Диссертация (1103402), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Из этих формул следует важный вывод оструктуре электромагнитного поля. Волны, частоты которых удовлетворяютнеравенству  2  k z2 c 2 , являются поверхностными, как в плазме, так и вакуумных областяхволновода. Если частотыудовлетворяют неравенствуk z2 c 2   2  k z2 c 2   p2 , то волны являются поверхностными только в плазме, а ввакуумных областях они объемные. При  2  k z2c 2   p2 волны являются объемными во всех областях волновода.Рассмотрим некоторые частные случаи дисперсионного уравнения(2.1.8). При полном заполнении коаксиального волновода плазмой r1  R1 иr2  R2 дисперсионное уравнение (2.1.8) принимает вид:D(, k z )  J 0 (i p R1 ) N 0 (i p R2 )  J 0 (i p R2 ) N 0 (i p R1 )  0.(2.1.11)Задача для коаксиального волновода с частичным плазменным заполнениемимеет две подзадачи: первая - r1  R1 дисперсионное уравнение имеет видD( , k z ) I 0 (  p R1 )K 0 (  p R1 )qI1 (  p r2 )  P2 I 0 (  p r2 )qK1 (  p r2 )  P2 K 0 (  p r2 ) 0,и вторая - r2  R2 дисперсионное уравнение оказывается следующим:49(2.1.12)D( , k z ) qI1 (  p r1 )  P1 I 0 (  p r1 )qK1 (  p r1 )  P1 K 0 (  p r1 )I 0 (  p R2 )K 0 (  p R2 ) 0.(2.1.13)Для коаксиального волновода со свободной R2   поверхностью получаемD(, k z ) qI 1 (  p r1 )  P1 I 0 (  p r1 )qK1 (  p r1 )  P1 K 0 (  p r1 )qI 1 (  p r2 ) K 0 (  0 r2 )  K1 (  0 r2 ) I 0 (  p r2 )qK1 (  p r2 ) K 0 (  0 r2 )  K1 (  0 r2 ) K 0 (  p r2 ) 0.(2.1.14)Аналогично выводится дисперсионное уравнение для плазменного цилиндрасо свободной поверхностью r1  R1 и R2  D(, k z ) I 0 (  p R1 )K 0 (  p R1 )qI 1 (  p r2 ) K 0 (  0 r2 )  K1 (  0 r2 ) I 0 (  p r2 )qK1 (  p r2 ) K 0 (  0 r2 )  K1 (  0 r2 ) K 0 (  p r2 ) 0.(2.1.15)Дисперсионные уравнения (2.1.11)-(2.1.15) охватывают наиболее частовстречающиеся варианты заполнения волноводов плазмой.§ 2.2.

Результаты численного исследования спектров частот коаксиального плазменного волновода в отсутствие внешнего магнитного поляПерейдем к численному решению уравнения (2.1.8). Параметры плазменного волновода выберем близкими к используемым в экспериментах [65,66, 83, 85]: R1  0.5 см, R2  2 см, r1  0.95 см и r2  1.05 см. На Рис. 2.2.1 представленыдисперсионныекривыедлязначенияплазменнойчастоты p  20  1010 рад·с-1 и вышеназванных радиусов плазменной трубки. Пунктир-ные линии 3 и 4 - это    p / 2 и   k z c , пунктирная кривая 5    p2  k z2 c 2 .

Кривые 1 и 2 – дисперсионные кривые низкочастотной и вы-сокочастотной поверхностных плазменных волн. Кривые 1’-5’ – дисперсионные кривые высокочастотных электромагнитных волн. Дисперсионные кривые поверхностных волн 1, 2 при k z   выходят на линию    p / 2 . Электромагнитные волны 1’, 2’ и 3’ являются объемно-поверхностными волнами,волны 4’, 5’ чисто объемные, а у волны 3’ поле в плазме близко к некоторойконстанте, что следует рассматривать как случайное явление.505'302' 1'3'4' 520 10 рад с-1410231100510-1kz смРис. 2.2.1.

Дисперсионные кривые плазменного волновода в отсутствие внешнего магнитного поля,  p  20  1010 рад с-1.5'4'3'2' 51'2010 10 рад с-13010423015-110kz смРис. 2.2.2. Дисперсионные кривые плазменного волновода в отсутствие внешнего магнитного поля,  p  51010 рад с-1.Стоит отметить, что высокочастотная поверхностная плазменная ветвьв коаксиальном волноводе отличается от аналогичной ветви обычного цилиндрического волновода. В коаксиальном волноводе высокочастотная поверхностная плазменная ветвь начинается из нуля (имеет нулевую частотуотсечки), что обусловлено наличием внутреннего цилиндра коаксиала. Высо51кочастотная плазменная поверхностная ветвь может представлять интересдля применения в плазменной релятивистской СВЧ-электронике, так как наоснове возбуждения данной ветви могут быть сконструированы плазменныегенераторы, работающие в режиме лампы обратной волны.

В настоящее время реализованы только генераторы, работающие в режиме лампы бегущейволны.Дисперсионные кривые коаксиального плазменного волновода с тонкой трубчатой плазмой при меньшей плазменной частоте  p  51010 рад·с-1показаны на Рис. 2.2.2. Видно, что в случае малой плазменной частоты только одна дисперсионная кривая 1’ электромагнитной волны лежит ниже кривой    p2  k z2 c 2 , поэтому только эта волна является объемно поверхностной волной. Дисперсионные кривые поверхностных плазменных волн заметнее выходят на прямую    p / 2 , причем высокочастотная поверхностнаяволна в коротковолновой области имеет явные признаки аномальной дисперсии ( d dk z  0 ).На Рис. 2.2.3, 2.2.4 построены дисперсионные кривые поверхностныхплазменных волн для большего диапазона значений компоненты волновоговектора k z , значения плазменных частот и радиусов волновода и плазменнойтрубки такие же, как на Рис.

2.2.1 и Рис. 2.2.2. Далее Рис. 2.2.3 соответствуетчастоте  p  20  1010 рад·с-1, Рис. 2.2.4 -  p  51010 рад·с-1. Кривая 2 – дисперсионная кривая высокочастотной плазменной поверхностной волны имеетявно выраженную аномальную дисперсию, дисперсионная кривая низкочастотной поверхностной волны (кривая 1) имеет нормальную дисперсию. Прямая 4 -   k z c . Аномальная дисперсия высокочастотной поверхностной волны появляется при выполнении неравенстваpp(r2  r1 )  1 ,c pc(2.2.1)при выполнении обратного неравенства аномальная дисперсия не проявляется.521020 10 рад с-141036 10 рад с-14 315214211025010kz см-120300Рис.

2.2.3. Дисперсионные кривые поверхностных волн коаксиального плазменноговолновода без внешнего магнитного поля p  20  1010 рад·с-1.1025 10 рад с10-12030Рис. 2.2.4. Дисперсионные кривые поверхностных волн коаксиального плазменноговолновода без внешнего магнитного поля, p  51010 рад·с-1.-1104kz см25320 10 рад с-1432021515211101055010kz см-12030Рис. 2.2.5. Дисперсионные кривые поверхностных волн коаксиального плазменноговолновода без внешнего магнитного поляпри  p  0.4 см,  p  20  1010 рад·с-1.010kz см-12030Рис. 2.2.6. Дисперсионные кривые поверхностных волн коаксиального плазменноговолновода без внешнего магнитного поляпри  p  0.8 см,  p  20  1010 рад·с-1.Параметры плазмы, используемые при построении Рис.

2.2.1-2.2.4удовлетворяют неравенству (2.2.1), то есть одна из поверхностных плазменных волн действительно имеет в коротковолновой области явно выраженнуюаномальную дисперсию. Кроме этого на Рис. 2.2.3-2.2.4 оставлена прямая 3   k z u , чтобы можно было представить местоположение волн плотности за-ряда пучка. Однако сразу отметим, что в случае нулевого магнитного поляэлектронный пучок будет «выталкиваться» на стенки волновода и поэтому вГлаве 2 не будут вводиться понятия предельных вакуумных токов, как этобыло сделано в §1.6 Главы 1.53На Рис. 2.2.5, 2.2.6 построены дисперсионные кривые поверхностныхплазменных волн для плазмы большей толщины:  p  0.4 см ( r1  0.8 см,r2  1.2 см) и  p  0.8 см ( r1  0.6 см, r2  1.4 см).

Обозначения соответствуютРис. 2.2.3 и Рис. 2.2.4. Видно, что аномальная дисперсия высокочастотнойповерхностной плазменной волны исчезла, что связано с нарушением неравенства (2.2.1).§ 2.3. Длинноволновое приближениеПерейдем к аналитическому решению дисперсионного уравнения(2.1.8) в длинноволновом пределе. Интерес представляют фазовые скоростидлинноволновых поверхностных плазменных волн. Вследствие этого считаем, что выполнены условияk z  0,   0,  k z  v  Const .(2.3.1.)При таких условиях величины P1 , P2 из (2.1.9) преобразуются как:P1 11 ~P1 , 0 r1 ln( r1 / R1 )  0P2 11 ~P2 . 0 r2 ln( R2 / r2 )  0(2.3.2)Исходное уравнение (2.1.8) можно переписать следующим образом:~~q~I 1 (  p r1 )  P1 I 0 (  p r1 )q~I 1 (  p r2 )  P2 I 0 (  p r2 ) 0.~~q~K (  r )  P K (  r ) q~K (  r )  P K (  r )1p 110p 11p 220(2.3.3)p 2В (2.3.3) q~ следующая величина:2q~   0 .(2.3.4)pРешение квадратного уравнения (2.3.3) относительно величины q~ выражается громоздкими формулами.

Для упрощения рассмотрим частные случаи.В случае плазмы малой плотности, когда выполняется неравенствоpcr1, 2  1,(2.3.5)выражения для спектров низкочастотной 1 и высокочастотной  поверхно254стных плазменных волн принимают вид1ln r1 R1  ln R2 r2 ln R2 R1  ln r2 r1c2  k c 1  2 2 2,  22  k z2 c 2.2lnrRlnRrlnRR(rr)112221p21212z2(2.3.6)Обратим внимание, что спектр 2 не зависит от плотности плазмы, что является следствием неравенств (2.3.5). То есть спектр 2 фактически являетсяспектром вакуумной кабельной волны коаксиального волновода.При большой плотности плазмы, когда выполнено неравенство, обратное (2.3.5) формулы для q~ приобретают вид1c r1 ln r1 R1  r2 ln R2 r212  k z2 c 2 1 tanh 1[ p (r2  r1 ) c]  ,  p r1r2 ln r1 R1 ln R2 r21c1 22  k z2 c 2 1 tanh[  p (r2  r1 ) c]  .  p r1 ln r1 R1  r2 ln R2 r2(2.3.7)Выражение (2.3.7) рассмотрим в двух предельных случаях.

Первый – соответствует плазме большой толщины, в этом случае выполняется неравенство:pc(r2  r1 )  1,(2.3.8)и формулы (2.3.7) преобразуются к виду:1c r1 ln r1 R1  r2 ln R2 r2   k c 1 ,rrlnrRlnRrp121122212 2z(2.3.9)1c1 . 22  k z2 c 2 1 rlnrRrlnRrp111222В противоположном пределе тонкой плазмы, когда выполняется неравенствопротивоположное (2.3.8) (и одновременно неравенства противоположные(2.3.5)), формулы (2.3.7) принимают вид1r1 ln r1 R1  r2 ln R2 r2 c2  k c 1  2,  (r2  r1 )r1r2 ln r1 R1 ln R2 r2 p22z2 2  k z2 c 2 1 1r2  r1 .r1 ln r1 R1  r2 ln R2 r2 55(2.3.10)Численноерешениеуравнения(2.3.3)дляфазовыхскоростей( V c   k z c ) представлено на Рис. 2.3.1-2.3.3.

Для расчета используем следующие значения толщины плазменного цилиндра:Вариант 1.  p  0.1 см, rp1  0.95 см, rp 2  1.05 см.Вариант 2.  p  0.5 см, rp1  1 см, rp 2  1.5 см.Вариант 3.  p  0.7 см. rp1  0.8 см, rp 2  1.5 см.На Рис. 2.3.1 показаны фазовые скорости для случая  p  0.1 см в зависимости от плазменной частоты. Результаты, полученные в ходе численногорешения уравнений (2.3.3) полностью совпадают с формулами (2.3.6) и(2.3.7).

Характеристики

Список файлов диссертации