Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса (1103428)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский государственный университетимени М. В. ЛомоносоваМеханико–математический факультетНа правах рукописиУДК 517.984.55, 514.84Гальцев Сергей ВалерьевичКомплексные лагранжевы многообразия и аналоги линийСтокса01.01.04 — геометрия и топологияДиссертацияна соискание ученой степеникандидата физико–математических наукНаучный руководитель:доктор физико–математических наук, профессорШафаревич Андрей ИгоревичМосква, 2008Содержание.Введение1.1 Несамосопряженные операторы1.2 Актуальность темы1.3 Уравнение на торе1.4 Постановка задачи и формулировка результата1.5 Апробация диссертации1.6 Краткое содержание работы1.7 БлагодарностьПсевдоспектр2.1 Определение и основные свойства2.2 Псевдоспектр плотен в числовом образе22.3 Псевдоспектр −h2 ddx2 + iV (x)Асимптотика спектра3.1 План нахождения спектра в частном случае iV (z) = i cos(z)3.2 Точки поворота3.3 Вспомогательные утверждения3.4 Линии Стокса3.5 Реализуемость топологических случаев3.6 Матрица монодромии и условие на спектр3.7 Матрицы перехода3.8 Асимптотика спектра3.9 Спектральный графЛитература233457111117191921262727283238455156677273Введение.1.1.

Несамосопряженные операторыРяд вопросов, естественно возникающих в спектральной теории дифференциальных операторов, приводит к исследованию спектра оператора2dD = −h2dx2+ iV (x) ,(1)где V (x) — периодичная целая аналитическая функция, действительная надействительной оси, с вещественным периодом T , а h > 0 — малый параметр.В частности, (1) возникает как “эталонный” оператор в теории гидродинамической устойчивости: его спектр при определенных условиях похож на спектроператора Орра–Зоммерфельда. Другой пример — спектральная задача дляоператора ε∆ + (v(x), ∇) на плоском торе (здесь x = (x1 , x2 ) ∈ T2 ).

Если∂v(x) — бездивергентное поле вида v(x1 , x2 ) = w(x1 ) ∂x, спектральная задача2допускает разделение переменных: собственная функция ϕ(x1 , x2 ) имеет видeimx2 ψ(x1 ), причем ψ удовлетворяет спектральной задаче для оператора (1)при V (x1 ) = mw(x1 ) и ε = h2 .Спектральная теория несамосопряженных операторов, сравнительно с самосопряженным случаем, разработана значительно менее полно; как структура спектра, так и свойства спектрального разложения могут в этом случаебыть весьма экзотическими, что чрезвычайно затрудняет развитие общей теории (см., например, [1]). В то же время, ряд важных задач, возникающих вразличных областях математики, механики и физики, приводит к изучениюспектров несамосопряженных операторов. Приведем несколько популярныхпримеров.1.

Оператор диффузии со сносом ε∆ + ∂v , где ∆ — оператор Лапласа–Бельтрами, ∂v — производная вдоль гладкого векторного поля v на римановом многообразии (ε > 0 — коэффициент диффузии), возникающий какв механике сплошных сред и кинетической теории, так и в задачах теориислучайных процессов.f, действующий на магнитное поле H2. Оператор магнитной индукции Mв проводящей жидкости с полем скоростей v (H, v — векторные поля в R3 ):fH = {v, H} − ε∆H,Mгде {·, ·} — коммутатор векторных полей, ε > 0 — проводимость.

Исследование поведения спектра этого оператора при ε → 0 связано с известнойпроблемой магнитного динамо (см., например, [5]).33. Операторный пучок Орра–Зоммерфельда Q, возникающий в теориигидродинамической устойчивости (см., например, [21]); операторы этого пучка действуют на функцию u(x) по правилу 22 2ddQu = iε− p2 u + p (v(x) − ω)− p2 − v ′′ (x) u,dx2dx2где v(x) — гладкая функция (невозмущенный профиль скорости), p — волновое число возмущения, ω — частота (спектральный параметр), ε — коэффициент вязкости (ε−1 — число Рейнольдса).1.2. Актуальность темыОтметим, что во всех приведенных примерах присутствует параметр ε, который во многих типичных ситуациях бывает малым; тем самым, естественный вопрос состоит в изучении предельного поведения спектра при ε → 0.Для самосопряженных задач такие пределы изучаются в теории квазиклассических асимптотик (см., например, [7, 6]); в этой теории асимптотическиесобственные числа и собственные функции связываются с инвариантнымиизотропными многообразиями соответствующих классических гамильтоновых систем (как правило, определенных в R2n или в кокасательном расслоении к риманову многообразию).

Собственные числа вычисляются из условийквантования Бора–Зоммерфельда–МасловаZ1(p, dx) = m(β) + l(β),2πε βгде β — произвольный цикл на изотропном многообразии, (p, x) — канонические координаты в фазовом пространстве, m ∈ Z, l — числовая характеристика циклов, которая определяется по-разному в различных ситуациях; вчастности, если изотропное многообразие лагранжево, l равно четверти от индекса Маслова. Асимптотические собственные функции строятся при помощи(вещественного или комплексного) канонического оператора Маслова; отметим, что они не обязательно приближают настоящие собственные функцииисходной задачи, а лишь удовлетворяют с нужной точностью спектральномууравнению.

В то же время, самосопряженность исходного оператора гарантирует наличие в его спектре точек, близких к асимптотическим собственнымчислам (решениям уравнений Бора–Зоммерфельда–Маслова).Относительно квазиклассических асимптотик спектров несамосопряженных операторов известно гораздо меньше. В частности, в работах [20, 3]построены спектральные серии оператора −ε∆ + ∂v , связанные с асимптотически устойчивыми положениями равновесия, предельными циклами илиинвариантными торами векторного поля v.

(Спектральные серии, вообще говоря, определяют точки псевдоспектра, см. [26, 19]; в то же время, асимптотическая устойчивость соответствующих инвариантных множеств указываетна то, что, вероятно, эти серии приближают точные собственные числа —в явно решаемых примерах это действительно так.) В [8, 10, 15, 11, 13]4исследовался спектр одномерного оператора Шредингера и задачи Орра–Зоммерфельда на отрезке (отметим, что ряд утверждений об условиях квантования содержался еще в работе [2]). В этих работах, основанных на техникеВКБ–асимптотики (см., например, [14, 4]) было обнаружено, что в квазиклассическом пределе спектр стягивается к некоторому графу на комплексной плоскости (так называемому спектральному графу), причем ребра этогографа задаются геометрическими условиями на линии Стокса (одна из этихлиний должна проходить через конец отрезка, на котором рассматривается уравнение).

В работах [18, 19, 22] исследовался так называемый псевдоспектр — множество, состоящее из чисел, приближенно удовлетворяющихспектральному уравнению; в частности, отмечалось различие между псевдоспектром и асимптотикой точного спектра.В настоящей работе исследуется спектр и псевдоспектр одномерного оператора Шредингера на окружности с комплексным (чисто мнимым) потенциалом, заданного формулой (1). Оказывается, точки спектра в квазиклассическом пределе могут быть вычислены из условий Бора–Зоммерфельда–Маслова, отвечающих римановой поверхности уровня энергии; однако, в отличиеот самосопряженного случая, достаточно требовать выполнения этих условий хотя бы на одном из базисных циклов этой поверхности, причем разныециклы дают в спектр вклад, соответствующий разным ребрам спектральногографа.

Как и в [2, 8, 10, 15, 11, 13], спектральный граф связан с топологиейграфа Стокса; именно, ребра спектрального графа соответствуют перестройкам графа Стокса. Отметим, что, в силу периодичности задачи, таких перестроек счетное число; оказывается однако, что в действительности ребрамспектрального графа отвечает лишь несколько из них.Для одномерного оператора Шредингера на окружности с чисто мнимыманалитическим потенциалом показано, что при h → 0+0 его hN –псевдоспектрдля любого N заполняет полуполосу на комплексной плоскости, в то времякак настоящий спектр mod O(h2 ) концентрируется вблизи одномерного множества (графа).

Ребра этого графа соответствуют различным спектральнымсериям, которые могут быть вычислены при помощи условий Бора–Зоммерфельда–Маслова на комплексной кривой (римановой поверхности); в отличиеот самосопряженного случая разные циклы на одной и той же поверхностиопределяют разные серии (другими словами, для конструкции асимптотики достаточно требовать выполнения условий квантования только на одномцикле).1.3. Уравнение на тореРассмотрим дифференциальное выражениеDT2 = −ε2 ∆ + (v, ∇)(2)заданное на торе T2 = (R/T1 Z) × (R/T2 Z) = R2 /(T1 , T2 )Z, {T1 , T2 } ⊂ (0, +∞),с координатами (x, y).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации