Диссертация (1103402), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В длинноволновом пределе для них справедливы следующие выражения:P1, 2 1, l  0,r1, 2 ln( r1, 2 R1, 2 )4l (l  1)(  0 R1, 2 ) 2l  (  0 r1, 2 ) 2( l 1)P1, 2 ,(l  1)( r12, 2l  R12, 2l )r11,2 2l(1.2.5)l  0.Для дальнейшего анализа дисперсионного уравнения (1.2.4) удобноввести новые обозначения: q~  qr2 , 1  r1 r2  1 , тогда уравнение (1.2.4) приметвид:q~J l 1 (q~1 )  P1r2 J l (q~1 ) q~J l 1 (q~ )  P2 r2 J l (q~ )0.q~N l 1 (q~1 )  P1r2 N l (q~1 ) q~N l 1 (q~ )  P2 r2 N l (q~ )(1.2.6)Так как дисперсионное уравнение (1.2.6) не решается аналитически, будемрешать его в важном для данной работы случае бесконечно тонкой плазмы.

В22пределе бесконечно тонкой плазмы имеем  1 1 . При этом корни уравнения(1.2.6) оказываются большими ( q~  1 ) и становится возможным использоватьасимптотики функций Бесселя и Неймана при больших значениях аргумента.Тогда уравнение (1.2.6) преобразуется к виду:q~ 2  q~ctg[q~(1  1 )]( P2  P1 )r2  P1 P2 r22  0 .(1.2.7)Забегая вперед отметим, что уравнение (1.2.7) определяет величиныq~  q~n , n  1,2, , где n - номер поперечной моды. Таким образом, величины q~имеет смысл поперечных волновых чисел k  (см. формулу (1.2.3)). С ростомn значения q~n возрастают.Рассмотрим уравнение (1.2.7) в двух случаях.

Первый случай, когдаq~(1  1)  1, q~  1, что соответствует случаю высоких поперечных мод n  1.Второй случай, q~(1  1)  1, q~  1 , что соответствует основной моде n  1, которая является наиболее интересной для плазменной СВЧ-электроники.В первом случае высоких мод уравнение (1.2.7) преобразуется к виду:q~  ctg[q~(1  1 )]( P2  P1 )r2  0 .(1.2.8)Поскольку q~  1 , то последнее уравнение приближенно можно заменить следующим:sin [q~(1  1 )]  0 ,(1.2.8а)причем (1  1 )  (r2  r1 ) / r2   p / rp . Из полученного уравнения (1.2.8а), принимаяво внимание (1.2.3), следует, что высокие моды плазменных волн в длинноволновом пределе имеют закон дисперсии:n2c2.  2 k z 1  ( nc  p  p ) 22n(1.2.9)Перейдем теперь к случаю основной моды n  1.

Разлагая в уравнении(1.2.8) котангенс по малому аргументу, имеем следующее соотношение:( P  P2 )r2P  P22q~ 2  1 q 2  q1  1,1  1r2 (1  1 )(1.2.10)из которого с учетом формулы (1.2.3) следует искомый спектр основной моды в длинноволновом приближении. К обсуждению результата (1.2.10) мы23еще вернемся несколько позже.В другом предельном случае – коротковолновом, когда k z   , найдемрешение дисперсионного уравнения (1.1.12), удовлетворяющее условию   p .

Не трудно показать, что при этом дисперсионное уравнение (1.1.12)сводится к видуJ l ( ) N l (1 )  J l (1 ) N l ( )  0 ,(1.2.11)где     k z r1 . Обозначим корни уравнения (1.2.11) через    n (1 ) . Этикорни хорошо известны и протабулированы [114]. Используя определениевеличины  , получим дисперсионную зависимость плазменных волн в коротковолновом пределе: p2. 1   n2 r12 k z22n(1.2.12)При больших значениях корней  n уравнение (1.2.11) приближенно записывается в виде sin [ (1  1)]  0 , а закон дисперсии (1.2.12) приобретает вид: 2n p21  ( n / k z  p ) 2.(1.2.13)Формула (1.2.13) распространяет длинноволновые спектры (1.2.9) в коротковолновую область.§ 1.3.

Результаты численного исследования спектров частот и структурполей коаксиального плазменного волновода в сильном магнитном полеВ этом параграфе перейдем к численному исследованию дисперсионного уравнения (1.1.12). Для численных расчетов выберем значения параметров близких к используемым в экспериментах с обычными волноводами, т.е.волноводами, не содержащими внутреннего металлического цилиндра1. Ограничимся аксиально симметричным случаем l  0 . Для численных расчетов1Эксперименты с коаксиальными волноводами пока не проводились. Все численные расчеты ориентированы на эксперименты по плазменным излучателям на основе обычныхплазменных волноводов.24были взяты следующие значения радиусов волновода и плазменной частотыR1  0,5 см, R2  2 см,  р  20  1010 рад·с , и три варианта толщины плазменной-1трубки:Вариант 1.

r1  0,95 см и r2  1,05 см.Вариант 2. r1  0,8 см и r2  1,2 см.Вариант 3. r1  0,6 см, r2  1,4 см.4'303'2'1'10 10 рад c-140 = k zc2011023400246kz, см810-1Рис. 1.3.1. Дисперсионные кривые коаксиального волновода с плазменным заполнениемдля значений r1  0,95 см и r2  1,05 см .Вариант 1. Дисперсионные кривые для случая r1  0,95 см и r2  1,05 смпредставлены на Рис.

1.3.1. Кривые 1  4 относятся к высокочастотным ветвям - это кривые, присутствующие в вакуумном волноводе, но модифицированные наличием плазмы. Кривая   k z c - кабельная вакуумная волна коаксиального волновода. Наряду с высокочастотными ветвями волн Е-типа наплоскости (, k z ) появляются низкочастотные ветви волн Е-типа: кривые1 4 ,у которых фазовая скорость меньше скорости света.

Кривая 1 соответ-ствует кабельной плазменной волне [97] (основной поперечной моде n  1).Рассмотрим для этого варианта структуру электромагнитного поля притрех различных значениях k z :25Ez1,0Ez1,00,50,50,00,51,00,00,5r1,52-0,51,01,5r1,5r-0,5-1,0-1,01аEz1,0бEz1,0340,50,50,00,51,00,00,5r1,5-0,5-0,5-1,0-1,0в1,0г''4 3 2'1'Ez0,50,01,01,5r-0,5-1,0дРис. 1.3.2.

Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением для значения k z  2 см -1 , r1  0,95 см и r2  1,05 см . а-г - низкочастотные ветви колебаний, д - высокочастотные ветви колебаний.1) При k z  2 см-1 распределение продольного поля E z (отн. ед.) по координате r принимает вид, показанный на Рис. 1.3.2.

Нумерация кривых соответствует Рис. 1.3.1. Пунктиром обозначена граница плазменной области.Для кривых 1  4 в вакуумных областях поле затухает от границ плазмы, а в26плазменных областях поле имеет объемный (осциллирующий) характер. Длякривых 1  4 поле приобретает следующую структуру: кривые 1  3 в вакуумных областях имеют объемный характер, в плазменных областях поле затухает от границ плазмы. Последняя кривая 4 и в вакуумной, и в плазменнойобластях имеет объемный характер (визуально отличить объемный характерполя от поверхностного на Рис. 1.3.2д сложно).Ez1,0Ez1,0210,50,50,00,50,00,51,0r1,51,0r1,5-0,5-0,5-1,0-1,0аEz1,0бEz1,030,50,00,540,51,00,00,5r1,5-0,5-0,5-1,0-1,01,0в1,5rг'Ez''4 3 2'10,50,00,5r1,01,5-0,5-1,0дРис.

1.3.3. Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением приk z  4 см -1 . а-г - низкочастотные ветви колебаний, д – высокочастотные.272) Структура поля Ez (r ) при k z  4 см-1 представлена на Рис. 1.3.3. Кривые 1  4 в вакууме имеют поверхностный характер, а в плазме объемный.Кривые 1  2 в вакуумных областях проявляют объемный характер, в плазменных – поверхностный.

Кривые 3  4 в вакуумных и плазменных областяхобладают объемным характером.Ez1,0Ez1,00,50,50,00,51,00,00,5r1,5-0,5-1,021,01,5r-1,01бEz1,030,50,00,5r-0,5аEz1,01,540,51,00,00,5r1,5-0,5-0,5-1,0-1,01,0вг'3'21'Ez0,50,01,01,5r-0,5-1,0'4дРис. 1.3.4. Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением приk z  8 см -1 . а-г - низкочастотные ветви, д – высокочастотные.283) Значению k z  8 см-1 соответствует структура поля, показанная наРис. 1.3.4. В этом случае кривые 1  4 (Рис.

1.3.4д) и в той, и другой областиобладают объемным характером. Для кривых 1  4 (Рис. 1.3.4а-г) структураполя аналогична описанным выше случаям.Вариант 2. Численное решение для второго случая при радиусах плазмы r1  0,8 см и r2  1,2 см представлено на Рис. 1.3.5. Как и в первом случае,кривые 1  4 на Рис. 1.3.5 представляют низкочастотные ветви колебаний, а1  4высокочастотные.4'3'402'1'10 10 рад c-130 = k zc2012103400246kz, см810-1Рис. 1.3.5.

Дисперсионные кривые коаксиального волновода с плазменным заполнениемдля значений r1  0,8 см и r2  1,2 см .1) Значению k z  2 см-1 соответствует следующая структура компонентэлектромагнитного поля (Рис. 1.3.6). Для кривых 1  4 на Рис. 1.3.6а ситуацияаналогична варианту 1, с тем отличием, что в вакууме поле менее прижато кповерхности плазмы, а в плазме поле имеет осциллирующий характер. Кривые 1  2 на Рис. 1.3.6б в вакууме имеют объемный характер, в плазме – поверхностный.

Характеристики

Список файлов диссертации