Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса (1103428), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Последнее означает,что det(M − id2×2 ) = 0. Так как m11 − 1 m12=det(M − id2×2 ) = m21m22 − 1 = (m11 − 1)(m22 − 1) − m12 m21 == m11 m22 − m21 m21 − (m11 + m22 ) + 1 == det M − tr M + 1 ,то мы получаем условие tr M = det M + 1 на матрицу монодромии, эквивалентное условию принадлежности E дискретному спектру оператора D.Замечание 8. Отметим, что не имеет значения в каком направлении — +T или −T сдвигать аргумент на период.
Матрицы, соответствующие этим сдвигам, взаимно обратны. Условие tr M = det M + 1 выполняется или не выполняется для них одновременно, так как условия ψ0T = ψ0и ψ0−T = ψ0 эквивалентны.Для того, чтобы вычислить матрицу монодромии достаточно построитьпару фундаментальных решений ψ1 , ψ2 в некоторой связной области G, включающей в себя одновременно некоторое непустое открытое множество U имножество U + T . Тогда!!!ψ1 (z + T )ψ1T (z)ψ1 (z)==M×,(15)ψ2 (z + T )ψ2T (z)ψ2 (z)при z ∈ U.
Отсюда матрица монодромии находится однозначно. Связностьобласти G нужна для того, чтобы ψj было бы одним и тем же решением наU и на U + T . Это гарантируется непрерывностью ψj на связной области,включающей в себя и U и U + T . Фактически требуется, чтобы область G52содержала нестягиваемый на цилиндре C/T Z путь, что эквивалентно тому,что сама область G нестягиваема на C/T Z.Фундаментальные решения ψ1 и ψ2 будем строить методом ВКБ–приближения (при этом и возникнут асимптотики для h → 0 + 0).
Напомним, чтоZz pξ(z0 , z) =iV (w) − E dw ,z0где в качестве z0 берется одна из точек поворота. Максимальные области однолистности функции ξ, содержащие точку z0 на своей границе и ограниченные линиями Стокса, называются каноническими. В канонической областиканонической парой фундаментальных решений являтся11ψ1 (z) = (iV (z) − E)− 4 e h ξ(z0 , z) (1 + O(h)) ,ψ2 (z) = (iV (z) − E)− 14− h1 ξ(z0 , z)e(16)(1 + O(h)) .Если есть пересекающиеся канонические области K и K ◦ , то в них (16) задаетканонические пары (ψ1 , ψ2 ) и (ψ1◦ , ψ2◦ ).
В пересечении K ∩ K ◦ определены обеэти пары. Так как hψ1 , ψ2 i = L = hψ1◦ , ψ2◦ i, то пара (ψ1◦ , ψ2◦ ) выражается черезпару (ψ1 , ψ2 ) с помощью некоторой невырожденной комплексной матрицы2 × 2. Если обозначить ее Ω(K, K ◦ ) ∈ M2×2 (C), то ◦ ψ1ψ1◦= Ω(K, K ) ×.(17)ψ2ψ2◦Матрица Ω(K, K ◦ ) называется матрицей перехода из K в K ◦ .
Равенство (17)дает возможность продолжить фундаментальную пару решений (ψ1◦ , ψ2◦ ) в область K, так как правая часть этого равенства определена в K. Аналогично, спомощью матрицы перехода Ω(K ◦ , K) = (Ω(K, K ◦ ))−1 фундаментальную пару решений (ψ1 , ψ2 ) можно продолжить в область K ◦ .
Формулы для Ω(K, K ◦ )можно найти, например, в [4] или [13]. В случае, когда K и K ◦ не пересекаются, если есть (конечная) цепочка канонических областей, объединениекоторых является связным и содержит K и K ◦ , можно построить Ω(K, K ◦ )как произведение промежуточных матриц перехода.Если бы области U и U +T вместе включались в некоторую каноническуюобласть, то представления (16) было бы достаточно для вычисления матрицы монодромии M. Однако, в нашем случае, такой канонической области нет,и для того, чтобы построить матрицу M необходимо продолжить решения внекоторую нестягиваемую на C/T Z область G. Для этого воспользуемся матрицами перехода, которые позволяют продолжить пару (ψ1 , ψ2 ) в другие канонические области. Будем делать это до тех пор, пока область определенияпары решений (ψ1 , ψ2 ) не станет нестягиваемой на C/T Z.
Тогда можно будет вычислить матрицу монодромии M, причем она будет выражаться черезматрицы перехода.Пусть в канонической области K выбрана некоторая фундаментальная пара решений (ψ1 (z), ψ2 (z)). Тогда в канонической области K −T автоматически53выбрана фундаментальная пара решений (ψ1T (z), ψ2T (z)), так как комплексныеобласти K и K − T с точки зрения уравнения (4) — это одна и та же область.То есть, если в K задана фундаментальная система решений (ψ1 (z), ψ2 (z)),то в области K − T автоматически задана система (ψ1T (z), ψ2T (z)):ψ1T (z), ψ2T (z) = (ψ1 (z + T ), ψ2 (z + T )) ,z ∈K −T ,(z + T ) ∈ K .С другой стороны, систему решений (ψ1 (z), ψ2 (z)) можно продолжить вобласть K −T (возможно не напрямую, а через другие канонические области)с помощью матрицы перехода Ω (которая будет произведением матриц промежуточных переходов).
Тогда в области K − T будут определены две системырешений (ψ1T (z), ψ2T (z)) и (ψ1 (z), ψ2 (z)). Они будут отличаться друг от другаумножением слева на некоторую матрицу размера 2 × 2. Это — матрица монодромии, так как она, как раз, определяет переход от фундаментальной системы решений (ψ1 (z), ψ2 (z)) к системе (ψ1T (z), ψ2T (z)) = (ψ1 (z + T ), ψ2 (z + T )),то есть, отвечает за сдвиг аргумента на период.Остается только выразить матрицу монодромии M через матрицу перехода Ω. Для того, чтобы не запутаться, будем считать, что во всех последующих формулах z ∈ K, z0 — точка поворота, z0 ∈ ∂K.
Кроме того, обозначим(ψ1 , ψ2 ) — каноническая система решений в области K, (ψ1◦ , ψ2◦ ) — каноническая система решений в K − T , a (ψ1T , ψ2T ) — фундаментальная (но не обязательно каноническая) система решений в K − T , получающаяся из (ψ1 , ψ2 )сдвигом аргумента на период:(ψ1T (z − T ), ψ2T (z − T )) = (ψ1 (z), ψ2 (z)) ,z ∈K.В канонической области K каноническая фундаментальная система решений(ψ1 , ψ2 ) задается так:! 1 ξ(z , z) ψ1 (z)eh 0− 41= (iV (z) − E),z ∈K,1e− h ξ(z0 , z)ψ2 (z)а в канонической области K − T каноническая система решений (ψ1◦ , ψ2◦ ) задается так:! 1 ξ(z −T, z−T ) ψ1◦ (z − T )eh 0− 14= (iV (z −T )−E),(z −T ) ∈ (K −T ) .1e− h ξ(z0 −T, z−T )ψ2◦ (z − T )Так как V периодична с периодом T , то V (z − T ) = V (z).
Кроме того, опятьже по периодичности, ξ(z0 − T, z − T ) = ξ(z0 , z). С учетом этого имеем:! 1 ξ(z , z) ψ1◦ (z − T )eh 0− 41,(z − T ) ∈ (K − T ) . (18)=(iV(z)−E)1e− h ξ(z0 , z)ψ2◦ (z − T )54Теперь распишем (ψ1T , ψ2T ):!Tψ1 (z − T )ψ2T (z − T )=ψ1 (z)ψ2 (z)!= (iV (z) − E)=− 411e h ξ(z0 , z)1e− h ξ(z0 , z),(19)(z − T ) ∈ (K − T ) .Как нетрудно видеть, сравнив (18) и (19), в области K − T каноническаясистема решений (ψ1◦ (z−T ), ψ2◦ (z−T )) совпадает с фундаментальной системой(ψ1T (z − T ), ψ2T (z − T )).Вспоминая выражения (17) и (15) и учитывая, что в канонической областиK − T имеем совпадение (ψ1◦ , ψ2◦ ) = (ψ1T , ψ2T ), получаем, что матрица монодромии выражается через матрицу перехода тривиально: M = Ω.
Отметим, чтохотя эти две матрицы и совпали, их смысл различен. В дальнейшем мы с помощью матриц элементарных переходов (cм. [4]) построим матрицу переходаΩ = Ω(K, K − T ) для различных E. Условие принадлежности E дискретномуспектру оператора D будет выражаться через матрицу перехода Ω так же,как оно выражается через матрицу монодромии:tr Ω = det Ω + 1 .(20)Для матрицы Ω мы получим асимптотическое выражение. Соответственно, и уравнение (20) на нее будет выписано лишь асимптотически. Естественно, возникает вопрос, можно ли утверждать, что асимптотические решенияуравнения (20) приближают точки спектра, то есть точные решения.
Имеем:F (E) = tr M(E) − det M(E) − 1 ,F (E) = G(E) + g(E) , причем g(E) = O(h) , G(E0 ) = 0 .F (E) — аналитическая функция, так как фундаментальные решения ψ1 и ψ2аналитичны по параметру E (это следует из теоремы Пуанкаре о разложении), а от того как выбирать базис решений при разных E, F (E) не зависит.Функция G(E) будет аналитичной по построению, значит g(E) также аналитична. Тогда, G(E) ∼ c(E−E0 ) в окрестности точки E0 при некотором ненулевом c = const 6= 0. Значит, при достаточно малом h, можно выбрать окрестность Ur (E0 ) радиуса r = c−1 O(h), так что |cr| ∼ |G(E)| > |g(E)| = O(h)на ∂Ur (E0 ). Таким образом, имеем: G(E), g(E) аналитические на замыканииUr (E0 ), |G(E)| > |g(E)| на ∂Ur (E0 ). Отсюда, по теореме Руше, у функцииF (E) в Ur (E0 ) столько же нулей (с учетом кратности), сколько у G(E).Замечание 9.
При любом h > 0, на произвольном компакте в C имеется лишь конечное число точек спектра оператора D. Действительно, точки спектра являются нулями аналитической функции F (E). Она не равнанулю тождественно, иначе она была бы определена и равна нулю вне полуполосы числового образа оператора D, то есть существовали бы точки55спектра, не лежащие в числовом образе. А так как аналитическая и не равная тождественно нулю функция может обращаться в ноль лишь конечноечисло раз на произвольном компакте, то и точек спектра на нем можетбыть лишь конечное число.3.7. Матрицы переходаВ этом пункте мы будем полагать, что Im z+ ∈ [0, π], это соответсвуетслучаю Im E > 0 на E–плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
