Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса (1103428), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Дело в том, что для «аналога графа Стокса»не выполняются свойства графа Стокса, например (как видно из картинки) нарушается 5Sc , стр. 38. Аналогично, поднятия линий Стокса лучшеназывать «аналоги линий Стокса». Для них не выполняется, например 6Sc .То, что решение при обходе вдоль цикла β3 (равно как и при обходе вдольцикла β3′ ) переходит в себя, дается условием квантования для этого топологического случая. То, что решение при обходе вдоль цикла β1 переходитв себя, следует из топологического вида «аналога графа Стокса». Действительно, в качестве канонических областей можно взять цилиндры C/T Z,формирующие Λ при склейке. Для продолжении решения с левого цилиндрана правый вдоль β1 в окрестности z+ , необходимо построить матрицу перехода Ωz+ , а для продолжения решения с правого цилиндра на левый вдоль71β1 в окрестности z− — матрицу перехода Ωz− .
В силу симметрии cos z относительно нуля, матрицы Ωz+ и Ωz− взаимно обратны. А значит, решениезадано корректно вдоль цикла β1 . Таким образом, в случае 1, решение корректно продолжается вдоль циклов β3 , β3′ и β1 , которые формируют базисциклов на Λ (и, следовательно, вдоль любого цикла на Λ), тогда и толькотогда, когда выполняется условие квантования на цикле β3Z1µ(β3 )p dz = m +.2πh β343.9. Спектральный графПо теореме 3 асимптотика спектра сосредоточена на луче (E ⋆ , +∞), отрезке кривой η, соединяющем точку i и точку E ⋆ , и отрезке кривой η, соединяющем точку −i и точку E ⋆ . Значит, вне окрестностей точек ±i предельныйспектральный граф оператора D имеет следующий вид:Im E+iηE⋆Re Eη−iЗамечание 21.
Выкалывание окрестностей точек ±i носит технический, а не принципиальный характер. Спектр не имеет особенностей вэтих окрестностях. Сами точки ±i не входят в спектр при любом h > 0,так как они не входят в числовой образ Img D = [0, +∞) + i(−1, 1). А в ихокрестностях не может находиться бесконечно много точек спектра —как уже отмечалось, при любом h > 0, на любом компакте в C имеетсялишь конечное число точек.72Литература.[1] И.
Ц. Гохберг, М. Г. Крейн Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. — М.: Наука, 1965.[2] Ю. Н. Днестровский, Д. П. Костомаров О задачах на собственныезначения для уравнений второго порядка в случае нелинейной зависимости от параметра λ. ДАН — 1963. — 152, № 1. — 28–30.[3] С. Ю. Доброхотов, В. Н. Колокольцов, Виктор Мартинес ОливеАсимптотически устойчивые инвариантные торы векторного поля V (x) иквазимоды оператора диффузии. Мат. заметки — 1995.
— 58, № 2. —880–884.[4] М. А. Евграфов, М. В. Федорюк Асимптотика решений уравненияw ′′ − p(z, λ)w = 0 при λ → ∞ в комплексной плоскости. УМН — 1966. —21, № 1. — 3–50.[5] Я. Б. Зельдович, А. А. Рузмайкин Гидромагнитное динамо как источник планетарного, солнечного и галактического магнетизма. УФН —1987. — 152, № 2. — 263–284.[6] В. П. Маслов Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1987.[7] В.
П. Маслов Теория возмущений и асимптотические методы. — М.:МГУ, 1965.[8] С. А. Степин Несамосопряженные сингулярные возмущения: модель перехода от дискретного спектра к непрерывному УМН — 1995. — 50, № 6. —219–220.[9] С. А. Степин О спектральных свойствах задачи Орра–Зоммерфельдапри исчезающей вязкости Функц. анализ и его прил. — 1996. — 30, № 4.
—88–91.[10] С. А. Степин Несамосопряженные сингулярные возмущения и спектральные свойства задачи Орра–Зоммерфельда. Мат. сборник — 1997. —188. — 129–146.[11] С. А. Степин, А. А. Аржанов Квазиклассические спектральныеасимптотики и явление Стокса для уравнения Вебера.
Доклады РАН —2001. — 378, № 1. — 18–21.[12] С. А. Степин, А. А. Аржанов О локализации спектра в одной задачесингулярной теории возмущений. УМН — 2002. — 57, № 3. — 161–162.[13] С. Н. Туманов, А. А. Шкаликов О предельном поведении спектрамодельной задачи для уравнения Орра–Зоммерфельда с профилем Пуазейля. Известия РАН, серия Математика — 2002.
— 66, № 4. — 177–204.[14] М. В. Федорюк Топология линий Стокса уравнений второго порядка.Известия АН СССР, серия Математика — 1965. — 23, № 3. — 645–656.[15] А. А. Шкаликов О предельном поведении спектра при больших значениях параметра одной модельной задачи. Мат. заметки — 1997. — 62,№ 6. — 950–953.73[16] А. А. Шкаликов Спектральные портреты оператора Орра–Зоммерфельда при больших числах Рейнольдса. Современная математики. Фундаментальные направления. — 2003. — 3.
— 89–112.[17] S. J. Chapman Subcritical transition in channel flows. J. Fluid Mech. —2002. — 451. — 35–97.[18] E. B. Davies Semi-classical states for non-self-adjoint Shrödinger operators.Commun. Math. Phys. — 1999. — 200, — 35–41.[19] E. B. Davies Pseudospectra of differential operators. Operator Theory —2000. — 43, — 243–262.[20] Dobrokhotov S. Yu., V. N. Kolokoltsov, V.
Martinez OliveQuasimodes of the diffusion operator −ε∆ + v(x) · ∇, corresponding toasymptotically stable limit cycles of the field v. Sobretiro de SociededMatematica Mexicana — 1994. — 11. — 81–89.[21] R. G. Drazin, W. H. Reid Hydrodynamic Stability. — Cambridge, 1981.[22] K. Pravda-Starov A general result about pseudo-spectrum for Shrödingeroperators. Proc.
R. Soc. A — 2004. — 460. — 471–477.[23] P. Redparth Spectral properties of non-selfadjoint operators in thesemiclassical regime. Journal of Differential Equations — 2001. — 177, № 2. —307–330.[24] A. A. Schkalikov Spectral portraits and the resolvent growth of a modelproblem associated with the Orr-Sommerfeld equation. arXiv — 2003.
—arxiv.org/pdf/math/0306342.[25] S. A. Stepin, A. A. Arzhanov WKB–approximations and spectralasymptotics in one problem of singular perturbation theory Journal ofMath. Sciences — 2005. — 126, № 5. — 1467–1484.[26] L. N. Trefethen Pseudospectra of Linear Operators ISIAM 95: Proceedingsof the Third Int. Congress of Industrial and Applied Math., Academic Verlag,Berlin — 1996. — 401–434.Работы автора по теме диссертации[27] С. В. Гальцев, А. И. Шафаревич Спектр и псевдоспектр несамосопряженного оператора Шредингера с периодическими коэффициентами.Матем.
заметки — 2006. — 80, № 3. — 356–366.[28] С. В. Гальцев, А. И. Шафаревич Квантованные римановы поверхности и квазиклассические спектральные серии для несамосопряженногооператора Шредингера с периодическими коэффициентами. Теоретическая и математическая физика — 2006. — 148, № 2. — 206–226.[29] С. В. Гальцев, А. И. Шафаревич Асимптотика дискретного спектранесамосопряженного периодичного оператора. — В кн.: Труды XXVIIКонференции молодых ученых. — М.: Мех-мат ф-т МГУ, 2005. — 18–22.[30] S.
V. Galtsev, A. I. Shafarevich Semiclassical quantization of Riemannsurfaces and spectral problem for non–selfadjoint Shroedinger operator.Advanced Studies in Contemporary Mathematics — 2006. — 12, № 2. —167–196.74.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
