Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса (1103428), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Именно в этом предположении будут рисоваться графы Стокса и рассчитываться условия на асимптотику. Как мызнаем (см. лемму 4) спектр симметричен относительно оси Re E, и ограничение Im E > 0 не является существенным. Нам придется только учесть, чтоусловие (23) на E, которое мы выведем в дальнейшем, имеет симметричныйвариант, получающийся заменой E на E.3.7.1.
Топологический случай 1. Вот приблизительный (полученныйвычислительными методами) вид графа Стокса в этом случае:Im zγ1γ1′′z+z+γ2Re zz−′z−Обозначим γ1 — линия Стокса, выходящая из точки z+ вертикально вверх;′γ2 — линия Стокса, соединяющая z+ с z+= z+ + T , а γ1′ = γ1 + T .Каждую из линий Стокса γ1 , γ2 и γ1′ = γ1 + T можно включить в соответствующую каноническую область K1 , K2 и K1′ = K1 + T . Тогда, для тогочтобы продолжить систему решений из области K1 в область K1′ = K1 + T ,56необходимо построить матрицы перехода Ωk , k ∈ {1, 2, 3}:ΩΩΩ123′′(γ1 , z+ , K1 ) −→(γ2 , z+ , K2 ) −→(γ2 , z+, K2 ) −→(γ1′ , z+, K1′ ) .Переход от системы решений в области K1 к системе решений в области K1′будет задаваться произведением этих матриц Ω = Ω3 Ω2 Ω1 .Матрицы Ω1 и Ω3 имеют следующий вид (cм. [4]):π01e−i 6.1 + O(h) i(1 + O(h))А оставшаяся матрица побочно–диагональна:τ1 h0eτΩ2 = eiτ0,− h1e0τ0 =1limz→z+ , z∈γ2arg (iV (z) − E)− 4 −1πarg (iV (z) − E)− 4 = − ,z→z+ , z∈γ26lim′′τ1 = ξ(z+ , z+) , τ1 ∈ i(0, +∞) .Таким образом получаем, чтоτ10e− hτ1τ1τ1τ1e h (1 + O(h)) i e− h + e h (1 + O(h)) + e h O(h)−i π2Ω=e!.Определитель этой матрицыdet Ω = −e−iπ (1 + O(h)) = 1 + O(h) ,а условие (20) преобразуется в τ1τ1τ1τ1−h+ e h (1+O(h))+e h O(h) = 2 cos (1+O(h))+O(h) = 2+O(h) ,tr Ω = eihчто дает условие на величину интеграла τ1 :τ11=hhzZ+ +T√i cos z − E dz ∈ i2πZ(1 + O(h)) .(21)z+Как мы помним, действительная часть этого условия выполняется автоматически в данном случае — так как этоRezZ+ +Tz+Z ppiV (z) − E dz = ReiV (x) − E dx = 0 = O(h) .T0Из леммы 9 следует, что это влечет Im E = 0.
Мнимая же часть (21) даетусловие принадлежности точки E дискретному спектру оператора D:1ImhZT p0iV (x) − E dx ∈ 2πZ + O(h) .57(22)Замечание 10. При достаточно малом h, как только окрестности различных точек E, удовлетворяющих условию1ImhZT piV (x) − E dx ∈ 2πZ ,0перестают пересекаться, в окрестностях этих точек имется ровно по одной точке спектра.
С учетом леммы 4 из этого следует, что точки спектра, соответсвующие этому топологическому случаю, лежат на оси Re Eточно.3.7.2. Топологический случай 5. Рассмотрим случай общего положения, то есть, случай, когда все линии Стокса уходят в бесконечность и ограниченных линий Стокса нет.
Тогда картина линий Стокса имеет следующийвид:Im zγ1γ2z+γ1′′z+γ3Re zz−′z−Обозначим γ1 , γ2 — линии Стокса, выходящие из точки поворота z+ и уходя′= z− + T и такжещие в +i∞, а γ3 — линию Стокса, выходящую из точки z−′′уходящую в +i∞. Пусть, кроме того, γ1 = γ1 + T и z+ = z+ + T . Каждую излиний Стокса γ1 , γ2 , γ3 и γ1′ = γ1 + T можно включить в соответствующуюканоническую область K1 , K2 , K3 и K1′ = K1 + T . Тогда, для того чтобы продолжить систему решений из области K1 в область K1′ = K1 + T , необходимо58построить матрицы перехода Ωk , k ∈ {1, 2, 3}:ΩΩΩ123′′(γ1 , z+ , K1 ) −→(γ2 , z+ , K2 ) −→(γ3 , z−, K3 ) −→(γ1′ , z+, K1′ ) .Переход от системы решений в области K1 к системе решений в области K1′будет задаваться произведением этих матриц Ω = Ω3 Ω2 Ω1 .Матрицы Ωk имеют следующий вид (cм.
[4]):π01Ω1 = e−i 61 + O(h) i + O(h)Ω2 = eiτ0τ0 =limz→z+ , z∈γ2τ1e− h00τ1eh1arg (iV (z) − E)− 4 −′τ1 = ξ(z+ , z−) , Re τ1 > 0 .,1lim′z→z− , z∈γ3arg (iV (z) − E)− 4 ,(Имеется в виду, что для корня выбрана ветвь при которой Re τ1 > 0.)!τ′− h1′e0Ω3 = eiτ0,τ1′0ehτ0′ =lim′z→z− , z∈γ31arg (iV (z) − E)− 4 −lim′1−4arg(iV(z)−E),′z→z+ , z∈γ1′′τ1′ = ξ(z−, z+) , Re τ1′ > 0 .(Аналогично, для корня выбрана ветвь при которой Re τ1′ > 0.)Таким образом, получаемΩ = ei(τ0 +τ0′ − π6)eτ1 +τ1′h0−e(1 + O(h)) ieτ1 +τ1′hτ1 +τ1′h(1 + O(h))!Для этой матрицы det Ω = −ei2(τ0 +τ0 − 6 ) +O(h), откуда τ0 +τ0′ − π6 = π2 +πk.′πτ1 +τ1′tr Ω = (−1)k+1 e h (1 + O(h)). Нам подходит только τ0 + τ0′ −при котором условие (20) преобразуется вtr Ω = eτ1 +τ1′hπ6=π2+ 2πk,(1 + O(h)) = 2 + O(h) .Так как Re(τ1 + τ1′ ) > 0, то при h → 0 + 0 модуль | tr Ω| → +∞, то есть,это условие асимптотически не выполняется.
Другими словами, этот случайничего не вносит в асимптотику спектра оператора D.593.7.3. Топологический случай 3. Граф Стокса выглядит приблизительно так:Im zγ1γ2γ1′z+′z+Re zОбозначим γ1 и γ2 — бесконечные линии Стокса, выходящие из одной точки поворота (например, точки z+ ). В рассматриваемом случае они уходят водну и ту же бесконечность на цилиндре C/T Z. Пусть, для определенности,линии γ1 , γ2 и γ1′ = γ1 + T расположены так, как показано на рисунке. Каждую из линий Стокса γ1 , γ2 и γ1′ = γ1 +T можно включить в соответствующуюканоническую область K1 , K2 и K1′ = K1 + T . Тогда, для того чтобы продолжить систему решений из области K1 в область K1′ = K1 + T , необходимопостроить матрицы перехода Ωk , k ∈ {1, 2}:ΩΩ12′(γ1 , z+ , K1 ) −→(γ2 , z+ , K2 ) −→(γ1′ , z+, K1′ ) .Переход от системы решений в области K1 к системе решений в области K1′будет задаваться произведением этих матриц Ω = Ω2 Ω1 .
Матрица Ω1 имеетследующий вид:π01Ω1 = e−i 61 + O(h) i + O(h)А матрица Ω2 имеет вид:iτ0Ω2 = eτ1e− h0600τ1eh,τ0 =limz→z+ , z∈γ21arg (iV (z) − E)− 4 −lim′1arg (iV (z) − E)− 4 ,′z→z+ , z∈γ1′ξ(z+ , z+),τ1 =Re τ1 > 0 .(Имеется в виду, что для корня выбрана ветвь при которой Re τ1 > 0.)Таким образом, аналогично случаю общего положения получаем, что матрица монодромииτ10e− hi(τ0 − π6 )τ1τ1.Ω=ee h (1 + O(h)) ie h (1 + O(h))τ1Для этой матрицы | det Ω| = 1+O(h), | tr Ω| = e h (1+O(h)).
Так как Re τ1 > 0,то при h → 0 + 0 модуль | tr Ω| → +∞, то есть, это условие асимптотически невыполняется. Значит, этот случай ничего не вносит в асимптотику спектраоператора D.3.7.4. Топологический случай 4. Граф Стокса в этом случае выглядит так:Im zγ[1]′−γ[2] γ[1]′z+z+z−γ[3]′z−γ[2]Re z−γ[1]В этом случае нам удобно будет индексировать линии Стокса и канонические области классами вычетов по модулю 3.
То есть, выражения [1], [2], [3],[j] и [j + 1], которые будут встречаться в нижних индексах обозначают классэквивалентности соответствующего элемента в факторгруппе Z3 = Z/3Z.Обозначим линии Стокса, выходящие из точки z− , следующим образом:γ[1] уходит в +i∞, γ[2] уходит в −i∞, γ[3] соединияет точку z− с точкой z+ .61Тогда из точки z+ выходят линии Стокса −γ[2] (вверх, то есть, в +i∞), −γ[1](вниз) и −γ[3] (в точку z− ). Обозначим K[j] , каноническую область, в которую можно включить линию Стокса γ[j] . Для краткости, обозначим все этиобъекты, сдвинутые на период T , теми же символами с добавлением штри′ха. Обратим внимание, что в каноническую область K[1]можно включить не′′.только γ[1] , но и −γ[2] . Так и поступим, тогда в качестве K[2] можно взять K[1]Таким образом,′z±= z± + T ,′γ[j]= γ[j] + T , j ∈ {1, 2, 3} ,K[j] ⊃ γ[j] , j ∈ {1, 2, 3} ,K[3] = −K[3] ,γ[3] = −γ[3] ;′= K[1] + T = −K[2] .K[1]В этом случае для нас окажется важным конкретный вид членов 1 +O(h) в матрицах, отвечающих переходу с одной линии Стокса, выходящей изнекоторой точки поворота, на другую линию Стокса, выходящую из той жеточки.
Соответствующие формулы имеются в [13]. Так что, нам удобно будетв этом случае воспользоваться формулами перехода из [13], а не из [4].′Для того, чтобы продолжить систему решений из области K[1]= K[1] + Tв область K[1] , необходимо построить матрицы перехода Ωk , k ∈ {1, 2, 3, 4}:ΩΩ12′′′′(z−, γ[1], K[1]= −K[2] ) −→(z+ , −γ[2] , −K[2] = K[1]) −→ΩΩΩ234−→(z+ , −γ[3] = γ[3] , −K[3] = K[3] ) −→(z− , γ[3] , K[3] ) −→(z− , γ[1] , K[1] ) .′к системе решений в областиТогда переход от системы решений в области K[1]K[1] будет задаваться матрицей Ω, представимой в видеTΩ = T Ω1 T Ω2 T Ω3 T Ω4 .(Или, что то же самое, Ω = Ω4 Ω3 Ω2 Ω1 .) Матрицы Ωj имеют следующий вид: −ahe0′aΩ1 = eiϕ0,a = ξ(z−, z+ ) , Re a > 0 ;0eh!a′−i′0e hΩ3 = eiϕ0,a′ = |ξ(z+ , z− )| ∈ (0, +∞) ;a′ih0e!−10 α[2][3]πΩ2 = e−i 6;1 iα[3][1]!−10απ[3][1].Ω4 = e−i 61 iα[1][2]Здесь α[j][j+1] имеет асимптотическое разложениеZXαk (t) dt ,α[j][j+1] ∼ exp (−h)kk∈Nγ[j][j+1]62α−1 =√1αk = − √2 q√q ′′5(q ′ )2q′q , α0 = − , α1 = √ −√ ,4q8q q 32q 2 q!k−1X′αk−1+αℓ αk−1−ℓ , q = i cos z − E .ℓ=0Для q в этих формулах выбирается та же ветвь, что и для каноническойпары решений в области K[j] , а контур γ[j][j+1] лежит в K[j] ∪K[j+1] , начинаетсяв K[j+1] там, где Re ξ → +∞, и заканчивается в K[j] там, где Re ξ → −∞.Отметим также, что α[j][j+1] обладают следующими свойствами:α[j][j+1] = 1 + O(h) ,α[1][2] α[2][3] α[3][1] = 1 .Таким образом, для Ω имеем! −a01π′e h 0T−1aΩ = ei(ϕ0 +ϕ0 − 3 )iα[3][1] ×α[2][3]0eh!!′i ah010e−1=×a′iα[1][2]α[3][1]e−i h 0′ !′a−1−hi ahi ahπ′0eiα[1][2] eα[3][1] eaa= ei(ϕ0 +ϕ0 − 3 )=−1a′hhα[2][3] e iα[3][1] e0e−i h′a−h−i ah0eπ′ ,= ei(ϕ0 +ϕ0 − 3 ) ′aa′aaa′−1−1−1i+i−iα[3][1] α[2][3] e h h ie h α[1][2] α[2][3] e h + α[3][1] e hi(ϕ0 +ϕ′0 − π3 )Ω=e′aa−1−1e h +i hα[2][3]α[3][1]0a.a′aa′−1i−iie h α[1][2] α[2][3] e h + α[3][1] e ha′e− h −i hДля этой матрицыi(ϕ0 +ϕ′0 − π3 )tr Ω = ieeah′a−1α[1][2] α[2][3]ei h′−i ah+ α[3][1] e=′′−i ahi ah−1α[1][2] e + α[1][2] e== ie ′′a−i ah −ln α[1][2]i ah +ln α[1][2]i(ϕ0 +ϕ′0 − π3 ) −1= ie=α[2][3] e h e+ei(ϕ0 +ϕ′0 − π3 )a−1ehα[2][3]i(ϕ0 +ϕ′0 − π3 )a−1ehα[2][3]i(ϕ0 +ϕ′0 − π3 )a−1α[2][3]e h 2 cos= ie= ie “ ′“ ′””i ah −i ln α[1][2]−i ah −i ln α[1][2]e=+e63a′− i ln α[1][2]h,⇒−1−1.α[2][3]det Ω = −e2i(ϕ0 +ϕ0 − 3 ) α[3][1]′πa′− i ln α[1][2]hТак как det Ω = 1 + O(h), иah−1e costr Ω = ∓2α[2][3].то условие (20) преобразуется в ′aa−1e h cos∓α[2][3]− i ln α[1][2] = 1 + O(h) .haТак как Re a > 0, то e h растет при h → 0+0 быстрее любой степени h1 , значитиз этого условия следует, что ′acos− i ln α[1][2] = o(h∞ ) .hВ o(h∞ )–окрестности своего нуля z0 функция cos z близка к z − z0 или к−z +z0 , значит в такой окрестности можно найти (единственную) точку, в коaторой косинус принимает значение ∓e− h α[2][3] .
Другими словами, в некоторойo(h∞ )–окрестности любого нуля косинуса условие квантования выполняетсяровно в одной точке. Множество нулей косинуса это ′aπ− i ln α[1][2] = + πZ ,h2с учетом того, что ln α[1][2] = O(h), мы получаем такое условие принадлежности точки E дискретному спектру оператора D:1ImhZz+√i cos z − E dz ∈π+ πZ + O(h) .2(23)z−Замечание 11. Как видно, в окрестностях точек E, для которых выполняется условие1ImhZz+z−√i cos z − E dz ∈π+ πZ ,2лежит ровно по одной точке спектра при достаточно малых h — как только такие окрестности разных точек E, удовлетворяющих указанному условию, перестают пересекаться.Замечание 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
