)ϕ(x, ε) − λϕ(x, ε)|| = O(ε) ,при ε → 0 + 0 .(6)ε–псевдоспектр оператора A будем обозначать PSPε (A).Лемма 1. ε–псевдоспектр замкнут.Определение 2.
Числовым образом оператора A называется множество(Aψ, ψ) ψ ∈ Φ0 , ||ψ|| = 1 .Лемма 2. ε–псевдоспектр оператора A содержится в замыкании егочислового образа.Следствие 1. Пусть ε(h) — непрерывная обратимая функция параметра h и ε(0 + 0) = 0 + 0. Тогда ε(h)–псевдоспектр оператора D содержится вполуполосе [0, +∞) + i[min V, max V ].В разделе 2.2 конструктивно доказывается, что псевдоспектр рассматриваемого оператора плотен в его числовом образе. Обозначим AV = {a ∈ R |∃x ∈ S1 : V (x) = a, V ′ (x) 6= 0}. AV — плотное подмножество (min V, max V ).Лемма 3.
Для любого E ∈ (0, +∞) + iAV при любом натуральном N существует функция ψN с нормой ||ψN || = 1, удовлетворяющая равенству (6),в котором ε = hN .В разделе 2.3, на основе результатов разделов 2.1 и 2.2 доказываетсяТеорема 1. В случае непостоянной V (x) для любого N из натурального2ряда hN –псевдоспектр оператора −h2 ddx2 + iV (x), заданного на окружности,равен полуполосе [0, +∞) + i[min V, max V ].Глава 2.
Во второй главе проводится исследование спектра рассматриваемой задачи в частном случае V (x) = cos x. Показывается связь междунайденным спектром и геометрическими характеристиками римановой поверхности постоянной энергии задачи. А именно, показывается, что точкиспектра выделяются условиями на интегралы формы p dz по циклам указанной римановой поверхности. Эти условия подобны условиям Бора–Зоммерфельда–Маслова для самосопряженного случая, но имеются и существенныеотличия от самосопряженного случая.В разделе 3.1 приводится план нахождения спектра.
С помощью ВКБ–приближения построим асимптотику оператора монодромии. Условие “следравен определитель плюс один” на этот оператор выделяет точки спектра.Доказывается12Лемма 4. При любом h > 0 собственные значения оператора D с потенциалом iV (z) = i cos z симметричны относительно оси Re.В разделе 3.2 находятся точки поворота, необходимые для построенияВКБ–приближения, и доказываются некоторые их свойства как функцийспектрального параметра E.Лемма 5.
В случае V (z) = cos z на периоде (на цилиндре C/T Z) этихточек две (они совпадают при E = ±i). Это точки z± = ± arccos(−iE).Лемма 6. Точки поворота z± (E) являются непрерывными функциямипараметра E.Лемма 7. Функцияξ(z1 , z2 ) =Zz2√z1i cos z − E dzнепрерывно дифференцируема по параметру E ∈ C\(U(i) ∪ U(−i)), где в качестве U(±i) берутся произвольные окрестности точек ±i.В разделе 3.3 доказываются вспомогательные утверждения, которые будут использованы в дальнейшем.Лемма 8. Для любого a ∈ R:z+Z(E)+a√z+ (E )−a−2πZi cos z − E dz =z− (E)z − (E )pi cos z − E dz .Лемма 9. При E ∈ C\i(−1, 1)I(E) = ReZ2π√i cos x − E dx = 0 ,0тогда и только тогда, когда E — действительное положительное число.Лемма 10.
УравнениеJ(E) = RezZ+ (E)√i cos z − E dz = 0z− (E)на параметрE ∈ (0, +∞) имеет ровно одно решение E = E ⋆ . Причем E ⋆ ∈0, sh π2 .В разделе 3.4 дается определение линий Стокса, необходимых для построения ВКБ–асимптотики, указываются их известные свойства и доказывается13Лемма 11.
В случае iV (z) = i cos z имеется пять топологически различных случаев взаимного расположения линий Стокса.1)2)3)4)5)На основе вспомогательных утверждений доказываютсяЛемма 12. Если точки z+ и z+ + 2π соединены в графе Стокса (то есть,соединены криволинейной ломаной из линий Стокса), тоI(E) = ReZ2π0√i cos x − E dx = 0 .Лемма 13. Если точки z+ и z− соединены в графе Стокса, тоJ(E) = RezZ+ (E)√i cos z − E dz = ξ(z− , z+ ) = 0 .z− (E)Если соединены точки z+ − 2πk и z− , тоξ(z− , z+ − 2πk) = 0 .В частности, при k = −1 имеем: J E = 0.14Лемма 14. Случай 1 топологической конфигурации графа Стокса может реализоваться, только если E ∈ (0, +∞).
Случай 2 топологическойконфигурации графа Стокса может реализоваться только при E = E ⋆ .Лемма 15. Случаи 3 и 4 топологической конфигурации графа Стоксамогут реализоваться только на аналитических кривых в E–плоскости, накаждой из которых выполняется условиеRez+ (E)−2πkZ√i cos z − E dz = 0 ,z− (E)для некоторого k ∈ Z. Все эти кривые (обозначим их ηk ) проходят черезточку E ⋆ и пересекают луч (0, +∞) только в этой точке. Кривые ηk иη−k+1 симметричны друг другу относительно оси Re E: η−k+1 = ηk . Криваяη0 проходит через точку i.В разделе 3.5 изучается реализуемость топологических случаев.Лемма 16.
В окрестности точки E ⋆ топологический случай 4 реализуется только при k = 0 и k = −1.Лемма 17. Внутри полуполосы i(−1, 1) + (0, +∞) смена топологическоговида графа Стокса на кривых ηk и на луче (0, +∞) может происходитьтолько в точке E ⋆ .Лемма 18. Случай 4 реализуется на интервале кривой η (η), лежащеммежду точкой E ⋆ и точкой i (соответственно −i). Вне замыкания указанных интервалов на кривых η и η реализуется топологический случай 3.Лемма 19. Топологический случай 1) графа Стокса реализуется на открытом луче (E ⋆ , +∞). Случай 4) — на интервале кривой η, соединяющемточки i и E ⋆ (при этом в графе Стокса конечной линией Стокса соединены точки z− и z+ ) и на интервале кривой η, соединяющем точки −i и E ⋆(при этом в графе Стокса конечной линией Стокса соединены точки z− иz+ − 2π).
Случай 2) реализуется в точке E ⋆ . В остальных точках полуполосы [0, +∞) + i[−1, 1], кроме точек ±i, реализуются случаи 3) и 5).В разделе 3.6 показывается, что условие принадлежности точки E спектруизучаемой задачи задается условием tr M = det M +1 на матрицу монодромииM.В разделе 3.7 строится асимптотика спектра оператора D (в частном случае V (x) = cos x), для каждого из пяти топологических случаев взаимногорасположения линий Стокса.Теорема 2.
В асимптотику спектра оператора D вклад вносят только топологические случаи 1, 2 и 4. В случае 1 принадлежность точки E15спектру определяется условиемZT p1iV (x) − E dx ∈ 2πZ + O(h) ,Imh(22)0причем все такие точки лежат на оси Re E точно. В случае 2 принадлежность точки E определяется тем, удовлетворяет ли E или E условиюZz+√1πIm(23)i cos z − E dz ∈ + πZ + O(h) .h2z−В окрестностях точек, удовлетворяющих асимптотикам (22) и (23) (возможно, кроме точки E ⋆ ), лежит ровно по одной точке спектра (при достаточно малых h).В разделе 3.8 полученные результаты объединяются вТеорема 3. Вне произвольных окрестностей точек ±i асимптотикадискретного спектра оператора D при iV (z) = i cos z сосредоточена на трехкривых: луче (E ⋆ , +∞), отрезке кривой η, соединяющем точку i и точку E ⋆ ,и отрезке кривой η, соединяющем точку −i и точку E ⋆ .
На луче (E ⋆ , +∞)асимптотика дискретного спектра оператора D выделяется условиемZ2π√Imi cos x − Edx ∈ h (2πZ + O(h)) ,0на отрезке кривой η условиемZz+π√i cos z − Edz ∈ h+ πZ + O(h) ,Im2z−а на отрезке сопряженной кривой η имеем сопряженное условиеImzZ+ (E)z− (E)pi cos z − Edz ∈ hπ2+ πZ + O(h) .Рассмотрим поверхность p2 + i cos z = E в кокасательном к цилиндруC/T Z пространстве√ {(p, z) ∈ C × (C/T Z)}. Это — риманова поверхностьфункции p(z) = i i cos z − E. Она получается склейкой вдоль разреза (с«перехлестом») двух экземпляров цилиндра C/T Z, разрезанного по лучам,соединяющим точки z− и z+ с бесконечностями −i∞ и +i∞.
Эта римановаповерхность — тор с двумя дырками, на ней имеются три базисных цикла:(1) β1 — цикл, идущий из точки z− в точку z+ по левому экземпляруцилиндра и возвращающийся в точку z− по правому;(2) β2′ — цикл, обходящий дырку +i∞ в направлении возрастания Re z;16(3) β3 — цикл, обходящий один из экземпляров цилиндра в направлениивозрастания Re z и не пересекающий разрезы.Λβ2′−→β1β3С учетом этого, интегралы в теореме 3 можно переписать в виде интегралов по путям от функции p = p(z, E): Zp dz ∈ h (π + 2πZ + O(h)) β1 Zp dz ∈ h (π + 2πZ + O(h)) , где β2 = β1 + β2′β Z2p dz ∈ h (2πZ + O(h)) .β3В таком виде полученные условия обычно называются условиями квантования Бора–Зоммерфельда–Маслова.В заключительной секции 3.9 приводится рисунок спектрального графа(предельного множества для спектра при h → 0 + 0) для случая V (x) = cos x.Это одномерное подмножество числового образа, в то время, как псевдоспектр заполняет всю полуполосу числового образа.1.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
