Диссертация (1103402), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

При этом нужно будет использовать вторую формулу (3.1.4).Как процедура вывода, так и само дисперсионное уравнение оказываютсячрезвычайно громоздкими. Для сокращения объема вычислений и приданиядисперсионному уравнению компактного вида введем следующие вспомогательные функции:64Pn (kr)  J n (kr) J 0 (kR1 )N n (kr) ,N 0 (kR1 )(3.1.8)J (kR )Qn (kr)  J n (kr)  0 2 N n (kr) ,N 0 (kR2 )где n  0, 1 , а k - постоянная. Видно, что функции (3.1.8) при n  0 частичноудовлетворяют граничным условиям (3.1.7): P0 (kR1 )  0, Q0 (kR2 )  0 . Используяфункции (3.1.8), решение (3.1.4) представим в виде E  A  P0 (k1r )  B  P0 (k 2 r )  C  Q0 (k1r )  D  Q0 (k 2 r ) ,icic[ A  P0 (k1r )  C  Q0 (k1r )]   2[ B  P0 (k 2 r )  D  Q0 (k 2 r )]. kz g kz g B  1(3.1.9)При помощи граничных условий  E ( R1 )   E ( R2 )  0 исключим постоянные B ,Dи преобразуем (3.1.9) следующим образом:P (k R )Q (k R ) E  A P0 (k1r )  0 1 2 P0 (k 2 r )   C  Q0 (k1r )  0 1 1 Q0 (k 2 r )  ,P (k R )Q (k R )B  AC022021P (k R )ic  1 P0 (k1r )   2 0 1 2 P0 (k 2 r )   kz g P0 (k 2 R2 )(3.1.10)Q (k R )ic  1Q0 (k1r )]   2 0 1 1 Q0 (k 2 r ) . kz g Q0 (k 2 R1 )Подставляя далее (3.1.10) во вторую формулу (3.1.4) и используя второе граничное условие (3.1.7), исключаем постоянные A, C и получаем искомоедисперсионное уравнение 1k1P1 (k1R1 ) P0 (k2 R2 )   2 k2 P1 (k2 R1 ) P0 (k1R2 ) 1k1P1 (k1R2 ) P0 (k2 R2 )   2 k2 P1 (k2 R2 ) P0 (k1R2 ) k Q (k R )Q (k R )   2 k2Q1 (k2 R1 )Q0 (k1R1 ) 11 1 1 1 0 2 1, 1k1Q1 (k1R2 )Q0 (k2 R1 )   2 k2Q1 (k2 R2 )Q0 (k1R1 )где  1, 2   2 1, 2  k z22c2g2 .(3.1.11)(3.1.12)При выводе уравнения (3.1.11) устанавливается связь C  S  A междупостоянными в решении (3.1.10), гдеP0 (k1 R2 )P (k R ) P1 (k 2 R1 ) 1k1 P1 (k1R2 )   2 k 2 0 1 2  P1 (k 2 R2 )P0 (k 2 R2 )P0 (k 2 R2 )S.

(3.1.13)Q0 (k1 R1 )Q0 (k1 R1 ) 1k1Q1 (k1 R1 )   2 k 2 Q1 (k 2 R1 )  1k1Q1 (k1 R2 )   2 k 2 Q1 (k 2 R2 )Q0 (k 2 R1 )Q0 (k 2 R1 ) 1k1 P1 (k1 R1 )   2 k 265Последняя формула вместе с формулами (3.1.10) и (3.1.4) полностью определяют структуру электромагнитного поля в коаксиальном волноводе с магнитоактивной плазмой.Заметим, что если формально положить R1  0 и переобозначить R2  R ,то дисперсионное уравнение (3.1.11) преобразуется к следующему: 1k1 J1 (k1R) J 0 (k2 R)   2k2 J1 (k2 R) J 0 (k1R)  0 .(3.1.14)Уравнение (3.1.14) совпадает с известным дисперсионным уравнением длячастот обычного (не коаксиального) плазменного волновода во внешнеммагнитном поле [99].§ 3.2. Некоторые особенности спектров частот электромагнитных волнкоаксиального волновода с однородным плазменным заполнением.

Кабельные волны коаксиального плазменного волновода. ДлинноволновоеприближениеДисперсионное уравнение (3.1.11) может быть решено только численно. Приведем здесь некоторые характерные решения, полученные путем численного решения дисперсионного уравнения (3.1.11).На Рис. 3.2.1 представлено численное решение дисперсионного уравнения (3.1.11) для случая сильного магнитного поля  e  7  1010 рад·с-1 и p  51010 рад·с-1 2. Параметры волноводов взяты такие же, как в Главе 1.Пунктиром на рисунке обозначены линии   k z c и    g   e2   p2 .

Жирные линии – это дисперсионные кривые так называемых квази ТЕМ-волн коаксиального плазменного волновода [116] (об этих волнах см. ниже), остальные линии – это дисперсионные кривые обычных высокочастотных электромагнитных волн, низкочастотных и высокочастотных косых ленгмюровскихволн [4, 98].2В электродинамике плазмы и плазменной СВЧ электронике принято магнитное поле называть сильным,если электронная циклотронная частота превосходит ленгмюровскую частоту электронов плазмы.661010 10 рад с-1155024kz см-16810Рис.

3.2.1. Дисперсионные кривые коаксиального волновода с плазменным заполнением вконечном внешнем магнитном поле.Сделаем теперь небольшое замечание относительно кабельных волнплазменного коаксиального волновода. По определению в кабельных (илиТЕМ) волнах продольные компоненты электрического и магнитного полей(3.1.1) тождественно равны нулю, поэтому, как видно из формул (3.1.2), частоты кабельных волн (если такие волны существуют) определяются из дисперсионного уравнения   0 , или 44c4g2 .(3.2.1)Последнее уравнение хорошо известно в электродинамике плазмы: оно определяет спектры чисто поперечных циркулярно поляризованных обыкновенной и необыкновенной электромагнитных волн, распространяющихся строговдоль внешнего магнитного поля в пространственно неограниченной плазме.Циркулярность поляризации обусловлена структурой поперечных токов, текущих в магнитоактивной плазме, и никоим образом не связана с условиямина границах плазмы. Сейчас мы увидим, что это обстоятельство существенновлияет на возможность существования кабельных волн в коаксиальном плазменном волноводе.67Как видно из системы (3.1.3) дисперсионное уравнение (3.2.1) имеетместо только при выполнении соотношенийkˆ2 E  0 , kˆ2 B  0 .(3.2.2)Учитывая выражение для kˆ2 при l  0 , из (3.2.2) имеем следующие выражения для вспомогательных функций  E (r ) и  B (r ) : E  AE ln r ,  B  AB ln r ,(3.2.3)где AE и AB - некоторые постоянные.Для существования кабельных волн необходимо еще выполнение граничных условий (3.1.7).

Первое из этих условий, поскольку Ez (r )  0 , выполнено автоматически. Второе условие (3.1.7), в силу совпадения собственныхфункций (3.2.3), приводит к соотношению E (r )  0 . Тогда, из второй формулы (3.1.4) при l  0 следует связь между постоянными AE и ABAB  igkzc  2A . c2  2 E(3.2.4)При этом оказывается, что Br (r )  0 . Подставляя далее (3.2.3) и (3.2.4) в общие формулы (3.1.4), находим следующие выражения для компонент электромагнитного поля кабельных волн коаксиального плазменного волновода:Ez  AAE ln r , Er  ik z 4 E , E  0 ,2 rk c 2 ABz  ig z 2 2 E z , Br  0 , B  i   4 E . c c r(3.2.5)Формулы (3.2.5) записаны таким образом, чтобы отличить два случая: компонента поля представима в виде 0  AE , т.е.

равна нулю всегда; компонентаполя имеет вид   AE , т.е. обращается в ноль только при   0 .Из формул (3.2.5) видно, что в общем случае волны, частоты которыхопределяются из уравнения (3.2.1), имеют нулевые компоненты электромагнитного поля. Таким образом, фактически кабельных волн в коаксиальномволноводе с магнитоактивной плазмой нет. Данный результат вполне понятен. Действительно, в среде с диэлектрической проницаемостью (3.1.1) приg0волны, распространяющиеся строго вдоль магнитного поля (т.е.

волны68с k  0 ), имеют циркулярную поляризацию поля. Поэтому выполнение граничных условий (3.1.7) оказывается просто невозможным.Кабельные волны в коаксиальном плазменном волноводе возможнытолько при g  0 (плазма без внешнего магнитного поля и плазма в бесконечно сильном внешнем магнитном поле). Устремляя в (3.2.5) g к нулю, преобразуем эти формулы к видуAE, E  0 ,r ABz  0 , Br  0 , B  i   E .crE z  0 , Er  ik z(3.2.6)Дисперсионное уравнение (3.2.1) при g  0 оказывается следующим:k z2 2c2 .(3.2.7)В случае плазмы без внешнего магнитного поля из (3.2.7) для частоты имеем   Le2  k z2c 2 .

В случае полностью замагниченной плазмы частота кабельнойволны оказывается такой же, как и в вакуумном коаксиальном волноводе  k z c . В целом, теория кабельных волн коаксиального плазменного волно-вода является достаточно тривиальной. Однако основной вывод этой теорииоказывается нетривиальным: при наложении конечного внешнего магнитного поля кабельные волны в коаксиальном плазменном волноводе перестаютсуществовать.Приближенно о кабельных волнах можно говорить и в нулевом приближении по величине g при выполнении неравенства | g |  1 . Эти волныостаются и в случае, когда величина g не мала, но продольные компонентыэлектрического и магнитного полей у этих волн оказываются отличными отнуля. Поэтому в работе [116] они названы квази ТЕМ волнами.Обратимся теперь к системе уравнений (3.1.3) для определения компонент E z , Bz .

Особый интерес представляет исследование данной системыуравнений в длинноволновом пределе:kz  0 .(3.2.8)69При таком условии система (3.1.3) преобразуется в систему независимыхуравнений для волн E- и B- типов: 2 g2 2  2  kˆ    | |  E  0 ,2   E c 2 ˆ2 k  B    B  0.(3.2.9)Общее решение уравнений (3.2.9) имеет вид E  AE J 0 (k r )  BE N0 (k r ) , B  AB J 0 (k r )  B B N0 (k r ) ,(3.2.10)где AE , B , B E , B - постоянные, а g2 2 k   | |   2    c 2 12(3.2.11)для волн Е- типа иk2   2(3.2.12)в случае волн B- типа.

С другой стороны k 2 определяются из граничных условий (3.1.7), приводящих с учетом (3.1.4) к соотношениямJ (k R1 ) N (k R2 )  J (k R2 ) N (k R1 )  0 ,(3.2.13)где   0 для волн Е- типа и   1 в случае волн B- типа. Дисперсионныеуравнения получаются при подстановке корней уравнений (3.2.13) в выражения (3.2.11) и (3.2.12).Проанализируем дисперсионные уравнения для волн Е- типа. При условии (3.2.8) следует различать два случая. Первый случай – частота  приусловии (3.2.8) не стремится к нулю.

Характеристики

Список файлов диссертации