Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса (1103428), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Причем векторное поле v на этом торе задано параллельным и постоянным вдоль второй координаты, то есть, v = (0, V (x)), для5некоторой аналитичной на окружности функции V (x). В выражении DT2 параметр ε будем брать из множества положительных действительных чисел.Это дифференциальное выражение порождает неограниченный несамосопряженный оператор DT2 на L2 (T2 ). Поставим вопрос об асимптотике дискретного спектра оператора DT2 при ε → 0 + 0.

То есть, нас интересует асимптотикамножества значений λ, при которых уравнение−ε2 ∆ + (v, ∇) u = λu(3)разрешимо относительно u — функции, заданной на торе T2 .i 2π myПредставим решение u в виде u(x, y) = e T1 ψ(x), где m ∈ Z и ψ(x) периодична с периодом T2 (чтобы обеспечить корректность задания u на торе).Тогда можно переписать уравнение (3)2π4π 2 2 i T2π myiTmy ′′2−ε − 2 m e 1 ψ(x) + e 1 ψ (x) +T12π i 2π myi 2π my+ i me T1 V (x)ψ(x) = λe T1 ψ(x) .T12πiTmyИли, после сокращения на em (при m =6 0):деления на 2πT112πiTmy(e16= 0 при любом y ∈ R, m ∈ Z) и √ 2ε T1λT12 − ε2 4π 2 m2− √ψ(x) .ψ ′′ (x) + iV (x)ψ(x) =2πT1 m2πmОбозначив E =λT12 −ε2 4π 2 m22πT1 mиh=√ε T1√2πmполучаем уравнение−h2 ψ ′′ (x) + iV (x)ψ(x) = Eψ(x) ,(4)разрешимость которого относительно (периодичной с периодом T2 ) функцииψ дает условие на E, формирущее дискретный спектр неограниченного несамосопряженного оператора DS1 в L2 (S1 ), порожденного дифференциальнымвыражением22d1+ iV (x)(5)DS = −hdx2на окружности T1 = S1 = R/T2 Z.

Найдя асимптотику дискретного спектраоператора DS1 , мы автоматически найдем асимптотику спектра оператораDT2 при m 6= 0.При m = 0 получаем следующее уравнение на ψ:−ε2 ψ ′′ (x) = λψ(x) ,то есть, опять получаем уравнение на дискретный спектр оператора DS1 , нов этом случае h = ε, E = λ, а V = 0. Более того, это уравнение легко решитьотносительно ψ. Пространство его решений на R — одна из трех линейных6оболочек (в зависимости от sign λ): D√√ Eλxcos ε , sin ελx , при λ > 0 ,при λ = 0 , h1, xi , D √√Eλxλx,при λ < 0 .e ε , e− εНетривиально пересекаться с множеством функций на T1 может только первое из этих пространств (то, √что отвечает λ > 0). Причем происходит этотогда и только тогда, когда ελ ∈ 2πN. Значит, случай m = 0 дает вкладT2√onN в дискретный спектр оператора DT2 .λ ∈ (0, +∞) λ ∈ 2πεT2Таким образом, в дальнейшем будем рассматривать именно оператор DS1заданный на окружности S1 . Отметим, что так как функция V (x) взятанами аналитичной на окружности, то она непрерывна на ней и достигает своих минимума и максимума.

Обозначим их min V = minx∈S1 V (x) иmax V = maxx∈S1 V (x). Кроме того, для упрощения обозначений, при работес оператором на окружности, его период T2 будем обозначать T = T2 .2Замечание 1. Уравнение DS1 ψ − Eψ = −h2 ddzψ2 + (iV (z) − E)ψ = 0 —линейное однородное с целыми аналитическими коэффициентами. Поэтомувсе его решения ψ образуют двумерное линейное подпространство в пространстве целых аналитических функций. Таким образом, все (периодичныес периодом T ) собственные функции рассматриваемого оператора лежат впространстве A(C/T Z) периодических целых аналитических функций.

Значит, можно рассматривать оператор, порожденный дифференциальнымвыражением DS1 как линейный оператор D, на векторном пространствеA(C/T Z). Итак, нас интересует вопрос, какова асимптотика собственныхзначений оператора D.1.4. Постановка задачи и формулировка результатаВ первой части работы найден псевдоспектр оператора (1). Пусть заданопространство функций, снабженное скалярным произведением:Φ = ({ϕ(x)}, (·, ·)) .Обозначим через || · || норму на этом пространстве, порожденную этим скалярным произведением.

Кроме того, пусть задан линейный (неограниченный)операторA = A(x, ε) : Φ0 → Φ ,Φ0 = Φ ,зависящий от параметра ε ∈ (0, +∞).Определение 1. Точка λ принадлежит ε–псевдоспектру оператора A,зависящего от параметра ε, тогда и только тогда, когда найдется функцияϕ = ϕ(x, ε), принадлежащая единичной сфере пространства Φ0 (то есть,7||ϕ(·, ε)|| = 1) для любого фиксированного ε ∈ (0, +∞), и обладающая свойством||A(x, ε)ϕ(x, ε) − λϕ(x, ε)|| = O(ε) , при ε → 0 + 0 .ε–псевдоспектр оператора A будем обозначать PSPε (A).Замечание 1. Отметим, что ε–псевдоспектр зависит не от значенияε, а от того, как параметр ε входит в оператор A(x, ε).Основной результат первой части настоящей работы теперь можно сформулировать так:Теорема 1. В случае непостоянной V (x) для любого N из натурального2ряда hN –псевдоспектр оператора −h2 ddx2 + iV (x), заданного на окружности,равен полуполосе [0, +∞) + i[min V, max V ].Целью второй части настоящей работы является описание асимптотикипри h → 0 спектра оператора (1), в частном случае V (x) = cos x.

Оказывается, эта асимптотика выражается через интегралы от голоморфной формыпо циклам на римановой поверхности Λ, задаваемой в C2 /T Z уравнениемp2 + i cos x = E (p ∈ C, x ∈ C/T Z). Эта (некомпактная) поверхность приE 6= ±i гомеоморфна тору с двумя дырками и получается склейкой двухэкземпляров цилиндра C/T Z, разрезанного по лучам, соединяющим нулифункции i cos(x) − E с бесконечностями ±i∞:Λβ2′−→β1β3Обозначим β1 , β2 = β1 + β2′ и β3 — базисные циклы на Λ, как показано нарисунке.Основной результат второй части работы — следующая теорема:8Теорема 4. Пусть E — таково, что на поверхности Λ существуетцикл β ∈ {β1 , β2 , β3 }, для которогоZ1µ(β)p dz ∈ Z +.2πh β2Тогда существует собственное число λ оператора D, для которого λ − E =O(h2 ).

Здесь µ(β1 ) = µ(β2 ) = 1, µ(β3 ) = 0.Условия в теореме 4 похожи на условия квантования Бора–Зоммерфельда–Маслова лагранжевых многообразий в R2n (см., например, [7, 6]), описы∂вающие спектр оператора вида H x, −ih ∂x. Отметим однако, что в теорииквазиклассического квантования требуется выполнение условий квантованиядля всех циклов на лагранжевом многообразии, тогда как в нашем случае достаточно выполнения условия квантования хотя бы для одного из циклов β1 ,β2 и β3 .Условия в теореме 4 можно записать в виде совокупности трех уравненийпри m1 , m2 , m3 ∈ Z:Z1p dz = m1 + 12 2πh β1 1 Zp dz = m2 + 12 2πh β2Z 1p dz = m3 .2πh β3Тем самым выделяется три серии собственных чисел — каждая соответствуетрешениям одного из трех уравнений этой совокупности.

Оказывается, приh → 0 собственные значения концентрируются в O(h2 )–окрестности графана комплексной плоскости.Im E+iηE⋆Re Eη−iR1Ребра этого графа удовлетворяют уравнениям 2πhIm βj p dz = 0 (однако невсе точки, удовлетворяющие этим уравнениям лежат на ребрах этого графа —ребра являются частями кривых, задаваемых этими уравнениями).

Назовемэтот граф предельным спектральным графом оператора D. Вне окрестностей9точек ±i предельный спектральный граф выглядит как показано на рисункена стр. 9.Предельный спектральный граф связан с графом Стокса уравнения (D −E)ϕ = 0. Напомним, что граф Стокса определяется следующим образом. Обозначим через z± (E) решения уравнения i cos x = E на цилиндре; они называются точками поворота.

Для каждой из этих точек рассмотримR z √ три (при E 6=±i) выходящие из нее кривые, заданные уравнением Re z± i cos w − E dw =0. Эти линии называются линиями Стокса, их объединение образует графСтокса. Оказывается, предельный спектральный граф оператора (1) обладает следующим свойством: если E принадлежит спектральному графу, соответствующий граф Стокса содержит конечную линию Стокса. Другимисловами, в этом случае, линия Стокса, выходящая из одной точки поворота,попадает в другую.Существование конечной линии Стокса — необходимое условие, однакооно не является достаточным. Дело в том, что есть топологическая конфигурация графа Стокса, имеющая конечную линию Стокса, но не вносящая вклад в спектр.

Кривых в E–плоскости, на которых реализуются графыСтокса, содержащие конечную линию Стокса, счетное число. На следующейкартинке показано семейство таких кривых, занумерованых числом k — на k–ой кривой реализуется граф Стокса, в котором точки z− и z+ −2πk соединеныконечной линией Стокса. Кроме того, на луче, выходящем из точки пересечения этого семейства кривых, и идущем в +∞, реализуется граф Стокса, вкотором точки z+ и z+ + 2π соединены конечной линией Стокса. Здесь такжепоказаны границы числового образа оператора D, который является полуполосой [0, +∞) + i(−1, 1).Im Ek=12345678910 .

. .Re Ek=0−1−2−3−4 −5 −6 −7 −8 −9...План доказательства теоремы следующий. Для того, чтобы найти спектроператора (1), воспользуемся ВКБ–приближением. Для этого, прежде всеговыясним, как может выглядеть граф Стокса. Этот граф зависит от параметраE и при изменении E может перестраиваться. Другими словами, в зависимости от E возможны топологически различные случаи реализаций графаСтокса.

После того как все возможные случаи будут найдены, в каждом из10них вычислим матрицу монодромии (сдвига аргумента на период) оператора (1). Эта матрица позволит найти при каких E у исследуемого оператораесть периодичное решение; точнее из условия на матрицу монодромии мыполучим условие на спектр оператора (1).При сравнении теоремы 1 с теоремой 4 видим насколько сильно отличается спектр от псевдоспектра.1.5.

Характеристики

Список файлов диссертации