Диссертация (1103402), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Второе условие (1.6.6) получается из первого уравнения системы (1.6.2) интегрированием по окрестности точки r  rb . Они соответствуют второму и третьему граничным условиям системы (1.5.2). Подставляя выражения (1.6.5) в условия сшивки (1.6.6) и определяя постоянныеC1, 2 ,вычисляем потенциал электрического поля в точке нахождения элек-тронного пучка  (rb )  4 Gen  b rb , G ln rb R1  ln R2 rb,ln R2 R1(1.6.7)где G - геометрический фактор тонкого трубчатого электронного пучка в коаксиальном волноводе.Выразим далее из второго уравнения системы (1.6.2) величину n и подставим ее вместе с (1.6.7) в третье уравнение. В результате получим:I 0   2GIb I 0 , 2  1(1.6.8)где    ~( z  ) - релятивистский фактор электрона на бесконечности, аI b  2 rb  b n0bu - ток тонкого трубчатого пучка. Для получения соотношения43(1.6.8) скорость  ( z  ) была выражена через   .

Как видно из (1.6.8), токпучка зависит от релятивистского фактора электронов на бесконечности (илиэнергия mc2  электронов прошедших в камеру дрейфа зависит от тока инжекции). Выражая из (1.6.8) ток пучка I b имеемIb  I01 1  (    )  2  1 .2G(1.6.9)Максимизируя (1.6.9) по   , получаем окончательно следующее выражениедля предельного вакуумного тока тонкого трубчатого электронного пучка вкоаксиальной дрейфовой камере:I b0  I 0( 2 3  1) 3 2 ln R2 R1( 2 3  1) 3 2 I0.2G2 ln rb R1  ln R2 rb(1.6.10)Максимум тока (1.6.9) достигается при     1 3 . Следовательно, если токпучка равен току (1.6.10), то энергия электронов в камере дрейфа далеко отплоскости инжекции есть mc 2 1 3 .

В плоскости инжекции энергия была mc 2 .Рассмотрим теперь кратко метод разложения по собственным функциямпоперечного сечения камеры дрейфа. Этот метод полезен тем, что в принципе может быть обобщен на случай двухсвязного поперечного сечения дрейфовой камеры произвольной формы [55]. Известно, что собственные функции краевой задачи1  r k n2  0 , R1  r  R2r r r ( R1 )   ( R2 )  0(1.6.11)определяются формулой n (r )  J 0 (k n r ) J 0 (k n R1 )N 0 (k n r ) ,N 0 (k n R1 )(1.6.12)где n  1,2,... , а J 0 ( x) и N 0 ( x) - функции Бесселя и Неймана нулевого порядка.Собственные значения задачи (1.6.11) k n2 определяются корнями следующегоуравнения:J 0 (kn R1 ) N 0 (kn R2 )  J 0 (kn R2 ) N 0 (kn R1 )  0 .(1.6.13)Разложим потенциал  (r ) в ряд по собственным функциям (1.6.12).

Коэф44фициенты разложения с учетом ортогональности собственных функций определяются из первого уравнения системы (1.6.2) (при  z  0 ). В результатеполучается выражение (1.6.7), в котором геометрический фактор пучка Gпредставлен в виде следующего ряда: 2 (r )G   2n b 2 ,n 1 k n  nn2R2   n2 (r )rdr .(1.6.14)R1Суммирование ряда в (1.6.14) представляет собой отдельную задачу.

Однако,из общих соображений (теорема о существовании и единственности решениякраевой задачи для уравнения Пуассона (1.6.2)) ясно, что сумма ряда (1.6.14)должна совпадать с величиной, приведенной в формуле (1.6.7).Для полноты описания предельных токов, определим еще ток Пирсатонкого трубчатого цилиндрического пучка в коаксиальном пространстведрейфа. Напомним, что при токе, превышающем ток Пирса, ток пучка срывается из-за развития электростатической пирсовской неустойчивости даже приполной нейтрализации поля пространственного заряда пучка [29, 55].

Воспользуемся результатом, сформулированным в [54], где показано, что дляразвития электростатической неустойчивости Пирса необходимо, чтобы внекоторой области волновых чисел одна из волн плотности заряда пучкаимела отрицательную групповую скорость (при u  0 ).Ранее в §1.5 было получено дисперсионное уравнения для определениячастот волн плотности заряда пучка в коаксиальном пространстве дрейфа(1.5.4). Вернемся к анализу дисперсионных кривых Рис.

1.5.1 – Рис. 1.5.3 длятрех значений токов пучка с учетом введения новых токов. На Рис. 1.5.1 токпучка равен I b  8,2 кА. При таком значении тока групповые скорости волнпучка положительны и пирсовская неустойчивость не развивается. ДляI b  127,9 кА (Рис.

1.5.2) групповая скорость медленной волны пучка при k z  0близка к нулю, поэтому ток пучка порядка тока Пирса. При I b  295,2 кА (Рис.1.5.3) групповая скорость медленной волны пучка становится меньше нуля. Вэтом случае начинает развиваться пирсовская неустойчивость.45Для определения тока Пирса в уравнении (1.5.4) следует положить  0 , а затем перейти к пределу k z  0 . В результате получится соотноше-ние:b2 3u 2 k 2b (0) 1,(1.6.15)где k 2b (0) есть величина (1.5.5), взятая при   0 . Из (1.6.15) находим выражение для тока Пирса (предельного тока электронного пучка скомпенсированного по электрическому заряду) трубчатого пучка в коаксиальном пространстве дрейфа:I Пирса  I 0ln R2 R1u3 3.3c2 ln rb R1  ln R2 rb(1.6.16)Для оценки значений предельных токов (1.6.10) и (1.6.16) используем скорость пучка и радиусы дрейфовой камеры, которые ранее брали при построении дисперсионных кривых на Рис.

1.5.1 – Рис. 1.5.3. Также отметим, что всепараметры выбираются близкими к экспериментальным. Расчет по выведенным формулам дает: для предельного вакуумного тока I b 0  11.06 кА, а для тока Пирса I Пирса  128.23 кА. Эти значения примерно вдвое превосходят соответствующие токи такого же пучка в обычном круглом волноводе с радиусомR  R2 .46Глава 2. Коаксиальный плазменный волновод в отсутствие внешнегомагнитного поля§ 2.1.

Дисперсионное уравнение для спектров частот коаксиального волновода с трубчатым плазменным заполнением. Структура электромагнитного поляРассмотрим коаксиальный волновод с внутренним радиусом R1 ивнешним радиусом R2 с трубчатым плазменным заполнением в отсутствиевнешнего магнитного поля. Ограничимся рассмотрением азимутальносимметричного случая для волн Е-типа. При такой постановке задачи Bz  0 иотличны от нуля следующие компоненты электромагнитного поля: E z , E r , B .Особый интерес для плазменной СВЧ-электроники представляют волны сфазовыми скоростями меньшими скорости света c : высокочастотная и низкочастотная поверхностные плазменные волны [98, 99].Из уравнений Максвелла следует, что компоненты E z , E r , B удовлетворяют следующей системе уравнений:ik z Er dE z i B , k z B    Er ,drcc1 d(rB )  i  II E z ,r drc(2.1.1)где   (r ) и  II (r ) - поперечная и продольная диэлектрические проницаемости.Вслучаеплазмывнулевомвнешнеммагнитномполе  (r )   II (r )  1   p2 (r )  2 .

Из системы уравнений (2.1.1) получим выражениядля компонент волн Е-типа Er , BEr  ik z dE zdE z., B  i 2  2dr drc(2.1.2)Здесь введено обозначение 2 ( r )  k z2    ( r )  2 c 2 .(2.1.3)Полученное выражение для B подставляем в последнее уравнение системы(2.1.1) и получаем следующее уравнение для компоненты поля Ez :471 d   ( r ) dE z ( r ) r   ( r ) E z ( r )  0.r d r   2 ( r ) d r (2.1.4)Для нахождения решения уравнения (2.1.4) потребуются граничные условиядля волн Е-типа, которые следуют непосредственно из уравнения (2.1.4).Граничные условия сводятся к непрерывности в точках разрыва диэлектрической проницаемости  (r ) функции Ez (r ) и комбинации  (r )  2 (r ) dEz (r ) dr .Для случая трубчатой плазмы в коаксиальном волноводе полный набор граничных условий имеет видE z (r1 )  E z (r2 )  0, 1 dE dE zz 2(r1  0)  2(r1  0),p dr  0 d r  dE z (r  0)  1 dE z (r  0),2  p2 d r 2 02 d r E z ( R1 )  E z ( R2 )  0.(2.1.5)В системе граничных условий (2.1.5) имеют место обозначения:   1   p2  2 ,r1 и r2 - внутренний и внешний радиусы плазменной трубки, причем приr [r1 , r2 ] ленгмюровская частота плазмы постоянна и равна  p .

Величины 02 ,  p2 имеют видk z2    2 c 2   p2 , r1  r  r2 ,k z2   2 c 2   02 ,(2.1.6)R1  r  r1 , r2  r  R2 ,Решение уравнения (2.1.4) представляет комбинацию функций Бесселямнимого аргумента A I (  2 r )  B K (  2 r ), R  r  r ,01 0011 1 0E z   A3 I 0 (  p2 r )  B3 K 0 (  p2 r ), r1  r  r2 ,22 A2 I 0 (  0 r )  B2 K 0 (  0 r ), r2  r  R2 .(2.1.7)Для определения постоянных A, B, C, D, E, F подставим решение (2.1.7) вграничные условия (2.1.5) и получим следующее дисперсионное уравнениедля спектров частот азимутально-симметричных волн Е-типа:D( , k z ) qI1 (  p r1 )  P1 I 0 (  p r1 )qK1 (  p r1 )  P1 K 0 (  p r1 )qI1 (  p r2 )  P2 I 0 (  p r2 )qK1 (  p r2 )  P2 K 0 (  p r2 )48 0,(2.1.8)где q    0  p ,P1 K1 (  0 r1 ) I 0 (  0 R1 )  I1 (  0 r1 ) K 0 (  0 R1 ),K 0 (  0 R1 ) I 0 (  0 r1 )  K 0 (  0 r1 ) I 0 (  0 R1 )(2.1.9)K (  r ) I (  R )  I1 (  0 r2 ) K 0 (  0 R2 )P2  1 0 2 0 0 2.K 0 (  0 r2 ) I 0 (  0 R2 )  I 0 (  0 r2 ) K 0 (  0 R2 )Для нахождения поперечной структуры поля необходимы еще выражениядля коэффициентов A1, 2,3 и B1, 2,3 в общем решении (2.1.7)B3  1, A3  B3A1, 2   B1, 2qK1 (  p r1 )  P1 K 0 (  p r1 )qI1 (  p r1 )  P1 I 0 (  p r1 )K 0 (  0 R1, 2 )I 0 (  0 R1, 2 ), B1, 2 ,A3 I 0 (  p r1, 2 )  B3 K 0 (  p r1, 2 ) K ( r ) K ( R ) I 0 (  0 r1, 2 )  0 0 1, 2  0 0 1, 2  I 0 (  0 r1, 2 ) I 0 (  0 R1, 2 ) .(2.1.10)Структура электромагнитного поля в волноводе определяется формулами (2.1.7), (2.1.2) и (2.1.10).

Характеристики

Список файлов диссертации