Диссертация (1103373), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Мы используем для давления формулы,полученные для идеального газа, т.к. при выводе уравнений мы разделиличлены, связанные с взаимодействием (в правой части уравнения Эйлера56(4.2)), и кинематические члены (в левой части уравнения Эйлера). Такимобразом, мы можем использовать для давления формулы, выведенные дляидеального газа, т.к. независящая от взаимодействия часть одинакова длявсех физических систем. Эти эффекты описываются слаборелятивистскойчастью уравнения, связывающего плотность тепловой энергии и темпера³´³´туру ε̂th,3D = 3/2n3D T 1 + 5T /4mc2 , ε̂th,2D = n2D T 1 + T /mc2 , а такжепервой группой слагаемых в Fcl (см.

ниже формулу (4.8)). Однако, намнужна лишь нерелятивистская часть формул для энергии, т.к. плотностьэнергии входит в релятивистские члены. Большинство формул, представленных в работе, имеют смысл как для трехмерных, так и двумерных систем частиц. Все отличия специально оговариваются.Кроме того, в уравнение (4.2) входит эффективное электрическое поле22Zh̄h̄1β0ααβαβα1 +En(r,t)Ê = δ +∂∂−e∂∆dr0 .ext222204m c4m c|r − r |(4.3)Оно может быть представлено как сумма двух частей Ê = Ên.r. + Ês.r.

:нерелятивистской частиZÊn.r. = Eext − e∇n(r0 , t) 0dr ,|r − r0 |(4.4)которая обусловлена взаимодействием заряда с внешним электрическимполем и кулоновским взаимодействием зарядов, и слаборелятивистской частиÊs.r.Zh̄2eh̄210=∇(∇E)−∇∆n(r,t)dr0 ,ext222204m c4m c|r − r |(4.5)где δ αβ это символ Кронекера, представляющий собой тензорное обозначение единичной матрицы. Первое слагаемое в формуле (4.5) обусловлено дарвиновским членом, описывающим дополнительную квантоворелятивистскую силу. Она действует на заряд со стороны внешнего элек-57трического поля. Второе слагаемое описывает соответствующее взаимодействие между зарядами, которое мы называем дарвиновским взаимодействием. Эффективное магнитное полеαB̂ =αBexte αβγ β Z γδ+ ε ∂G (r, r0 )n(r0 , t)v δ (r0 , t)dr02c(4.6)состоит из внешнего поля и магнитного поля, создаваемого движущимисязарядами (закон Ампера).

Функция Грина ток-токового взаимодействияGγδ (r, r0 ) имеет следующий явный вид (см. [6], §65 и [44], §83):Gαβ (r, r0 ) =δ αβrα rβ+.|r − r0 | |r − r0 |3(4.7)Специфическая для слаборелятивистской теории плотность силыимеет вид"Ã!#³´e1αββFclα = − 2 δ αβ mnv 2 + ε̂ + mnv α v β + pαβ + Tn.r.Ên.r.mc2ie2 Z h α βγ+ 2 ∂ G (r, r0 ) − ∂ β Gαγ (r, r0 ) π βγ (r, r0 , t)dr02cZihe2γ αβ00β 0γ 0βγ 0βγ0(r,t)dr0+n∂G(r,r)mn(r,t)v(r,t)v(r,t)+p(r,t)+Tn.r.22mc−Ze3βnGαβ (r, r0 )n(r0 , t)Ên.r.(r0 , t)dr0 .22mc(4.8)В классической слаборелятивистской гидродинамике существует аналогичная плотность силы, однако в нашем случае формула (4.8) содержитαβквантовые вклады ε̂ и Tn.r..

Fcl содержит две группы слагаемых. Одна изних содержит Gαβ , и это является показателем того, что она возниклавследствие ток-токового взаимодействия, тогда как первый член в формуле (4.8) не содержит Gαβ , так как этот член является следствием слабоαβрелятивистской поправки к кинетической энергии. Величины ε̂, Tn.r., π βγобъяснены ниже.58Далее, мы видим, что сумма давления и квантового потенциала Бомапоявляется вместо одного лишь давления, присутствовавшего в классической теории.Кроме того, в уравнение Эйлера входит плотность силы, имеющаяквантово-релятивистское происхождение:FQαeh̄2 β µ α β ¶e2h̄2 ³ β ´ Z α βγ=∂ n∂ Ên.r.

−∂ n ∂ G (r, r0 )∂ 0γ n(r0 , t)dr0 , (4.9)22224m c8m cгде первое слагаемое возникает как следствие слаборелятивистской поправки к кинетической энергии, второе слагаемое является квантовым следствием ток-токового взаимодействия. Мы можем отметить сходство междупервым слагаемым в FQ (4.9) и первым слагаемым в Ês.r. (4.5).Мы описали величины, входящие в правую часть уравнения Эйлера(4.2). Однако величина T αβ , представляющая собой слаборелятивистскоеобобщение квантового потенциала Бома, еще не объяснена.

Мы видим, чтоαβнерелятивистская часть квантового потенциала Бома Tn.r.входит в выра-жение для плотности силы Fcl (4.8). Представим явный вид квантовогоαβαβαβпотенциала Бома T αβ в виде двух частей T αβ = Tn.r.+ Ts.r., где Tn.r.опи-сывает нерелятивистскую частьαβTn.r.h̄2 α βh̄2 ∂ α n · ∂ β n=−∂ ∂ n+,4m4mn(4.10)αβи Ts.r.описывает слаборелятивистский вклад в квантовый потенциал БомаαβTs.r.=−´v 2 αβ1 ³ α γ βγβ γ αγTvvT−+vvTn.r.n.r.c2 n.r. c2√√√√ ´√√√h̄4 ³√− 3 2n · ∂ α∂ β ∆ n + ∂ α∂ β n · ∆ n − ∂ α n · ∂ β ∆ n − ∂ β n · ∂ α∆ n4m chih̄2γα β γβ α γ(∂n)v∂v+v∂v+4mc259´´h̄2 ³ α γ β γh̄2 ³ α βγ α β γβ α+n∂v·∂v+v∂∂v+nv∂+v∂∇v.(4.11)2mc24mc2Явный вид слаборелятивистского потенциала Бома (4.11), возника-ющего в приближении невзаимодействующих частиц, был получен в работе [41]. Мы видим, что большинство слагаемых в релятивистской частиквантового потенциала Бома содержат квадрат поля скоростей.

Во второйстроке формулы (4.11) собраны слагаемые, не содержащие поля скоростей,но, тем не менее, имеющие релятивистскую природу.Поле силы Fcl содержит величины ε̂ и π αβ . Величина ε̂ представляет собой сумму плотности кинетической энергии теплового движения иквантового вклада в плотность энергии, являющегося аналогом квантовогопотенциала Бома. Так как ε̂ возникает в плотности силы, имеющей слаборелятивистскую природу, то нас интересует только нерелятивистская частьε̂. Величина π αβ более сложна для интерпретации.

Отметим, что нам такженужна только нерелятивистская часть π αβ . Ее явный видπ αβ =Zh̄2 α βδ(r − ri )δ(r0 − rj )a2 (R, t) uαi uβj −∂ ∂ ln a(R, t) dR2 i j2mi,j6=i(4.12)Xпоказывает сходство с тензором давления [3], [5], [88]. В формуле (4.12)мы использовали следующие обозначения: a(R, t) - это амплитуда многочастичной волновой функции ψ(R, t) = a(R, t) exp (iS(R, t)/h̄), величинаR обозначает совокупность координат N частиц, тогда как dR - это элемент 3N -мерного объема конфигурационного пространства.

ui = ui (r, R, t)- скорость теплового движения i-ой квантовой частицы, определяющаясяследующим образом: ui = vi (R, t) − v(r, t), здесь vi (R, t) = 1/m∇i S(R, t) полная скорость квантовой частицы, которую мы представляем как суммуполя скоростей и скорости теплового движения. Формула (4.12) выглядитнеожиданно и непонятно для читателя, не знакомого с деталями методаквантовой гидродинамики.

С целью сделать ее более понятной читателю,60мы представим одно из простейших определений, используемых при выводе уравнений квантовой гидродинамики, и это определение концентрациичастицn(r, t) =Z XNψ ∗ (R, t)δ(r − ri )ψ(R, t)dR,(4.13)i=1которая представляет собой квантово-механическое среднее оператора концентрации точечных частиц n̂ =Pi δ(r − ri ).Величина π αβ состоит из двухчастей. Первая часть содержит скорости теплового движения, а вторая,пропорциональная квадрату постоянной Планка h̄2 , является родственнойквантовому потенциалу Бома (4.10). Приведем также явный вид плотностиэнергии1h̄22 2a∆i a dR,(4.14)ε̂(r, t) =δ(r − ri ) mi ui a −22mii=1где a = a(R, t).

Чтобы получить замкнутый аппарат, мы должны расZ XNсмотреть ε̂ и π αβ , и выразить их через гидродинамические переменныеи параметры системы. Для этой цели рассмотрим ε̂ и π αβ в приближении невзаимодействующих частиц. В этом случае первый член в формуле(4.12) возникает как произведение двух независимых интегралов от тепловых скоростей ui . Каждый их них равен нулю в силу определения скороститеплового движения [3]. Рассматривая второе слагаемое в (4.12) в приближении невзаимодействующих частиц, мы получаем, что оно равно нулю.Таким образом, мы находим π αβ = 0. Первое слагаемое в выражении дляплотности энергии (4.14) - это классическая энергия теплового движениячастиц ε̂th , она связана с температурой известной формулой ε̂th = 3/2nT ,но это справедливо именно для трехмерного случая, т.к.

3 - это число степеней свободы. Таким образом, для интересующего нас двумерного случаямы имеем ε̂th,2D = nT . Вторую часть плотности энергии ε̂ рассмотрим вприближении невзаимодействующих частиц, в итоге мы получаемh̄2 √ √h̄2  1 (∇n)2ε̂Q = −− ∆n .n∆ n =2m4m 2 n(4.15)61Ниже нам понадобится равновесное значение плотности энергии.Учитывая, что равновесное значение квантовой части плотности энергии(4.15) дает нулевой вклад, мы получаем ε̂0 = 3/2n0 T0 в трехмерном случаеи ε̂2D,0 = n0 T0 в двумерном случае.Рассматривая двумерную систему частиц, мы можем ввести уравнения Максвелла.

Они опишут электрическое и магнитное поле кулоновскогои ток-токового взаимодействий. Однако, плотность заряда и плотность тока будут содержать дельта-функцию Дирака по координате z. Мы будемработать в терминах интегральных уравнений, представленных выше, безявного введения электрического и магнитного поля, а также уравненийМаксвелла.Рассматривая двумерный электронный газ, мы имеем дело с узкойобластью размером порядка 10 нм на контакте полупроводников. Радиус Дебая показывает, на каких расстояниях значительно спадает влияниевыбранного заряда.

Радиус Дебая в трехмерной системе частиц имеет видqr3D = T / (4πn0,3D e2 ). В случае вырожденного Ферми газа, когда температура частиц T много меньше энергии Ферми εF,3D , мы должны выполнитьзамену T → εF,3D . Далее, нам необходимо трансформировать формулу радиуса Дебая, для ее использования в случае двумерного электронного газа.Заменяя трехмерную концентрацию n3D соответствующей степенью дву√ 3мерной концентрации n3D = ( n) , в вырожденном случае выполняя соответствующую замену энергии Ферми εF,3D → εF,2D = πnh̄2 /m, мы получимоценку для двумерного радиуса Дебая r2D . В полупроводниковых приборахконцентрация электронов двумерного электронного газа находится в следующем диапазоне: 108 − 1011 cm−2 . Соответственно, мы находим оценкудля энергии Ферми εF,2D = 10−19 − 10−16 эрг.

Мы видим, что температураФерми лежит в диапазоне температур от 10−3 К до 1 К, и, следовательно,62рассматриваемая система является невырожденной, но при температурахпорядка 1К система является квантовой.При выводе системы уравнений (4.1) и (4.2), следуя методу, изложенному в работах [1]-[3], мы не предполагаем слабости взаимодействия, ноисходим из дальнодействующего взаимодействия между частицами. Дляэтого требуется, чтобы радиус Дебая был много больше среднего рассто1/2яния между частицами hai = 1/n0 . Так что мы находим hai ∼ 10−5 см,sтогда как r2D =µ3/2¶T / 4πn0 e2∼ 0.1 см. Следовательно, выполняетсяусловие дальнодействия, использованное при введении приближения самосогласованного поля.4.3.Гамильтониан системыДля более легкого понимания физического смысла представленныхвыше слагаемых, мы приведем явный вид бесспиновой части гамильтониана Брейта (см. [44], §83).

Мы проследим связь различных слагаемыхгамильтониана с различными слагаемыми в уравнении Эйлера.Мы представим гамильтониан как сумму трех слагаемыхH = H0 + Hrel + HD ,гдеH0 =Hrel = −иHD = −(4.16)XiXiXiDi21 X ei ej + ei φi,ext +,2mi2 j6=i rij(4.17)Di4  1 X  ei ejβ α−Gαβ,ij Dj Di3228mi c2 i,j6=i 2mi mj c(4.18)1 X  πei ej h̄2  11e h̄2 i∇i Ei,ext −+ 2  δ(ri − rj ) ,22228mi c2 i,j6=i2cmimj(4.19)где Di = −ih̄∇i − ei /cAi,ext , φi,ext и Ai,ext - это скалярный и векторный потенциалы внешнего электромагнитного поля соответственно, rij = |ri − rj |.63H0 - это нерелятивистская часть гамильтониана, содержащая кинетическую энергию частиц, потенциальную энергию зарядов во внешнем электрическом поле φi,ext и потенциал кулоновского взаимодействия междузарядами.

Характеристики

Список файлов диссертации