Диссертация (1103402), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

1.4.1.диусом rp  1 см.Выше было сказано, что дисперсионные уравнения (1.4.5) и (1.4.9)можно получить двумя способами: с использованием метода граничных условий и предельным переходом из дисперсионного уравнения (1.1.12). Чтобыпроверить правильность данного утверждения возьмем выражения (1.4.11) иисследуем их в пределе q p  1 . Также возьмем формулу (1.2.10), котораябыла получена из точного дисперсионного уравнения (1.1.12) для случаянизких мод, и сделаем в ней переход к бесконечно тонкой плазме. В результате преобразования формулы (1.2.10) для основной моды n  1 получаемвторую формулу выражения (1.4.11) при l  0q2 1 [rp ln( rp R1 )] 1 [rp ln( rp R2 )]P1  P2ln( R2 R1 )1.rp (1  1 )prp p ln( rp R1 ) ln( R2 rp )Что подтверждает сделанные ранее вычисления и предположения.§ 1.5. Волны плотности заряда полностью замагниченного релятивистского электронного пучка в цилиндрическом коаксиальном волноводеЭлектромагнитные свойства трубчатых релятивистских электронныхпучков (РЭП) в коаксиальных волноводах представляют большой интересдля плазменной СВЧ-электроники.

Если пучок полностью замагничен, то в37линейном приближении эти свойства полностью описываются следующимдифференциальным уравнением для волн E  типа: 2 (r ) 3 1 d dE z  2  2 r  k z  2 1  bEz  0 ,r dr dr c    k z u 2 гдеb (r )  4 e 2 n0b (r ) m(1.5.1)- ленгмюровская частота электронов пучка,  ( 1  u 2 c 2 ) 1 2 - релятивистский фактор электронов пучка, u - скорость элек-тронов пучка.

Ограничиваясь рассмотрением тонкого трубчатого электронного пучка, положим b2 (r )  b2 b (r  rb ) ,  b - толщина пучка, rb - средний радиус пучка, а b2 - постоянная. При получении уравнения (1.5.1) считалось,что зависимость поляризационного потенциала от времени и продольной координаты описывается функцией exp( i t  ik z z) , и было использовано выражение для продольной диэлектрической проницаемости электронного пучкав сильном магнитном поле [97]. Уравнение (1.5.1) дополняется обычнымиграничными условиями (см.

также условия (1.4.3)):E z ( R1 )  E z ( R2 )  0 ,{E z ( rb )}  0 ,(1.5.2) 2  2  b2 3 dE z( rb )    k z  2  b E z ( rb ) .c    k z u 2 drПервое граничное условие означает, что внутренняя и внешняя границы волновода являются проводящими цилиндрами, второе и третье условия – этоусловия сшивки поляризационного потенциала в точке r  rb .Общее решение уравнения (1.5.1) записывается в виде: AI 0 (  0 r )  BK 0 (  0 r ), R1  r  rb , CI 0 (  0 r )  DK 0 (  0 r ), rb  r  R2 , (r )  (1.5.3)где I 0 (  0 r ), K 0 (  0 r ) - функции Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка,A,B,C,D – постоянные.

Подставляя решение (1.5.3) в граничные условия(1.5.2), получаем однородную систему алгебраических уравнений относительно постоянных A,B,C,D. Условием разрешимости этой системы являетсяследующее дисперсионное уравнение для частот волн плотности заряда пучка в коаксиальном пространстве дрейфа:38  k z u 2  b2 3 02,(1.5.4)M ( R2 , R1 ). r I (  0 rb ) M (rb , R1 ) M ( R2 , rb )(1.5.5)k 2bгдеk 2b 2b b 0В (1.5.5) используются те же обозначения, что и в уравнении (1.4.9).Дисперсионное уравнение (1.5.4) обладает бесконечным количествомрешений. Из всего множества решений дисперсионного уравнения (1.5.4) дляданной работы особый интерес представляют волны пространственного заряда электронного пучка, частоты которых лежать в области   k z c .Рассмотрим уравнение (1.5.4) подробнее.

Если плотность электронногопучка мала, то спектры пучковых волн в общем случае определяются как:  k z u   ,   k z u.(1.5.6)При малой плотности пучка параметр  02  k z2 2 и спектр пучковой волныпринимает вид:  k z u   b  5 2kz.k b(1.5.7)В выражении (1.5.7) знак "" относится к быстрой пучковой волне, а знак ""- к медленной.Из выражения (1.5.7) можно определить значение параметра  и темсамым найти при каких значениях параметров коаксиального волновода следует считать плотность пучка малой:12 b  u52k b  u52ln( R2 R1 ) . rb b ln( rb R1 ) ln( R2 rb ) (1.5.8)На Рис.

1.5.1- Рис. 1.5.3 представлены дисперсионные зависимости  (k z )волн плотности заряда пучка, построенные по дисперсионному уравнению(1.5.4) при u  2.6  1010 см/с, R1  0.5 см, R2  2 см, rb  1 см для трех значенийленгмюровскойчастоты-1электроновпучка-1 b  10  1010 рад·с ,-1b  39,5  1010 рад·с , b  60  1010 рад·с .На Рис. 1.5.1 представлена дисперсионная зависимость  (k z ) волн39электронного пучка малой плотности.

Кривая 1 соответствует медленнойпучковой волне, кривая 2 – быстрой. Пунктиром обозначена прямая   k z u .На Рис. 1.5.2 и Рис. 1.5.3 представлены дисперсионные зависимости электронных пучков средней и большой плотности.Формула (1.5.8) описывает дисперсионные зависимости, изображенныена Рис. 1.5.1, дисперсионные зависимости, представленные на Рис. 1.5.2,1.5.3 уже не могут быть описаны этой формулой.10 10 рад с-11030 10 рад с-1302225251202015151101055024kzсм-168100Рис. 1.5.1. Дисперсионные зависимости (k z )волн плотности заряда пучка при токе пучкаI b  8,2 кА.

Кривые 1 и 2 изображают медленную и быструю волны.10 10 рад с24kzсм-16810Рис. 1.5.2. Дисперсионные зависимости (k z )волн плотности заряда пучка при токе пучкаI b  127,9 кА. Нумерация кривых соответствуетРис. 1.5.1.-13022520151015024kzсм-16810Рис. 1.5.3. Дисперсионные зависимости (k z ) волн плотности заряда пучка при токе пучка I b  295,2 кА. Нумерация кривых соответствует Рис. 1.5.1.40§ 1.6.

Предельный вакуумный ток релятивистского электронного пучкав коаксиальном пространстве дрейфаОдной из важных формул в релятивистской сильноточной электроникеявляется формула для предельного вакуумного тока тонкого трубчатого РЭП,распространяющегося в цилиндрической дрейфовой камере [55, 54]:I b0( 2 3  1) 3 2 I0.2 ln R rb(1.6.1)Здесь I 0  mc3 / e  17.04 кА - постоянная размерности тока, rb - средний радиуструбчатого пучка, R - радиус дрейфовой камеры. Формула (1.6.1) получена впредположении, что электронный пучок полностью замагничен сильнымвнешним магнитным полем, направленным вдоль оси дрейфовой камеры. Если ток электронного пучка I b превышает предельный вакуумный ток I b0 , тостационарная инжекция пучка и его транспортировка в камере дрейфа невозможны.

Вблизи плоскости инжекции в камере формируется виртуальный катод, отражающий часть электронов, т.е. при I b  I b0 происходит срыв токапучка, что подтверждается компьютерным моделированием и многочисленными экспериментами [28, 55].Перейдем к определению предельного вакуумного тока бесконечно тонкого трубчатого полностью замагниченного электронного пучка в цилиндрическом коаксиальном пространстве дрейфа. Предельный вакуумный ток определяется как условие разрешимости следующей стационарной системыуравнений [55]:1    2r 4 enb ( z ) b (r  rb ), R1  r  R2 , z  0 ,r r r  z 2nb ( z ) ( z )  n0b u  const , z  0 ,mc 2~ ( z )  e (r , z )  mc 2  const , z  0 .(1.6.2)bЗдесь r - цилиндрическая координата, z - координата вдоль камеры дрейфа, ( r , z ) - скалярный потенциал собственного электростатического поля пучка,n0 b - концентрация электронов пучка в плоскости инжекции z  0 , nb (z ) - кон41центрация электронов в произвольном сечении z  0 дрейфовой камеры, u скорость пучка в плоскости инжекции,  (z ) - скорость пучка при z  0 ,~( z )  [1   ( z ) 2 / c 2 ]1/ 2 ,   ~(0)  1  u 2 c 2 1 2.

Первое уравнение в (1.6.2) являетсяуравнением Пуассона, второе – стационарное уравнение непрерывности,третье – стационарное уравнение Эйлера. При написании первого уравнениясистемы (1.6.2) было учтено, что пучок является тонким трубчатым, а поэтому радиальное распределение его плотности определяется выражением b (r  rb ) , где rb - средняя координата пучка, а  b - его толщина.Уравнение Пуассона в системе (1.6.2) дополняется следующими граничными условиями: ( R1 , z )   ( R2 , z )  0, (r ,0)  0 ,  (r , )  f (r ) ,(1.6.3)где f (r ) - некоторая ограниченная функция, зависящая только от поперечнойкоординаты r .

Первые два условия (1.6.3) означают, что внутренняя и внешняя границы пространства дрейфа представляют собой проводящие цилиндры, третье условие (1.6.3) предполагает, что в плоскости инжекции z  0 расположена проводящая сетка (фольга) прозрачная для инжектируемых электронов. Последнее граничное условие в (1.6.3) означает, что на большом расстоянии от плоскости инжекции (при z  R2 ) потенциал выходит на некоторое значение, независящее от координаты z . Действительно, продольноеэлектрическое поле Ez    z существенно только вблизи плоскости инжекции, где оно тормозит инжектируемые электроны, но при z   продольное поле исчезает.

Для вычисления предельного вакуумного тока, т.е. токапрошедшего далеко в глубину камеры дрейфа, достаточно рассмотреть задачу (1.6.2) при z   , когда она существенно упрощается.Краевую задачу (1.6.2) при  z  0 можно решать или методом сшивкипотенциала, или методом разложения по собственным функциям поперечного сечения камеры дрейфа. Рассмотрим сначала метод сшивки.

В областяхвне трубчатого пучка (т.е. при r  rb ) потенциал находится из следующего42уравнения:1 d d r 0,r dr dr(1.6.4)где  (r )   (r, z  ) . Решая, с учетом первых двух граничных условий(1.6.3), уравнение (1.6.4) имеем:C1 ln r R1 , R1  r  rb,C2 ln r R2 , rb  r  R2  (r )  (1.6.5)где C1, 2 - постоянные, чтобы определить их воспользуемся следующими условиями сшивки в точке r  rb потенциала в областях r  rb и r  rb :{  (rb )}  0 , d (rb )  4 e b n , dr(1.6.6)где n  nb ( z  ) . Первое условие в (1.6.6) – непрерывность потенциала –следует из конечности радиальной составляющей напряженности электрического поля Er    r .

Характеристики

Список файлов диссертации