Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса (1103428), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Отметим, что в этом случае мы получили лишь, чтоточки спектра лежат в окрестности кривых η и η. То есть, в отличие оттопологического случая 1, спектр на этих кривых сосредоточен асимптотически, но не обязательно точно.643.7.5. Топологический случай 2. При E = E ⋆ картина линий Стоксаимеет следующий вид:Im zγ1γ1′′z+z+γ2z−γ3Re z′z−Обозначим γ1 — линия Стокса, выходящая из точки z+ вертикально вверх,′γ2 — линия Стокса, соединяющая z+ с z−= z− + T , γ3 — линия Стокса,′′′соединяющая z− = z− + T с z+ = z+ + T , γ1 = γ1 + T .Каждую линию Стокса из γ1 , γ2 , γ3 и γ1′ = γ1 + T можно включить всоответствующую каноническую область K1 , K2 , K3 и K1′ = K1 + T .

Тогда,для того чтобы продолжить систему решений из области K1 в область K1′ =K1 + T , необходимо построить матрицы перехода Ωk , k ∈ {1, 2, 3, 4, 5}:ΩΩΩ123′(γ1 , z+ , K1 ) −→(γ2 , z+ , K2 ) −→(γ2 , z−, K2 ) −→ΩΩΩ345′′′−→(γ3, z−, K3 ) −→(γ3 , z+, K3 ) −→(γ1′ , z+, K1′ ) .Переход от системы решений в области K1 к системе решений в области K1′будет задаваться произведением этих матриц Ω = Ω5 Ω4 Ω3 Ω2 Ω1 . Матрицы Ω1 ,Ω3 Ω5 имеют следующий вид (см. [4]):01−i π6e.1 + O(h) i(1 + O(h))А оставшаяся матрицы Ω2 и Ω4 побочно–диагональны:τ1 0ehiτ0τ1Ω2 = e,e− h065τ0 =1limz→z+ , z∈γ2arg (iV (z) − E)− 4 −′ξ(z+ , z−),τ1 =Im τ1 > 0 ,τ0′ =τ1′eτ′− h1z→z− , z∈γ3arg (iV (z) − E)− 4 −′′ξ(z−, z+),Im τ1′τ1′h0e1lim′=z→z− , z∈γ20′Ω4 = eiτ01lim′lim′!z→z+ , z∈γ3arg (iV (z) − E)− 4 ,,1arg (iV (z) − E)− 4 ,> 0.Для Ω получаем (здесь использовано обозначение [·] = · + O(h)):Ω = Ω5 Ω4 Ω3 Ω2 Ω1 =!τ1′hπ′0 10e= e− 2 i+(τ0 +τ0 )i××τ1′[1] [i]0e− h τ1 π0eh010 1τ=×× e−i 6×− h1[1] [i][1] [i]0e!τ′τ1− h1π′e− he0 100− 2 i+(τ0 +τ0 )i−i π6τ1τ1=ee=τ1′τ1′[1] [i]e− h [i] e h [1]e− h [i] e h [1]τ +τ ′− 1h 1e0π01−i− π2 i+(τ0 +τ0′ )i  =eτ1′ −τ1τ1 +τ1′τ +τ ′ e 6 [1] [i] =− 1h 1hh+e[1] [i] e[1]eτ +τ ′− 1h 10e − π2 i+(τ0 +τ0′ )i ′′=eτ1 +τ1′τ1′ −τ1τ1 +τ1 τ1 +τ1.−e h [1]e h + e h [1] + e h [1] [i]Для такой матрицы перехода условие (20) на принадлежноть точки Eдискретному спектру оператора D преобразуется в−eτ1 +τ1′h+eτ1 +τ1′h(1 + O(h)) + eτ1′ −τ1h(1 + O(h)) = 2 + O(h) .(24)В точке E ⋆ благодаря виду графа Стокса имеем Re τ1 = Re τ1′ = 0, а поутверждению (8) и по выбору ветвей корня (Im τ1 > 0 и Im τ1′ > 0) имеемτ1 = − τ1′ , значит−eτ1 +τ1′h+eτ1 +τ1′hτ1′ −τ1h(1 + O(h)) + e(1 + O(h)) =2 Im τ1+ O(h) + (1 + O(h)) = 2 + O(h) .= 2 coshОтсюдаcos2 Im τ11= + O(h) ,h2⇐⇒661πIm τ1 ∈ + πZ + O(h) .h6Таким образом, получаем условие принадлежности точки E ⋆ дискретномуспектру оператора D:Zz+√1πi cos z − E ⋆ dz ∈ + πZ + O(h) .Imh6z−Замечание 13.

Условие (24) разрешимо в некоторой окрестности точки E ⋆ при любом h. То есть, E ⋆ входит в предельный спектральный граф.Таким образом, нами доказанаТеорема 2. В асимптотику спектра оператора D вклад вносят только топологические случаи 1, 2 и 4. В случае 1 принадлежность точки Eспектру определяется условием (22), причем все такие точки лежат наоси Re E точно.

В случае 2 принадлежность точки E определяется тем,удовлетворяет ли E или E условию (23). В окрестностях точек, удовлетворяющих асимптотикам (22) и (23) (возможно, кроме точки E ⋆ ), лежитровно по одной точке спектра (при достаточно малых h).3.8. Асимптотика спектраТеорема 3. Вне произвольных окрестностей точек ±i асимптотикадискретного спектра оператора D при iV (z) = i cos z сосредоточена на трехкривых: луче (E ⋆ , +∞), отрезке кривой η, соединяющем точку i и точку E ⋆ ,и отрезке кривой η, соединяющем точку −i и точку E ⋆ .

На луче (E ⋆ , +∞)асимптотика дискретного спектра оператора D выделяется условиемZ2π√Imi cos x − Edx ∈ h (2πZ + O(h)) ,0на отрезке кривой η условиемZz+π√i cos z − Edz ∈ h+ πZ + O(h) ,Im2z−а на отрезке сопряженной кривой η имеем сопряженное условиеImzZ+ (E)z− (E)pi cos z − Edz ∈ hπ2+ πZ + O(h) .Доказательство.

Достаточно объединить результаты теоремы 2 и леммы 19.Замечание 14. Как мы видели:(1) дискретный спектр при любом h > 0 симметричен относительнооси Re E;67(2) при любом h > 0, на произвольном компакте в C имеется лишьконечное число точек спектра оператора D;(3) в окрестностях точек, удовлетворяющих указанным в теореме 3асимптотикам (возможно, кроме точки E ⋆ ), лежит ровно по одной точке спектра (при достаточно малых h);(4) на луче (E ⋆ , +∞) дискретный спектр сосредоточен точно (при достаточно малых h);(5) на указанных в теореме отрезках кривых η и η точки спектра лежат асимптотически (не обязательно точно).Замечание 15. Условия на асимптотику выписаны в теореме 3 черезмнимые части некоторых интегралов. Причем каждая асимптотическаясерия сосредоточена на кривой, на которой действительная часть соответствующего интеграла обращается в ноль.

Действительно, эти кривые находились из условия присутствия конечной линии Стокса в графе Стокса, аоно влечет равенство нулю действительной части соответствующего интеграла. Поэтому, в условиях на асимптотики, знак Im можно опустить.Тогда на луче (E ⋆ , +∞) имеем требованиеZ2π√i cos x − Edx ∈ ih (2πZ + O(h)) ,0а на отрезках кривых η и η (кроме окрестностей точек ±i) имеем соответственно:zZ+ (E)π√+ πZ + O(h) ,i cos z − Edz ∈ ih2z− (E)zZ+ (E)z− (E)pi cos z − Edz ∈ ihπ2+ πZ + O(h) .Замечание 16. Рассмотрим поверхность p2 + i cos z = E в кокасательном к цилиндру C/T Z пространстве {(p, z) ∈ C × (C/T Z)}. (Здесь, как и втеории квазиклассического квантования самосопряженных операторов, выполняется формальная подстановка p = −ih ∂∂x в спектральное уравнение.)√Это — риманова поверхность (обозначим ее Λ) функции p(z) = i i cos z − E.Она получается склейкой вдоль разреза (с «перехлестом») двух экземпляров цилиндра C/T Z, разрезанного по лучам, соединяющим точки z− и z+ сбесконечностями −i∞ и +i∞.То, что разрезы именно такие (а не вдоль отрезка, соединяющего z−с z+ ), можно понять, рассмотрев поведение p(z) в окрестностях −i∞ и+i∞.

Рассмотрим, для примера, окрестность +i∞. Поверхность Λ двулистно накрывает цилиндр C/T Z, значит окружность, обходящая +i∞ на68цилиндре поднимается либо до связного цикла, обходящего +i∞ на Λ, либо до двух связных циклов, обходящих два экземпляра +i∞ на Λ. Первыйслучай соответствует склейке по двум разрезам вдоль двух лучей, уходящих в бесконечности, а второй — склейке по разрезу вдоль отрезка [z− , z+ ].Итак, рассмотрим цикл z ∈ U(+i∞) ⊂ C/T Z, z = x + iy, x ∈ R/T Z,y = const ∈ U(+∞) ⊂ R:r√eix−y + e−ix+yp = i i cos z − E = i i−E.2Пренебрегая малыми по сравнению с ey слагаемыми E и e−y eix получаем:√√ √p ∼ i ey ie−ix = const ie−ix ,то есть цикл, обходящий +i∞ √ведет себя также, как и для римановойповерхности квадратного корня · — он поднимается до одного связногоцикла.

Значит, склейка ведется вдоль лучей, уходящих в бесконечность.Λβ2′−→β1β3(25)Таким образом, риманова поверхность Λ — это тор с двумя дырками.На этой поверхности имеются три базисных цикла, например:(1) β1 — цикл, идущий из точки z− в точку z+ по левому экземпляруцилиндра и возвращающийся в точку z− по правому;(2) β2′ — цикл, обходящий дырку +i∞ в направлении возрастания Re z;(3) β3 — цикл, обходящий один из экземпляров цилиндра в направлениивозрастания Re z и не пересекающий разрезы.69Из леммы 8 на стр. 32:zZ+ (E)z− (E)pi cos z − Edz =z+ (E)+2πZ√1i cos z − Edz =2z− (E)Zβ1 +β2′√i cos z − Edz ,так как интеграл p dz по [z− , z+ ] равен половине интеграла p dz по циклуβ1 (β1 обходит отрезок [z− , z+ ] дважды, в противоположных направлениях,знаки p при этих обходах противоположны), а интеграл по [0, 2π] — половине интеграла по циклу β2′ (цикл β2′ обходит период дважды — по двумэкземплярам цилиндра).

Обозначим β2 = β1 + β2′ , тогда β1 , β2 и β3 такжесоставляют базис циклов на Λ. С учетом вышеизложенного, интегралы втеореме 3 можно переписать в виде интегралов по путям от формы p dz: Zp dz ∈ h (π + 2πZ + O(h)) β1 Zp dz ∈ h (π + 2πZ + O(h))β Z2p dz ∈ h (2πZ + O(h)) .β3В таком виде полученные условия обычно называются условиями квантования Бора–Зоммерфельда–Маслова.Замечание 17. Отметим, что ориентация циклов в условиях квантования Бора–Зоммерфельда–Маслова не имеет значения. Смена ориентациицикла, по которому ведется интегрирование, отвечает симметрии правойчасти относительно нуля; а в правых частях всех условий квантованиястоят симметричные множества.С учетом всего этого, теорему 3 можно переформулировать в таком виде:Теорема 4.

Пусть E — таково, что на поверхности Λ существуетцикл β ∈ {β1 , β2 , β3 }, для которогоZµ(β)1p dz ∈ Z +.2πh β4Тогда существует собственное число λ оператора D, для которого λ − E =O(h2 ). Здесь µ(β1 ) = µ(β2 ) = 2, µ(β3 ) = 0.Замечание 18. Условия в теореме 4 похожи на условия квантованияБора–Зоммерфельда–Маслова лагранжевых многообразий в R2n (см., напри∂. Отметиммер, [7, 6]), описывающие спектр оператора вида H x, −ih ∂xоднако, что в теории квазиклассического квантования требуется выполнение условий квантования для всех циклов на лагранжевом многообразии.70В рассматриваемом же несамосопряженном случае, во-первых, вместолагранжева многообразия, имеется риманова поверхность функции p(z). Аво-вторых, вместо системы, получается совокупность условий Бора–Зоммерфельда–Маслова на интегралы p dz по трем конкретным циклам на римановой поверхности, то есть достаточно выполнения условия квантования хотя бы для одного из циклов β1 , β2 и β3 .Замечание 19.

Для β ∈ {β1 , β2 , β3 } величина µ(β) — одномерный индексМаслова проекции цикла β на цилиндр Re Λ = {(Re z, Re p) | (z, p) ∈ Λ}.Замечание 20. Попробуем разобраться, почему же в качестве условияна разрешимость Dψ = Eψ в A(C/T Z) получается совокупность условийна циклы, а не система. Рассмотрим, для примера, топологический случай1 графа Стокса. Поднимем граф Стокса на риманову поверхность Λ.β2′z+β1β3′β3z−При этом его лучше называть не граф Стокса, а как-либо по-другому, например «аналог графа Стокса».

Характеристики

Список файлов диссертации