Диссертация (1103402), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Кривая 1 – V1 c ; кривая 2 – V2 c . Для удобства вычислений на графикепредставлены зависимости от параметра плотности плазмы x   p r1 c .На Рис. 2.3.2-2.3.3 показаны фазовые скорости большей толщиныплазменного цилиндра. С увеличением толщины плазменного слоя меняетсяхарактер поведения второй фазовой скорости.1,0V/c1,0 V/c22110,50,5015 x= r /cp 13045015x=pr1 /c 3045Рис. 2.3.1.

Фазовые скорости коаксиальногоплазменного волновода при  p  0.1 см. 1 –Рис. 2.3.2. Фазовые скорости коаксиальногоплазменного волновода при  p  0.5 см. 1 –V1 c ; 2 – V2 c .V1 c ; 2 – V2 c .561,02V/c10,5015x=pr1 /c3045Рис. 2.3.3. Фазовые скорости коаксиального плазменного волновода при  p  0.7 см: 1 –V1 c ; 2 – V2 c .§ 2.4. Использование метода эффективных граничных условий в теорииповерхностных волн тонкой трубчатой плазмы в коаксиальном волноводе в отсутствие внешнего магнитного поляРассмотрим приближение бесконечно тонкой плазмы, такой что p  rp , где rp - радиус плазменной трубки,  p - толщина. Как и в случаеплазмы конечной толщины будем исследовать две поверхностные плазменные волны: высокочастотную и низкочастотную.

Для данного случая будемиспользовать метод эффективных граничных условий, который был описан вГлаве I.Для низкочастотной поверхностной плазменной волны при нулевоммагнитном поле граничные условия совпадают с граничными условиями дляслучая бесконечно сильного магнитного поля [115], а именно: E z ( R1 )  E z ( R2 )  0, p2 dE z2(rp )   p  0 2 E z (rp ), d r{E (r )}  0. z p(2.4.1)57Решение уравнения для случая бесконечно тонкой плазмы имеет вид A I 0 (  0 r )  B K 0 (  0 r ), R1  r  rp ,E z (r )  C I 0 (  0 r )  D K 0 (  0 r ), rp  r  R2 .(2.4.2)Подставляя решение (2.4.2) в граничные условия (2.4.1), получим следующеедисперсионное уравнение:D (, k z )  1   p rp  02 p2G (r )  0 ,2 p p(2.4.3)где введено обозначение для геометрического фактора плазмы G p ( rp ) :G p ( rp )  I l2 (  0 rp )M ( R1 , rp ) M ( rp , R2 ).M ( R1 , R2 )(2.4.4)В соотношении (2.4.4) параметр M ( r, R ) расписывается также как в Главе I(см.

(1.4.10)).Уравнение (2.4.3) описывает низкочастотную плазменную волну снормальной дисперсией. Стоит отметить, что уравнение (2.4.3) совпадает сдисперсионным уравнением (1.4.9) низкочастотной плазменной волны в условиях бесконечно сильного магнитного поля.Структура поля низкочастотной поверхностной волны определяетсяформулами: M ( r, R1 ) I 0 (  0 r ), R1  r  rp ,E z ( r )   M ( rp , R1 ) M ( R2 , r )I 0 (  0 r ), rp  r  R2 .M ( R2 , rp )Выражения дляEz (r )иEr (r ) ,(2.4.5)которые вычисляются по формулеEr  (ik z  2 ) (dEz dr ) , в длинноволновом пределе k z R2  1 при l  0 , выглядятследующим образом:1 ln( R1 r ) 1 ln( R r ) , R1  r  rp , r ln( R r ) , R1  r  rp ,1p1pEz  Er  .ln(rR)112, r p  r  R2 ., rp  r  R2 , ln( rp R2 ) r ln( rp R2 )(2.4.6)Уравнение (2.4.3) в длинноволновом пределе записывается в виде:2 k z2 c 2,1  k 2 p c 2  p2(2.4.7)581где k2p rp p ln( rp R1 ) ln( R2 rp )  .ln( R2 R1 )Формула для спектра низкочастотной волны (2.4.7) совпадает с первойформулой (2.3.10), если принять r2  r1 и r2  r1   p .

Отметим, что параметрk 2 p совпадает с q 2 из (1.4.11), т.е. спектр низкочастотной плазменной волныне зависит от величины внешнего магнитного поля.Структура компонент поля низкочастотной плазменной волны представлена на Рис. 2.4.1. Компонента поля E z остается непрерывной, т.е. скачкане претерпевает, компонента поля Er имеет разрыв.0,5Ez, Er, отн.ед.0,5Ez, Er, отн.ед.210,01,01,52,02,50,01,03,0r, см1,52,02,53,0 r, см21-0,5Рис. 2.4.1. Структура поля низкочастотнойволны.

1 – E z ; 2 - Er .-0,5Рис. 2.4.2.Структура поля высокочастотнойволны: 1 – E z ; 2 - Er .Для высокочастотной волны граничные условия имеют следующийвид: dE z dr (rp )  0, p2 dE z(rp ),{E z (rp )}   p 2dr0 E z ( R1 )  E z ( R2 )  0.(2.4.8)Так как плазма в этом случае ведет себя как двойной слой, т.е. плазма в отсутствие внешнего магнитного поля поляризуется за счет поперечного движения электронов. Поверхностные заряды противоположных знаков в этомслучае формируются на границах плазменной трубки, и возмущения в объе59ме плазмы не происходит [115].

Это означает, что компонента поля E z терпитразрыв, что отражено в граничных условиях.Для нахождения дисперсионного уравнения, описывающего поведениевысокочастотной поверхностной плазменной волны, подставим решение(2.4.2) в граничные условия (2.4.8), в результате получим: p2D (, k z )  1   p rpG (r )  0 , E p(2.4.9)гдеGE (rp )  I12 (  0 rp )M (rp , R2 ) M (rp , R1 )M ( R1 , R2 ).(2.4.10)В (2.4.10) введено обозначениеM (r , R) K1 (  0 r ) K 0 (  0 R).I 1 (  0 r ) I 0 (  0 R)(2.4.11)Структура поля для высокочастотной волны в случае нулевого магнитногополя выражается следующей формулой: M ( r, R1 ) I 0 (  0 r ), R1  r  rp ,E z ( r )   M ( rp , R1 ) M ( r, R2 )I 0 (  0 r ), rp  r  R2 .M ( rp , R2 )Выражения дляEz (r )иEr (r ) ,(2.4.12)которые вычисляются по формулеEr  (ik z  2 ) (dEz dr ) , в длинноволновом пределе k z R2  1 при l  0 , выглядятследующим образом:ln( R1 r ), R1  r  rp ,E z   (1 rp2 )  ln( R1 2) (1 r 2 )  ln( R 2) ln( R2 r ), rp  r  R2 ,p2 1 r , R1  r  rp ,Er  (1 rp2 )  ln( R1 2) 1, rp  r  R2 . r (1 rp2 )  ln( R2 2)(2.4.12а)В длинноволновом пределе уравнение (2.4.9) принимает вид1p .  k c 1 rln(RR)p2122 2z(2.4.13)60Формула для спектра высокочастотной волны (2.4.13) совпадает со второйформулой (2.3.10), если принять r2  r1 и r2  r1   p .На Рис .2.4.2 представлена структура поля высокочастотной волны,вычисленная по формуле (2.4.12).

В случае высокочастотной плазменнойволны компонента поля E z терпит разрыв, а компонента Er остается непрерывной.30321'20 10 рад с-12'1011005-1kz см10Рис. 2.4.3. Дисперсионные кривые поверхностных плазменных волн коаксиального волновода с незамагниченной тонкой трубчатой плазмой, полученные путем решения точногоуравнения (1, 2) и уравнения для приближения бесконечно тонкой плазмы (1’, 2’).На Рис. 2.4.3 показаны дисперсионные кривые, полученные путем решения точного дисперсионного уравнения (2.1.8) и приближенных дисперсионных уравнений (2.4.3), (2.4.9), для значения плазменной частоты p  35  1010 рад·с-1, радиусов волновода R1  0.5 см, R2  2 см, радиуса плазмыrp  1 см,и толщины плазмы  p  0.1 см. Кривая 1 – это низкочастотная плаз-менная поверхностная волна, полученная путем решения точного дисперсионного уравнения (2.1.8).

Кривая 1’ – это соответственно низкочастотнаяплазменная волна, полученная из дисперсионного уравнения (2.4.3), относящегося к приближению бесконечно тонкой плазмы. Кривая 2 – это высокочастотная волна плазменная поверхностная волна, полученная путем реше61ния точного дисперсионного уравнения (2.1.8). Кривая 2’ получена путемрешения дисперсионного уравнения (2.4.9) для приближения бесконечнотонкой плазмы. Прямая 3 -   k z c .Из Рис. 2.4.3 видно, что при стремлении волнового числа к бесконечности k z   кривые стремятся к частоте  p2 . Стоит отметить хорошее сов-падение результатов численного исследования точного и приближенногодисперсионных уравнений.62Глава 3. Коаксиальный плазменный волновод в конечном внешнеммагнитном поле§ 3.1. Дисперсионное уравнение и структура электромагнитного полядля коаксиального волновода с однородным плазменным заполнениемРассмотрим коаксиальный волновод с внутренним радиусом R1 ивнешним радиусом R2 с однородным плазменным заполнением в конечномвнешнем магнитном поле.

Магнитное поле считаем направленным вдоль осиволновода Z. Тензор диэлектрической проницаемости магнитоактивнойплазмы зададим в виде (ионы плазмы считаем неподвижными) [99]i j   ig   ig   0000 , i, j  r,  , z , || (3.1.1)где,    1   p2 ( 2  e2 ) , g   p2 e ( 2  e2 ) , ||  1   p2  2 , а  e - электроннаяциклотронная частота. Из уравнений Максвелла с тензором (3.1.1) можно показать, что продольные компоненты электромагнитного поля E z , Bz плазменного волновода выражаются через вспомогательные функции  E (r ) и  B (r )при помощи формулEz 12E ,Bz 12B ,(3.1.2)где  2  k z2     2 c 2 ,    4  g 2  4 c 4 . Сами функции  E (r ) и  B (r ) определяются из следующих уравнений: 2 g 2  2  ˆ2 g ˆ2  k    | |  E  ik zk  B ,2   E c c  2 kˆ2 B    B  ik z gkˆ2 E .(3.1.3)cЗдесь kˆ2  (1 r ) d dr (r d dr )  l 2 r 2 - поперечная часть оператора Лапласа в цилиндрических координатах (со знаком минус), а l - азимутальное волновое63число.

Остальные компоненты электромагнитного поля вычисляются поформулам:E r  ik zE  id E  l  2 d B2 lB gigkE ,zdrc rc c 2  2 drc2 2 r d Bl 2 d E 2 l k z  E  gk z 2 2 igB ,c drrc c2 2 rc  drd B  g2 2  l k z2 d E2 lBr  ik z   1 E  g igk z 2 2  B ,drc    c 2  2  rc  2 drc  rB  i g 2  2  d El 2 d B k z2 l1 kgkigE .zBz 2 2c    c 2  2  drrc  drc 2 r(3.1.4)В дальнейшем для простоты мы ограничимся рассмотрением азимутальносимметричного случая l  0 .Известно [99], что общее решение системы уравнений (3.1.3) имеет вид E  A  J 0 (k1r )  B  N 0 (k1r )  C  J 0 (k 2 r )  D  N 0 (k 2 r ) , B  1icA  J 0 (k1r )  B  N 0 (k1r )   2 ic C  J 0 (k2 r )  D  N 0 (k2 r ) , kz g kz g(3.1.5)где1, 2   | |  2    k12, 2 ,2k1, 2 2221 22 22  2 gg4gkIIIIIIz 2  c2c2 c2.(3.1.6)Уравнения (3.1.3) следует дополнить следующими граничными условиями:E z ( R1, 2 )  0, E ( R1, 2 )  0 .(3.1.7)Для получения дисперсионного уравнения, определяющего частотыэлектромагнитных волн коаксиального плазменного волновода, решение(3.1.5) следует подставить в граничные условия (3.1.7) и исключить постоянные A, B, C и D .

Характеристики

Список файлов диссертации